綜合二十五-【新教材】人教A版(2019)

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)(含解析)

一、單選題

1.下列表示正確的個(gè)數(shù)是()

(1)0C0；(2)0￡{1,2}：(3){(x,y)|；二；°}={3,4};(4)若4UB則AnB=

A

A.0B.1C.2D.3

2.下列說法正確的是()

A.x+:的最小值為2,xG(0,1)

B-sinx+六的最小值為%xe(0,兀)

C.x2+1的最小值為2x

D.4x(1—為的最大值為1,x6(0,1)

3.已知基函數(shù)y=/(x)的圖像過(2,日)，則下列結(jié)論正確的是()

A.y=/(%)的定義域?yàn)椋?,+8)B.y=/(%)在定義域上為減函數(shù)

C.y=/(%)是偶函數(shù)D.y=y(x)是奇函數(shù)

4.已知tan(a*)=-1,則sin(2a+/)-2sin(7i—a)cos(7r+a)=()

A.gB.|C,-1D.g

5.如圖，正方體4BCD—4/164的棱長為2,E,尸分別為的中點(diǎn)，則以下

說法錯(cuò)誤的是()

A.平面EFC截正方體所的截面周長為2通+3四

B.存在BBi上一點(diǎn)P使得CiP_L平面EFC

C.三棱錐8-EFC和。-體積相等

D.存在BBi上一點(diǎn)P使得4P〃平面EFC

6.已知復(fù)數(shù)z滿足：z2=：+6i(i為虛數(shù)單位)，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象

限，則復(fù)數(shù)，的虛部為()

A.2/B.3C.-2D.-2i

7.購買商品房時(shí)，住戶對(duì)商品房的戶型結(jié)構(gòu)越來越重視，因此某商品房調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)

抽取〃名市民，針對(duì)其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進(jìn)行了調(diào)查，如圖1調(diào)查的所有市

民中四居室共200戶，所占比例為號(hào)二居室住戶占［.如圖2是用分層抽樣的方法從

所有被調(diào)查的市民中，抽取10%組成一個(gè)樣本，根據(jù)其滿意度調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)

計(jì)圖，則下列說法正確的是

一居室三居室四居室戶型

圖1圖2

A.樣本容量為70

B.樣本中三居室住戶共抽取了25戶

C.樣本中對(duì)三居室滿意的有15戶

D.根據(jù)樣本可估計(jì)對(duì)四居室滿意的住戶有70戶

8.在AABC中，S=—AB-AC=sinB=cosAsinC,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),

AABC62

且而=工磊+、嬴則打包最小值為()

A.2+—B.1+速C.2+—D.1+立

3333

二、多選題

9.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,6,定義min{a,b}={彳：序"若f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,

下列關(guān)于函數(shù)F(x)=min{/(x),g(x)}的說法正確的是()

A.函數(shù)/。)是偶函數(shù)

B.方程F(x)=0有兩個(gè)解

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C.函數(shù)F(x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間

D.函數(shù)尸有最大值為0,無最小值

10.已知點(diǎn)P(l,—1)是角a終邊上的一點(diǎn)，貝女)

A.三一定是第一象限的角

B.若sin(0+a)=|,則sin2/?=.

C.函數(shù)g(x)=cos(3x+a+乎)是奇函數(shù)

D.將函數(shù)f(x)=sin(2x+a)的圖象向左平移*個(gè)單位可以得到g(x)=cos(2x-

》的圖象

11.下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若五〃石，b//c，則五〃了

B.若有〃本則存在唯一實(shí)數(shù);I使得五=；l3

c.兩個(gè)非零向量五，b,若?五一下=mi+i石卜則方與戰(zhàn)線且反向

D.已知@=(1,2),方=(1,1),且乙與三+4方的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

?+8)

12.如圖，正方形ABCQ中，E、/分別是AB、BC的中點(diǎn)將回40E,SCDF,團(tuán)BEF分

別沿QE、DF、EF折起，使A、B、C重合于點(diǎn)P.則下列結(jié)論正確的是()

A.PD1EF

B.平面PDE1平面PDF

C.二面角P—EF—D的余弦值為:

D.點(diǎn)P在平面。EF上的投影是回OEF的外心

三、填空題

13.已知關(guān)于x的不等式(。2-4)X2+(a+2)%-1>0的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

14.關(guān)于函數(shù)/(x)=sin|x|+|cosx|有下列四個(gè)結(jié)論:

①;'(%)是偶函數(shù)②/(%)在區(qū)間c，兀)單調(diào)遞減

③/(%)在區(qū)間(一顯)上的值域?yàn)閇1,回④當(dāng)XG督?)時(shí)，f(x)<0恒成立

其中正確結(jié)論的編號(hào)是(填入所有正確結(jié)論的序號(hào)).

