2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1．設集合，集合，則（）A.B.C.D.【測量目標】集合的基本運算.【考查方式】通過解不等式再考查集合間的運算.【難易程度】容易.【參考答案】A【試題解析】故選A.2．如圖，在復平面內(nèi)，點表示復數(shù)，則圖中表示的共軛復數(shù)的點是（）第2題圖A.AB.BC.CD.D【測量目標】復平面.【考查方式】利用共軛復數(shù)考查點在復平面上的位置.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】設，且，則z的共軛復數(shù)為,其中，故選B.3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（）第3題圖ABCD第3題圖【測量目標】平圖形的直觀圖和三視圖.【考查方式】給出三視圖判斷其直觀圖.【難易程度】容易.【參考答案】D【試題解析】由俯視圖的圓環(huán)可排除A,B,進一步將已知三視圖還原為幾何體，故選D.4．設，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集．若命題，則（）A.B.C.D.【測量目標】全稱量詞與存在量詞.【考查方式】給出全稱命題求存在命題.【難易程度】容易.【參考答案】D【試題解析】命題p是全稱命題：，則是特稱命題：.故選D.5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）【試題解析】由向量加法的平行四邊形法則，得又O是AC的中點，13．設，，則的值是_________．【測量目標】二倍角公式.【考查方式】給出關系式求特殊角的正切值.【難易程度】中等.【參考答案】【試題解析】由題意得而，14．已知是定義域為的偶函數(shù)，當時，，那么，不等式的解集是________．【測量目標】解不等式.【考查方式】給出函數(shù)的部分區(qū)間的解析式，求函數(shù)在整個區(qū)間的不等式的解集.【難易程度】較難.【參考答案】【試題解析】故為在定義域上的偶函數(shù)由，所以所以不等式的解集為.15．設為平面內(nèi)的個點，在平面內(nèi)的所有點中，若點到點的距離之和最小，則稱點為點的一個“中位點”．例如，線段上的任意點都是端點的中位點．則有下列命題：①若三個點共線，在線上，則是的中位點；②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點；③若四個點共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．其中的真命題是____________．（寫出所有真命題的序號）【測量目標】考查新定義.【考查方式】給出新定義的含義，根據(jù)新定義解題.【難易程度】較難.【參考答案】①④【試題解析】當且僅當點C在線段AB上等號成立，所以點C是中位點，故①為真命題.②③為假命題，若P為點A，C,則點P在線段AC上，若點P是B,D的中位點，則點P在線段BD上，所以若點P是A,B,C,D的中位點，則p是AC，BD的交點.所以梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．故④是真命題.三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．(本小題滿分12分)在等差數(shù)列中，，且為和的等比中項，求數(shù)列的首項、公差及前項和．【測量目標】等差數(shù)列的性質.【考查方式】給出等差數(shù)列的項與項之間的關系，求通項和前n項和.【難易程度】中等.【試題解析】設該數(shù)列公差為,前項和為.由已知,可得.所以,（步驟1）解得,或,即數(shù)列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3.所以數(shù)列的前項和或（步驟2）.17．(本小題滿分12分)在中，角的對邊分別為，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．【測量目標】正弦定理和余弦定理.【考查方式】給出三角形中角的關系通過投影考查余弦定理.【難易程度】中等.【試題解析】由,得,即,則,即.(步驟1)由,得,由正弦定理,有,所以,.由題知,則,故.根據(jù)余弦定理,有,解得或(舍去). （步驟2）故向量在方向上的投影為.（步驟3）18．(本小題滿分12分)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量在這個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生．（Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率；（Ⅱ）甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行次后，統(tǒng)計記錄了輸出的值為的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)．運行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)…………甲的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）乙的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）運行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)………… 當時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率（用分數(shù)表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；（Ⅲ）按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望．第18題圖【測量目標】選擇結構的程序框圖.【考查方式】通過實際案列來考查對框圖的識別?！倦y易程度】較難【試題解析】.變量x是在1,2,3，……24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能.當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故；當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故;當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故.（步驟1）當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下：輸出的值為的頻率輸出的值為的頻率輸出的值為的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大.（步驟2）（3）隨機變量可能餓取值為0,1,2,3.故的分布列為所以即的數(shù)學期望為1.（步驟3）19．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，分別是線段的中點，是線段的中點．（Ⅰ）在平面內(nèi)，試作出過點與平面平行的直線，說明理由，并證明直線平面；（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線交于點，交于點，求二面角的余弦值．第19題圖【測量目標】二面角平面角的基本知識.【考查方式】給出幾何體的相關性質求相關知識.【難易程度】較難.【試題解析】如圖,在平面內(nèi),過點做直線//,因為在平面外,第19題圖在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,//平面.由已知,,是的中點,所以,,則直線.因為平面,所以直線.又因為在平面內(nèi),且與相交,所以直線平面.（步驟1）解法一:連接,過作于,過作于,連接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,則.所以平面,則.故為二面角的平面角(設為).（步驟2）設,則由,,有,.又為的中點,所以為的中點,且,在中,;在中,.從而,,,所以.所以.故二面角的余弦值為.（步驟3）解法二:設.如圖,過作平行于,以為坐標原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系(點與點重合).第19題圖則,.因為為的中點,所以分別為的中點,故,所以,,.（步驟1）設平面的一個法向量為,則即故有從而取,則,所以.（步驟2）設平面的一個法向量為,則即故有從而取,則,所以.（步驟3）設二面角的平面角為,又為銳角,則.故二面角的余弦值為.（步驟4）20．(本小題滿分13分)已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．【測量目標】圓錐曲線中的軌跡問題.【考查方式】給出橢圓方程求動點的軌跡方程.【難易程度】較難.【試題解析】，所以，.又由已知，,所以橢圓C的離心率(步驟1)由知橢圓C的方程為.設點Q的坐標為(x,y).(1)當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于兩點，此時Q點坐標為（步驟2）(2)當直線l與x軸不垂直時，設直線的方程為.因為M,N在直線l上，可設點M,N的坐標分別為，則.又由，得，即①將代入中，得②（步驟3）由得.由②可知代入①中并化簡，得③因為點在直線上，所以，代入③中并化簡，得.由③及，可知,即.又滿足，故.由題意，在橢圓C內(nèi)部，所以y1（步驟4）又由有且y1，則.所以點Q的軌跡方程是，其中（步驟5）21．(本小題滿分14分)已知函數(shù)，其中是實數(shù)．設，為該函數(shù)圖象上的兩點，且．（Ⅰ）指出函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直，且，求的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍．【測量目標】不等式的綜合應用.【考查方式】給出函數(shù)解析式回答在各種條件下的問題.【難易程度】較難.【試題解析】函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為（步驟1）由導數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為，點B處的切線斜率為，故當點A處的切線與點B處的切垂直時，有.（步驟2）當時，對函數(shù)求導，得.因為，所以，所以.因此