一類具有楊輝三角分布性質(zhì)的矩陣行列式計算

1范德蒙矩陣行列式計算方法如范德蒙矩陣行列式計算方法如范德蒙矩陣在線性代數(shù)中，我們接觸到了不同類別的矩陣，并總結(jié)了計算典型矩陣行列的方法（如矩陣范德蒙矩陣）。本文主要分析一類具有楊輝三角分布性質(zhì)與范德蒙矩陣排列規(guī)律的特殊矩陣,通過計算矩陣行列式,我們可以更加深刻地了解線性變換及空間的意義。2楊輝矩陣及行列式變換我們將對諸如下列形式的矩陣進(jìn)行分析:((1λ11λ212λ1?1???λn-11(n-1)λn-21?Cm1-1n-1λn-m1+11m1)?(1λk1λ2k2λk?1???λn-1k(n-1)λn-2k?Cnk-1n-1λn-mk+1kmk))λ1,λ2,?,λk????????????????????????????????1λ1λ21?λn?1112λ1?(n?1)λn?21??1?Cm1?1n?1λn?m1+11m1?????????????????????????????????1λkλ2k?λn?1k12λk?(n?1)λn?2k??1?Cnk?1n?1λn?mk+1kmk????????????????????????????????λ1,λ2,?,λk互不相等,且n=k∑i=1mi.n=∑i=1kmi.注意通過觀察可知,該類矩陣由k個矩陣塊組合而成,每個矩陣塊至上而下遵從范德蒙矩陣排列規(guī)律;并且矩陣元素的系數(shù)滿足楊輝三角分布性質(zhì)。因此,我們先對矩陣塊的性質(zhì)進(jìn)行分析。定義1定義n行m列(n>m)矩陣(1λ1λ22λ?λ33λ21???λn-1C1n-1λn-2?Cm-1n-1λn-m)????????????1λλ2λ3?λn?112λ3λ2?C1n?1λn?2??1?Cm?1n?1λn?m????????????為參數(shù)為λ的楊輝矩陣,記為B(λ,n,m)。觀察知,楊輝矩陣元素排列與楊輝三角分布類似,具有以下特點:(1)第1列由上至下依次為1,λ,…,λn-1;i行i列元素都為1,k行s列(k>s,k=1,2,…,n)元素均為0;(2)第i行j列(i,j=1,2,…,n)元素系數(shù)為第i-1行j列元素系數(shù)與第i-1行j-1列元素系數(shù)之和;(3)λ次數(shù)隨所在矩陣行數(shù)從上到下依次遞增。定義2定義經(jīng)歷如下步驟的初等行列式變換為參數(shù)為λ的范德蒙行列式變換。對于一個n×m的矩陣(n≥m)(1)將第n-1行的-λ倍加至第n行(記為ln→-λln-1+ln),依次進(jìn)行l(wèi)n-1→-λln-2+ln-1…,l1→-λl2+l1共n-1次初等變換;(2)將第n-1行的-λ倍加至第n行(記為ln→-λln-1+ln),依次進(jìn)行l(wèi)n-1→-λln-2+ln-1…,l2→-λl3+l2共n-2次初等變換;…(n-1)將等n-1行的-λ倍加至第n行,共1次初等變換。顯然范德蒙行列式變換由n-1輪,共n(n-1)2n(n?1)2次初等變換構(gòu)成。結(jié)合定義1、定義2,我們對楊輝矩陣塊進(jìn)行行列式初等變換,從而可以找到其具體的行列式特征。引理1對?非負(fù)整數(shù)k,n,m(n>m)矩陣C=(λkC1kλk-1?Cmkλk-mλk+1C1k+1λk?Cmk+1λk+1-m???λk+nC1k+nλk+n-1?Ckk+nλk+n-m)(n+1)×(m+1)C=???????λkλk+1?λk+nC1kλk?1C1k+1λk?C1k+nλk+n?1???Cmkλk?mCmk+1λk+1?m?Ckk+nλk+n?m???????(n+1)×(m+1)經(jīng)過行列式列初等變換可以化簡為:(1λ1λ22λ?λ33λ21???λnC1nλn-1?Cmnλn-m)????????????1λλ2λ3?λn12λ3λ2?C1nλn?1??1?Cmnλn?m????????????的形式,且提出因子為λk×(m+1).證明按照行列式變換辦法,從矩陣每一列提出λr的因子,使其第1行全化為整數(shù);做初等變換r2-C1kr1,r3-C2kr1,…,rm+1Cmkr1,ri為矩陣列標(biāo)號,使矩陣第1行除首元為1外均為零;則矩陣變換為(1λλ?Cm-1kλ???λnC1nλn?(Cmk+n-Cmk)λn)???????1λ?λnλ?C1nλn??Cm?1kλ?(Cmk+n?Cmk)λn???????.同理,不斷重復(fù)上述操作至矩陣c變換為m行×前m列部分為對角線為1的下三角形,即C?(1λ22λ?λ33λ21???λnC1nλn-1?Cmnλn-m)C??????????1λ2λ3?λn2λ3λ2?C1nλn?1??1?Cmnλn?m?????????,故此得證。注意楊輝矩陣B(λ,n,m)非方陣不存在行列式,但可類似引理1的辦法對其進(jìn)行變換。引理2對楊輝矩陣B(λ,n,m)進(jìn)行參數(shù)為λ′的范德蒙行列式變換,最終可以得到楊輝矩陣B(λ-λ′,n,m);特別地,當(dāng)λ′=λ時,可以得到楊輝矩陣B(0,n,m)。證明由范德蒙行列式變換的定義可知。顯然,討論特殊矩陣是由k個n行mi(i=1,2,…,k)列(k∑i=1mi=n)(∑i=1kmi=n)參數(shù)分別為λi的楊輝矩陣橫向組成的方陣,不妨將其定義為楊輝方陣。那么B=(B(λ1,n,m1),B(λ2,n,m2),…,B(λk,n,mk))。證明首先對楊輝方陣進(jìn)行參數(shù)為λ1的范德蒙行列式變換,得到如下矩陣B1:((Em1×m10)(1(λ2-λ1)1(λ2-λ1)22(λ2-λ1)?1???(λ2-λ1)n-1(n-1)(λ2-λ1)n-2?Cm2-1n-1(λ2-λ1)n-m2+1Μ2)?(1(λk-λ1)1(λk-λ1)22(λk