15.已知點(diǎn)0,A,B,C在同一平面上,A,B,C三點(diǎn)不共線，且滿足&+OB+0C=0'

其中網(wǎng)=倡畫=2,園=V14,則&.辦的值為，貝SABC的面

積為.

16.阿基米德多面體也稱為半正多面體，是以邊數(shù)不全相同的正

多邊形為面圍成的多面體.如圖，已知阿基米德多面體的所

有頂點(diǎn)均是一個(gè)棱長為2的正方體各條棱的中點(diǎn)，則該阿基&/

米德多面體的體積為:若M,N是該阿基米德多面體

表面上任意兩點(diǎn)，則M,N兩點(diǎn)間距離的最大值為.

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=2cosx(V5sinx+cosx)-1.(1)求f(x)的周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(a)=g,aC(?]),求cos2a的值.

18.如圖，已知正方形A8CZ)的邊長為2,過中心。的直線/與兩邊AB、CC分別交于

交于點(diǎn)M、N.

(1)求麗?區(qū)的值；(2)若。是8c的中點(diǎn)，求祝?麗的取值范圍；

(3)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足2而=4折+(1-4)0?，求麗?麗的最小值.

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19.在某屆世界杯足球賽上，mAc,4四支球隊(duì)進(jìn)入最后的比賽.在第一輪的兩場比

賽中已經(jīng)確定a對(duì)4c對(duì)"，然后這兩場比賽的勝者進(jìn)入冠亞軍決賽，兩場比賽的

負(fù)者比賽，決出第三和第四名.比賽的一種最終可能結(jié)果記為acbd(表示a勝4c

勝”，然后〃勝c,人勝d).

(1)求〃隊(duì)c隊(duì)分別獲得冠、亞軍的概率；

(2)在比賽過程中，若。勝6的概率為|,。勝c的概率為右”勝d的概率為c勝d

的概率為：，求a隊(duì)獲得冠軍的概率.(每場比賽的勝負(fù)是相互獨(dú)立的，每場比賽沒

有平局)

20.已知函數(shù)/(工)="怛//+1),g[x')=x2-ax+6.

(1)若g(x)為偶函數(shù)，求a的值并寫g(x)的增區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式g(x)<0的解集為{x[2<x<3},當(dāng)％>1時(shí)，求生)的最

X—\

小值;

(3)對(duì)任意的與e[1,+8),%2e[-2,4]＜不等式fg。wg(*2)恒成立，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面為正方形，△PAD為等邊三角形，平面

平面PCD.

(1)證明：平面PAO_L平面ABC￡＞；

(2)若AB=2,。為線段的中點(diǎn)，求三棱錐Q-PCD的體積.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，集合的相等，交集及其運(yùn)算，屬于基

礎(chǔ)題.

根據(jù)元素與集合的關(guān)系，子集的概念以及集合的表示等知識(shí)分析各選項(xiàng)即可.

【解答】

解：(1)空集里沒有元素，故0不屬于空集，故正確；

(2)空集是任何一個(gè)集合的子集，故正確：

(3)左邊集合為點(diǎn)集，右邊集合為數(shù)集，故錯(cuò)誤；

(4)若即A的所有元素都屬于B,所以AnB=4故正確.

故選D

2.【答案】D

【解析】

【分

本題主要考查不等式性質(zhì)及其解法，屬于基礎(chǔ)題.

利用基本不定式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可得出答案.

【解答】

解：4由基本不等式的性質(zhì)可知，x+?當(dāng)且僅在x=l處取得最小值2,故錯(cuò)誤.

8.由基本不等式的性質(zhì)可知，sinx+嘉當(dāng)且僅在s加=2處取得最小值4,故錯(cuò)誤?

