學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京四中2016—2017學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷試卷分為兩卷，卷（I）100分，卷(II）50分，共計(jì)150分考試時(shí)間：120分鐘卷（I)一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.不等式x2+x-2〉0的解集為（）A.｛x|x<—2或x>1｝B。{x｜—2〈x<1｝C.｛x|x<-1或x>2}D.｛x|—1〈x〈2}【答案】A【解析】,解得，故選A.2.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc,則A等于（）A。120°B。60°C。45°D。30°【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理可得：，所以,故選B。3.Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，如果S10=120，那么a1+a10的值是(）A。12B.24C。36D。48【答案】B【解析】試題分析:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項(xiàng)數(shù)之和為11的兩項(xiàng)之和都相等，即可求出a1+a10的值．解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+(a2+a9）+(a3+a8)+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10)=120所以a1+a10=24故選B考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d,下列結(jié)論：①若a〉b，c≠0，則ac〉bc;②若a>b，則ac2>bc2;③若ac2〉bc2,則a>b；④若a〉b，則〈;正確的結(jié)論為（）A.①B。②C。③D.④【答案】C【解析】①若a〉b，當(dāng)時(shí)有，，故不正確;②若a>b，當(dāng)時(shí)有，故不正確;。。.③若，顯然，兩邊同除以，可得，正確;④若a〉b,當(dāng)a>0〉b,時(shí)>，故不正確；故選C.5。在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，則B等于（）A。60°B。60°或120°C。30°D。30°或150°【答案】B【解析】在△ABC中,由正弦定理可得，解得,故選B。6。已知等差數(shù)列{an｝的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a1等于（）A。-4B.—6C。-8D?！?0【答案】C【解析】等差數(shù)列{an}的公差為2，所以,又a1,a3，a4成等比數(shù)列,所以有，即,解得，故選C。7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=2x+4y的最大值為（）A.24B。20C.16D.12【答案】B【解析】試題分析:畫出可行域如圖所示，為目標(biāo)函數(shù)，可看成是直線的縱截距四倍，畫直線，平移直線過點(diǎn)時(shí)有最大值20，故選B。考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃8.在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）A。y=B.y=(x>0）C.y=sinx+（0〈x〈）D.y=7x+7—x【答案】D【解析】A.，當(dāng)時(shí)，不滿足；B。，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因?yàn)閤〉0，故等號(hào)不成立，不滿足；C。y=sinx+，0〈x〈，所以，y=sinx+,不滿足；D。，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,滿足,故選D。9.如圖所示，C、D、A三點(diǎn)在同一水平線上，AB是塔的中軸線，在C、D兩處測得塔頂部B處的仰角分別是和，如果C、D間的距離是a，測角儀高為b,則塔高為（）A。B.C。D?！敬鸢浮緼【解析】在△B中,，∴即在△A1B中,.∴.即B=B?sinβ=。則塔高為.故選：A.10。設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是(）A。若a1+a2>0,則a2+a3>0B.若a1+a3>0，則a1+a2〈0C。若0〈a1<a2，則a2>D。若a1〈0，則(a2—a1）（a2—a3）>0【答案】C【解析】若a1+a2>0,d〈0,則a2+a3>0不一定成立，故A錯(cuò)誤；a1+a2=a1+a3-d，若a2+a3<0，當(dāng)d〈0時(shí)不一定有a1+a3—d〈0成立,故B錯(cuò)誤；若0〈a1〈a2，則a2=>，故C正確；若a1〈0，則(a2?a1)(a2?a3）=?d2?0，故D錯(cuò)誤；故選：C。點(diǎn)睛:等差數(shù)列的?？夹再|(zhì)：｛an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則。二、填空題:（本大題共6小題,每小題4分，共24分）11。在△ABC中，a=3，b=，∠A=，則∠B=_________.【答案】【解析】在△ABC中,由正弦定理可得：,解得，有∠A=，所以∠B必然為銳角，所以∠B=。12.數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn=2an-3（n∈N*）,則a5=__________?！敬鸢浮?8【解析】當(dāng)時(shí)，，得。當(dāng)時(shí)，，整理得:。..∴數(shù)列｛｝是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列∴a5=.故答案為48。13.如果c<b<a，且ac〈0，那么下列不等式中：①ab>ac；②c（b—a）〉0；③cb2<ab2；④ac(a—c）<0，不一定成立的是__________（填序號(hào)）?！敬鸢浮竣邸窘馕觥俊咔?∴．

①∵a＞0，c＜b，∴ac＜ab，即ab＞ac成立．

②∵b＜a,∴b-a＜0,∴c（b-a）＞0成立．

③∵b∈R，∴當(dāng)b=0時(shí)，cb2＜ab2不成立．

④∵c＜b＜a，a＞0，c＜0，∴a-c＞0，ac（a-c）＜0，成立．

故答案為:③.14。設(shè)x,y∈R+,且滿足x+4y=40，則lgx+lgy的最大值是_________?！敬鸢浮?【解析】由,且，解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大100，又.最大值為2。點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式,應(yīng)具備三個(gè)條件:一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中,含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等:含變量的各項(xiàng)均相等,取得最值。15。在△ABC中，a=4，b=5,c=6，則=__________。【答案】1【解析】試題分析：根據(jù)余弦定理,有，，同理有,故.考點(diǎn):解三角形、正余弦定理．16.兩等差數(shù)列{an｝和｛bn}前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且，則=__________。【答案】【解析】數(shù)列｛an}和{bn}為等差數(shù)列，所以.點(diǎn)睛：等差數(shù)列的?？夹再|(zhì)：｛an｝是等差數(shù)列，若m+n=p+q,則.三、解答題（本大題共3小題，共26分）17。已知△ABC中，BC=7，AB=3，且。（1）求AC;（2)求∠A。【答案】(1)5；（2）∠A=120°。【解析】試題分析:(Ⅰ）由正弦定理,根據(jù)正弦值之比得到對(duì)應(yīng)的邊之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；

