第25講弦中點結(jié)論與端點弦結(jié)論弦中點結(jié)論所謂弦中點問題就是直線和橢圓相交的弦的中點問題,我們在解決這一類問題的時候,常用的方法是點差法,這是需要掌握的.但進一步地推導(dǎo),我們可以得出一個關(guān)于弦中點的二級結(jié)論,即是的中點),我們在解小題時可以直接用,而在解大題時,則需要先證明了才能用,下面進行一個具體的推導(dǎo)：推導(dǎo):以橢圓方程為例,設(shè)直線與橢圓交于兩點,是的中點,則用平方差公式進行分解,則可得到兩個量之間的聯(lián)系,.直線的斜率的中點的坐標(biāo)為對于雙曲線來說,也是類似的推導(dǎo)方式,可得.用弦中點結(jié)論求離心率【例1】已知橢圓,點為左焦點,點為下頂點,平行于的直線交橢圓于兩點,且的中點為點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D. 【解析】(1)一般方法:設(shè)點,點,又因為的中點為點,則.∵在橢圓上,∴.兩式相減得.∴.∴,平方可得,∴,故選A.(2)弦中點結(jié)論法:∵.帶入弦中點結(jié)論【例2】已知橢圓的方程為),斜率為的直線與橢圓相交于,兩點,且線段的中點為點,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D. 【解析】(1)一般方法設(shè)，則兩式作差得,又,線段的中點為,即∴該橢圓的離心率為.故選C.(2)弦中點結(jié)論法∵,帶入弦中點結(jié)論用弦中點結(jié)論求方程【例1】直線與曲線交于兩點,且線段的中點為,求直線的方程.【解析】點差法設(shè)點,點.∵是上的點，聯(lián)立,作差得,而線段的中點為,∴.從而直線斜率.直線的方程為,即.用弦中點結(jié)論法驗證答案.∵,帶入弦中點結(jié)論.直線的方程為,即.【例2】已知橢圓,點是橢圓上的兩個點,點是線段的中點,求.【解析】法一:方程聯(lián)立法當(dāng)直線斜率不存在時,線段的中點在軸上,不符合題意.故可設(shè)直線的方程為,并設(shè).聯(lián)立方程,消去得,.由點是線段的中點知,,∴,解得.∴.∴.法二:點差法當(dāng)直線斜率不存在時,線段的中點在軸上,不符合題意.設(shè)點,點.將其代入橢圓方程得，由點是線段的中點知,,直線斜率為,直線方程為.聯(lián)立,消去得,用弦中點結(jié)論法驗證答案.∵,帶入弦中點結(jié)論.∴直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立即可求出弦長.端點弦結(jié)論我們把橢圓上的點到端點的弦，稱之為端點弦，我們在解題的時候，經(jīng)常會碰到圓錐曲線上的點到兩個端點斜率乘積的問題，這類問題可歸結(jié)為端點弦問題．如，橢圓上任一點到兩頂點(同一軸上的)連線的斜率乘積為定值：．一、橢圓的端點弦結(jié)論結(jié)論一：橢圓長軸左、右兩頂點分別為．橢圓上不同于點的任一動點，則．證明：∵點在橢圓上，∴，則．∴(定值)．同理可證橢圓短軸兩頂點分別為．橢圓上不同于的一動點．同理可證橢圓：長軸兩頂點為．橢圓上不同于的任一動點，．同理可證橢圓：短軸兩頂點為．橢圓上不同于的任一動點，則為定值．二、雙曲線的端點弦結(jié)論結(jié)論二：雙曲線兩頂點分別為，雙曲線上不同于上一動點，則．證明：∵點在雙曲線1上，得，則．∴(定值)．同理可證雙曲線：上一動，點，兩頂點分別為，．．我們把思路反過來，如果一個動點到兩個定點的連線的斜率乘積為定值，那么這個動點的軌跡方程是什么呢?很顯然是一個橢圓或者雙曲線，這就是圓錐曲線的第三定義，總結(jié)起來為：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動點到兩個定點的連線的斜率之積為不等于0和的常數(shù)的軌跡為橢圓(不含兩定點)或者是雙曲線(不含兩定點)．當(dāng)斜率乘積為負分數(shù)時為橢圓(不含兩定點)，當(dāng)斜率積為正數(shù)時為雙曲線(不含兩定點)．特殊地，當(dāng)斜率乘積為1時是等軸雙曲線．第三定義求軌跡方程問題【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，設(shè)直線的斜率分別為，且，記點的軌跡為，求的方程．【解析】設(shè)點，則，．整理得．∵斜率存在，∴，∴的方程：． 端點弦結(jié)論應(yīng)用【例1】若分別是橢圓1長軸的左、右端點，為橢圓上動點，設(shè)直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍．【解析】由題意得點，點，設(shè)，則．∴．∵在橢圓上，∴，∴，∴．∵，∴，即．用端點弦結(jié)論驗證答案：由端點弦結(jié)論得，∴．∵，∴，即．【例2】如下圖所示，若分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足．連接，交橢圓于點，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點．若存在，求出點的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．【解析】由?圓方程得，可設(shè)．，∴直線方程為：．聯(lián)立．由韋達定理可知．代入直線可得