C.當(dāng)％=0時(shí)，x2+1取得最小值1,而非2%=0,故錯(cuò)誤；

D.4X(1-X)=-(2X-1)2+1<1,當(dāng)且僅當(dāng)“用寸，取得最大值1.正確，

故選。.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了基函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

先利用已知點(diǎn)求出幕函數(shù)的解析式，再利用暴函數(shù)的性質(zhì)解題即可.

【解答】

解：設(shè)舞函數(shù)/（X）=X。，

???幕函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（2凈，:2。=爭a=-p

1

/（X）=

??.y=/。）的定義域?yàn)椋?,+8）,且在其定義域上是減函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正

確，

???函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不具有奇偶性，故選項(xiàng)C,。錯(cuò)誤，

故選B.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了兩角差的正切公式，二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系、齊次式求值，是基礎(chǔ)

題.

利用兩角差的正切公式求出tana=%再化簡sin（2a+今一2sin（7T-a）cos（7r+a）為

口貯空羿咯代入計(jì)算即可得出答案.

l+tanza

【解答】

解：因?yàn)閠an（a-$=一%

tana-l

即-p所以tana=5

1+tana

從而sin(2a+1)-2sin(7r—a)cos(/r+a)

=cos2a+2sinacosa

=cos2a—sin2a+2sinacosa

cos2a—sin2a+2sinacosa

cos2a+sin2a

l-tan2a+2tana_】V+2X微_7

l+tan2ai+工5.

4

故選A.

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5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了線面和面面的位置關(guān)系的判斷，考查了體積的運(yùn)算，屬于較難題.

由線面和面面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體4BCD-的結(jié)構(gòu)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得

答案.

【解答】

解：對(duì)于4平面EFC截正方體所得截面為EFBiC,

故截面周長為遙+V2+2V2+V5=2V5+3V2;

對(duì)于B,若存在8當(dāng)上一點(diǎn)尸使得GP_L平面EFC,由GPu面BBiGC,故可得平面EFC1

面BBiGC,

由A得平面EFC即為平面EFBiC,

若平面EFBiC1平面8B1GC,平面EFBiCn面夕當(dāng)G。=BrC,8cl1BrC,Bq在平面

BBiGC內(nèi)，

所以BG1平面EFBiC,又EC在平面EFBiC內(nèi)，:Bg1EC,

?；DC_L平面BBiGC,BCi在平面BBiGC內(nèi)，則DC1BQ,

「DC、EC為平面ABC。內(nèi)兩條相交直線，BQ1平面ABC。，這顯然不成立，

故平面EFC不可能和面B&CiC垂直，

故可知不存在BBi上一點(diǎn)P使得GP,平面EFC；

11?

對(duì)于c,%-EFC=KF-BEC=-xlx-x2x2=-

%-FB[C=^F-DCBi>過產(chǎn)作尸G_LDA],垂足為G,

因?yàn)镈C_L平面AOO|A|,FGU平面A。。].%,所以。0_LFG,

又DAinDC=D.D.4i,DCC平面DE，

所以FG_L平面OCBi,

又SAD%=\FA1XAD=^XA1DXFG,所以FG=爭

VD-FBIC=KF-DCBJ=JX^X2X2X2&=3*

故三棱錐B-EFC和D-FB1C體積相等；

對(duì)于。，取8C,BBi的中點(diǎn)分別為M,N,

則CE〃/IM,AMG平面AMNCEC平面

，OE〃平面.AMN,

同理可得EF〃平面AUN,

又CE、EF為平面CEF內(nèi)兩條相交直線，

所以平面EFC〃平面AMN,又ANC平面AA/.V.

所以.AN〃平面EFC,故存在8Bi上一點(diǎn)P與N重合，使得4P〃平面EFC.

故選艮

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的概念和共鈍復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件，是基礎(chǔ)題.

先設(shè)z=a+bi,已知z2,列方程組，又z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，可得”,

b；再結(jié)合共粗復(fù)數(shù)性質(zhì)及可求解.

【解答】

解：設(shè)2=a+bi(a,b6R),二z?=a2-Z?2+2abi=：+6i,

,U2-fa2=￡7

2ab=6,

33

va<0,b<0,?Q-2,b=——,z=—2——i,

.?=22

.?-z=-2+|i,故復(fù)數(shù)2的虛部為|.

故選C.

7.【答案】C

【解析】

【分

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表和分層抽樣，是基礎(chǔ)題.

推導(dǎo)出二居室有100戶，三居室有300戶，由此利用柱形圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判

斷即可.

【解答】

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解：如圖1調(diào)查的所有市民中四居室共200戶，所占比例為土二居室住戶占

200,cc-1

二-1-=600,二居室有600x3=100戶，三居室有300戶，

由柱形圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得：

在A中，樣本容量為：n=600x10%=60,故A錯(cuò)誤；

在3中，樣本中三居室住戶共抽取了300X10%=30戶，故8錯(cuò)誤；

在C中，樣本中對(duì)三居室滿意的有300x10%x50%=15戶，故C正確.

在。中，根據(jù)樣本可估計(jì)對(duì)四居室滿意的住戶有200x40%=80戶，故。錯(cuò)誤；

故選：C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了三角形面積公式，正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三點(diǎn)共線，以及利用基

本不等式求最值，屬于綜合題，難度較大.

先利用已知條件解出a,b,c的大小，由平面向量共線定理得到x與y的關(guān)系等式，再

由基本不等式解題.

【解答】

解：S4ABe=—AB-AC=—>sinB=cosAsinC,

62

因?yàn)閟inB=cosZsinC,由正弦定理可得：b=ccosA,

再由余弦定理可得：b=

2bc

所以a2+b2=c2,三角形為直角三角形，角C為直角，

因?yàn)镾zMBC=1荏?前=￥，

由三角形面積公式工besinA=—bccosA=—,所以/=%

2626

^-bccosA=均由余弦定理可得過be生亡日=旺化簡得：b2+c2-a2=6,

6262bc2

所以可得Q=l,c=2.b=?

CP=x^+y^=^CA+yCB,因?yàn)锳,B,P三點(diǎn)共線，所以京+y=l,

所以=C++=8+喜+X》2+竽,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào),

故選A.

9.【答案】ABCD

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的解析式及函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

依題意，口用=[2-f./€(一()3伍+2,即可推出結(jié)論.

IX2-2,X€(-V2,V2)

【解答】

2—T~,I€(—x,-V^2]U[v,2,+oc)

解：由題意可得，F(xiàn)")「

x2-2,xe(一魚⑸

作出函數(shù)圖象可得,

所以該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)-四，V2,四個(gè)單調(diào)區(qū)間,

當(dāng)尤=土近時(shí)，函數(shù)F(x)取得最大值為0,無最小值.

故選ABCD.

10.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查角的概念的擴(kuò)展，任意角的三角函數(shù)的定義，象限角，誘導(dǎo)公式，二倍角公式,

三角函數(shù)的奇偶性以及三角函數(shù)的平移變換等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

立足題設(shè)條件結(jié)合各選項(xiàng)運(yùn)用以上相關(guān)知識(shí)逐一展開論證即可得到正確結(jié)論.

【解答】

解：對(duì)于A,因?yàn)辄c(diǎn)P(l,-1)是角a終邊上的一點(diǎn)，

所以可得a=2卜兀一：，k&Z,

第12頁，共24頁

故5=1乃一(keZ,

所以與是第二，四象限角.

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若sin(￡+a)=|,即sin(°+2/OT—》=sin(夕一?=|,

所以s譏2S=sin[2(B_》+§

7T

=cos2(/?--)

c冗

=l-2sin2(jg--)

9

=-2x^

7

=—

25,

選項(xiàng)3正確；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=cos(3x+a+半)

5nn

=cos(3x+—+2kn--)

=-cos3x,

所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù).

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?(%)=sin(2x+a)=sin(2x一

所以將f(x)的圖像向左平移的單位可以得到y(tǒng)=sin[2(x+$-卞=sin(2x+$的圖

像，

又因?yàn)閟in(2x+：)=cos碎-(2x+￡)]

—cos(2x—》

即將函數(shù)/(x)=sin(2x+a)的圖象向左平移2個(gè)單位可以得到g(x)=cos(2x-》的圖

象

所以選項(xiàng)。正確.

故選BD

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了共線向量及零向量，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

對(duì)各選項(xiàng)逐一判定正誤，即可得到答案.

【解答】

解：對(duì)于A：兩個(gè)向量五，方，如果方=G,則五〃石,b//c,

則方，不不一定為共線向量，故錯(cuò)誤；

對(duì)于&若五〃石，則祝=如果,=石=6,則實(shí)數(shù);I不唯一，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C兩個(gè)非零向量五,E，若|五-1|=|引+|方|,可得0—石)2=(|方|+|石1)2,

即一2日7=2|初?I，cos。=一1,則兩個(gè)向量的夾角為7T,貝M與方共線且反向，故正

確；

對(duì)于。：已知蒼=(1,2),石=(1,1),

所以3+/1石=(1+4,2+4)，

因?yàn)槲迮c五+4日的夾角為銳角，可得(萬+八石)>()月/與方+4方不同向，

即｛/1>°'，解得人>且，*°-故錯(cuò)誤，

故說法錯(cuò)誤的是A8D

故選ABD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查了直線與直線，平面與平面位置關(guān)系的判定，二面角的求法，涉及線面垂

直的判定與性質(zhì)運(yùn)用，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

由題意畫出圖形，由線面垂直的判定與性質(zhì)可得4正確；由面面垂直的判定得3正確；

作出二面角P-EF-D的平面角并求其余弦值可得C正確，作出P在底面的射影，再

由斜線長與射影的關(guān)系判斷D.

【解答】

解：由題意，作出幾何圖形，如下：

第14頁，共24頁

由題意可得PE、PF、三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

由PD_LPE,PD1PF,PECPF=P,PE、PFu平面尸EF,

PD1平面PEF,又EFu平面PEF,

???PD1EF,故A正確；

同理可得PE，平面PDF,而PEu平面PDE,

二平面POE_L平面PDF,故B正確；

取EF中點(diǎn)G,連接PG,DG,可得PG1EF,DG1EF,得ZPG。為二面角P-EF-0的

平面角，設(shè)正方形ABC。的邊長為2,

則

PD=2,PG=-2EF=—2,DG=—2,

a

即二面角P-EF-D的余弦值為號(hào)故C正確；

過P作P。1DG于點(diǎn)O,則。為尸在底面DE尸上的射影,

PE<PD,

OE<OD,則。不是△DEF的外心，故。錯(cuò)誤.

故選4BC.

13.【答案】［-2,》

【解析】

【分析】

本題考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)與方程的關(guān)系，熟練

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

設(shè)y=(a2—4)/+(a+2)x—l,按二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)

不為。時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次項(xiàng)系數(shù)小于0,根的判別式小于0列出關(guān)于a

的不等式，求出不等式的解集即可確定出。的范圍.

【解答】

解:設(shè)y=(a2-4)x2+(a+2)x—1,

當(dāng)a=-2時(shí)，不等式(a2—4)/+(a+2)x—l》0的解集為空集，符合題意;

當(dāng)a=2時(shí)，原不等式變形為不是空集，不符合題意；

4

當(dāng)彥一4羊。時(shí)，則%+43_4)<。，

解得:-2<a<3,

綜上，a的取值范圍為[—2,|).

故答案為[-2,3.

14.【答案】①③④

【解析】解：對(duì)于①，/(x)的定義域?yàn)镽,

且/(一%)=sin|-%|4-|cos(—x)|=sin|x|+|cos后=/(%),

所以f(%)是定義域R上的偶函數(shù)，①正確；

對(duì)于②，當(dāng)％6(],兀)時(shí)，sin|x|=sinx,|cosx|=—cosx,

則f(%)=s^nx+(-cos%)=sinx—cosx=V2sin(x—：),

㈤時(shí),工一：￡(：，學(xué)),

所以f(%)在C，7T)上先增后減，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)工￡(一]《)時(shí)，由f(x)為偶函數(shù)，可求X￡[09)上的值域；

由％e[0,；)時(shí)，/(%)=sinx+cosx=V2sin(x+》

工+彳吒,牛),sin(x+”停,1],/(x)e[1,V2],

所以/(%)的值域是③正確；

對(duì)于④,當(dāng)xe(牛,9時(shí),/(%)=sinx—cosx—V2sin(x—)

此時(shí)％一個(gè)E(兀.)，sin(x-^)<0；

當(dāng)％e件予時(shí)，f(x)=sinx+cosx=V2sin(x+》

此時(shí)工+；sin(x+^)<0；

所以/(x)<0恒成立，④正確.

第16頁，共24頁

綜上知，正確的命題序號(hào)是①③④.

故答案為：①③④.

①利用奇偶性的定義，判斷/(X)為偶函數(shù)；

②當(dāng)xGG，兀)時(shí)，/(%)=sinx~cosx=&sin(%*)是增函數(shù)；

③xe(一今時(shí)，根據(jù)函數(shù)/(乃是偶函數(shù)，求出"X)在工€[0,今上的值域即可；

④求出xG4，號(hào)時(shí)/(x)<0即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是中檔

題.

15.【答案】2

3V5

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，和向量的夾角以及向量的模和向量加減運(yùn)算三角形的面

積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

通過萬5+0B+0C=0，\OC\=m，求出52-'0B=2,推出sin乙40B,然后求解S^OB

同理求解SMOC，SABOC然后推出結(jié)果.

【解答】

解：由題意3X+而+元=6,\oc\=V14,可知：+而|=|一元|=|元|=

V14，

所以a2+而2+2耐.而=]4，解得福?麗=2,

又因?yàn)橥卟?而=\0A\-\OB\COSAAOB=2.

所以cos乙408=9，所以sin乙408=四，

66

|0^4|=V6.\0B\=2,

故SNOB=與。川|0B|sin440B=遍.

OA+OB+0C=0,\0B\=2,可知：|函+無|=|一礪|=|萌|=2,

|0A|-V6>|0C|—V14?

所以罰?+元2+2成.直!=中解得面

又因?yàn)橥撸?OC=\OA\-\OC|cos乙40c=-8,

所以cos"OC=言，所以5也440。=尋

畫|=遍，\0C\=714.

故SMOC=|\0A\\0C\sm^.A0C=V5.

就+南+云=6，|函|=乃可知：|而+歷|=|一成|=|就|=遍，

\0B\=2,\0C\=V14,

所以麗2+左2+2萬.記=6，解得赤?沆

又因?yàn)槿?0C=\OB\\OC|coszFOC=-6，

所以cos/BOC=-所以sin/BOC=

\0B\=2,\0C\=舊，

故，BOC=與。8||。。回山。。=遍.

所以△4BC的面積為：SMOB+S^AOC+故S^BOC=3后.

故答案為：2；3V5.

16.【答案】

2V2

【解析】

【分析】

本題主要考查的是幾何體的體積的求法及空間距離，屬于中檔題.

可在正方體的基礎(chǔ)上求該多面體的體積，結(jié)合阿基米德多面體的外接球剛好是補(bǔ)形后正

方體的棱切球，再求M,N兩點(diǎn)間距離的最大值即可.

【解答】

解：依題意，可將該多面體補(bǔ)成一個(gè)棱長為2的正方體，如圖，

所以該阿基米德多面體是由正方體切掉8個(gè)全等的三棱錐形成，

其體積U=8-8xqx：xl=g.

該阿基米德多面體的外接球剛好是正方體的棱切球，直徑為2加，

而M,N兩點(diǎn)間距離的最大值為外接球的直徑，

則l"N|max=2V^

第18頁，共24頁

aG

17.【答案】解：(1)v/(%)=2cosx(V3sinx+cosx)—1=2V3sinxcosx+2cos2%—1=

V3sin2x+cos2x=2sin(2x+*),

所以，函數(shù)y=/(%)的周期為T=y=7T,

令一r+2kn<2x+-<7+2kn(kGZ),解得--+/czr<%<-+fc/r(kGZ)；

26236

令囚+2kjrW2x2/CTT(k6Z),解得巴+knW%W—+kn(k6Z).

26263

因此，函數(shù)'=/(%)的增區(qū)間為[一號(hào)+/^5+/^](々€2),

減區(qū)間為E+/C7T,與+/C7T](k€Z);

(2)v/(a)=2sin(2a+')=(，??,sin(2a+§=

???ae(W),...2a+江傳潦),...cos(2a+￡)=一Jl一sin?(2a+勻=-1,

QTTI(n.7i\n-(1c.7r3x/34

:.cos2a=cos[(2a+g)-*=cos\2a+-jcos&+sin(2na+Rsin&=-gx萬+gx

1_4-3b

2~~10

【解析】本題考查二倍角公式、輔助角公式、兩角和差公式以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

屬于中檔題.

(1)運(yùn)用二倍角公式、輔助角公式化簡/(X),再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到周期和

單調(diào)區(qū)間。

⑵由f(a)=4,得到sin(2a+3=±再通過同角三角函數(shù)關(guān)系得到cos(2a+《=

565o

-/I-sin2(2a+=最后運(yùn)用兩角和差公式計(jì)算，即可得到答案.

765

18.【答案】解：(1)由正方形可得正.反=0，

所以前?比=(BC+CD)-DC=-CDZ=-4；

(2)因?yàn)橹本€/過中心。且與兩邊4B、CD分別交于交于點(diǎn)M、N.

所以。為M、N中點(diǎn)，

所以麗-QN=(QO+OM)-(QO+ON)=QO2-OM2-

因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)，

所以|麗|=1,14|OM|<V2.

所以_］《赤-兩240,

即西?麗的取值范圍為［-1,0］;

(3)令行=2而，由祈=2OP=XOB+(1-4)無知點(diǎn)T在8c上，

又因?yàn)?。為M、N中點(diǎn)，

所以|祈從而|而

PM?PN=(PO+OM)-(PO+ON)=PO-OM，

因?yàn)?<\OM\<V2，

所以麗PN=~PO2-OM2>1-2=

44

即麗?麗的最小值為-

4

【解析】本題考查向量的數(shù)量積，向量的基本運(yùn)算，向量的模，向量共線的判定與證明，

向量的幾何運(yùn)用，屬于中檔題.

(1)將向量前分解為元+CD,利用垂直和數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；

(2)由。為M、N中點(diǎn)可得麗?麗=(QO+~OM)-(QO+OW)=QO^一而)再由?而?

和|麗|的范圍計(jì)算即可；

(3)令罰=2而，由向量共線的判斷可得點(diǎn)T在BC上，即可得|而|的范圍，再由兩.

第20頁，共24頁

PN=(Pd+OM)-(Pd+ON)=PO2-瓦片結(jié)合?麗|的范圍計(jì)算即可.

19.【答案】解：(1)因?yàn)樵诘谝惠喌膬蓤霰荣愔幸呀?jīng)確定。對(duì)6,。對(duì)d,

所以比賽結(jié)果的總樣本空間Q={(M-,W.culul.(,(I(lb.adbc,add,dabc,dacb

bead,beda,cbad,cbda,bdac,bdca,dbac,dbed},共16種結(jié)果，

設(shè)事件。隊(duì)C隊(duì)分別獲得冠亞軍為事件A,

則事件A的樣本空間Q1{acbd.acdb},共有2結(jié)果，

由古典概型概率公式得PQ4)=。"

IOO

(2)設(shè)事件〃勝〃為事件B,a勝c為事件C,。勝d為事件。，

c勝d為事件E,。隊(duì)獲得冠軍為事件F,

由事件的相互獨(dú)立性分析得：F=BEDUBEC,

???P(/)=P⑻P⑧P(D)+P(P)P(E)P(C)=*x渭x兇=藍(lán).

【解析】本題主要考查了古典概型的計(jì)算，對(duì)立事件的判斷和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的

概率計(jì)算，屬于中檔題.

(1)求出比賽結(jié)果的總樣本空間，。隊(duì)c隊(duì)分別獲得冠亞軍的樣本空間，再由古典概型概

率公式求解即可；

(2)設(shè)事件〃勝人為事件B,。勝c為事件C,。勝d為事件。，c勝”為事件E,a隊(duì)獲

得冠軍為事件尸，易知P(尸)=P(B)P(J)P(D)+P(B)P(E)P(C),求解即可.

20.【答案】解：(1)???g(%)為偶函數(shù),g(x)=x2-ax4-6,

=g(%)，

???%2—ax+6=%2+ax+6,

***ci=0,

：?g(x)=x2+6,

???g(x)的增區(qū)間為(0,+8)；

(2)?關(guān)于x的不等式g(%)<0的解集為{制2<%<3},

???a=2+3=5,

???0(%)=x2-5%+6,

...X>1時(shí)，膽=Ez業(yè)=(x-l)Z-3(x-l)+2=(x_1)+4__3