（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA,把BC,AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．試題解析：...（1)由正弦定理得===AC==5。(2）由余弦定理得cosA===-，所以∠A=120°。18。已知關(guān)于x的不等式ax2+5x-2〉0的解集是{x｜<x〈2}。(1）求a的值；（2)求關(guān)于x的不等式ax2—5x+a2-1〉0的解集.【答案】（1）;(2）{x｜-3<x<｝。【解析】試題分析:（1）由題意得方程ax2+5x—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2由韋達(dá)定理得方程組求出a，代入不等式求出即可．(2）a=-2代入求解即可.試題解析：（1）依題意，可知方程ax2+5x—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，由韋達(dá)定理得:+2=-，解得：a=-2。（2）a=—2時(shí)，ax2-5x+a2-1=—2x2-5x+3=-(x+3）(2x—1)>0,解得：｛x｜—3<x<}。19。已知{an｝是一個(gè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10=110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列。（1）證明:a1=d；（2）求公差d的值和數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析；（2)故d=2，an=2n?！窘馕觥吭囶}分析：(1）由已知可得a22=a1?a4，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為（a1+d)2=a1?（a1+3d），整理可得

（2）結(jié)合（1）且有S10=10a1+d，列方程組求解即可。試題解析：（1）證明：因a1，a2,a4成等比數(shù)列,故=a1a4。而｛an｝是等差數(shù)列，有a2=a1+d，a4=a1+3d，于是(a1+d）2=a1(a1+3d），即+2a1d+d2=+3a1d，因?yàn)閐≠0，化簡得a1=d。（2）由S10=110得S10=10a1+d，即10a1+45d=110，由（1)a1=d，代入上式得55d=110，故d=2,an=a1+（n-1)d=2n.卷（II）一、選填題:（本大題共6小題，每小題5分，共30分）20。在R上定義運(yùn)算☆：a☆b=ab+2a+b,則滿足x☆（x—2）<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為______.【答案】（—2，1）。..【解析】根據(jù)題意有:☆。解得,故答案為（—2,1）。21。設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，S6=4S3，則a4=__________。【答案】3【解析】等比數(shù)列｛｝中，a1=1，S6=4S3，若公比，顯然不成立;所以，所以解得，所以。22.若銳角△ABC的面積為10，且AB=5，AC=8，則BC=_______.【答案】7考點(diǎn)：三角形的面積公式;余弦定理.23.在△ABC中，已知8b=5c，C=2B,則cosC=（）A.B。—C.±D.【答案】A【解析】由8b＝5c，C＝2B及正弦定理，得8sinB＝5sinC＝10sinBcosB，∴cosB＝。則cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.24。已知O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn),P，Q的坐標(biāo)滿足不等式組，則cos∠POQ的最小值為（）A。B。C.D.0【答案】A【解析】滿足不等式組的平面區(qū)域如圖所示：因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以角最大時(shí)對(duì)應(yīng)的余弦值最小，由圖得，當(dāng)P與A（7，1）重合，Q與B(4,3）重合時(shí)，角POQ最大。此時(shí)kOB=，k0A=7。由.故選A.點(diǎn)睛:線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.25。已知數(shù)列A：a1，a2，…,an（0≤a1<a2〈…<an，n≥3)具有性質(zhì)P：對(duì)任意i，j（1≤i≤j≤n)，aj+ai與aj—ai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)?，F(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論:.。。①數(shù)列0,1，3具有性質(zhì)P；②數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)P；③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則a1=0；④若數(shù)列a1，a2,a3（0≤a1〈a2〈a3）具有性質(zhì)P，則a1+a3=2a2.其中正確的結(jié)論有（）A。4個(gè)B。3個(gè)C。2個(gè)D.1個(gè)【答案】B【解析】①中取1和3兩個(gè)元素驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)不正確；②顯然滿足題意;③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,即所以對(duì)任意i,j（1?i?j?n），與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，那么當(dāng)i=j=n時(shí)，+與?至少一個(gè)在數(shù)列中，所以a1=0正確.④數(shù)列a1，a2,a3滿足條件,則a1=0,而a3+a2和a3?a2至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，而a3+a2不可能滿足,所以a3?a2=a2，所以a1+a3=a3=2a2，正確;3個(gè)正確，故選B。二、解答題：（本大題共2小題，共20分）26。已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=，設(shè)bn=,n∈N＊。（1）證明｛bn｝是等比數(shù)列（指出首項(xiàng)和公比）；（2）求數(shù)列｛log2bn｝的前n項(xiàng)和Tn?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）Tn=.【解析】試題分析：（1）由an+1=,得=2·，再利用等比數(shù)列的定義即可得出．（2)由（1）求出通項(xiàng)得log2bn=log22n-1=n—1，利用等差數(shù)列求和即可。試題解析:（1）由an+1=，得=2·。所以bn+1=2bn,即。又因?yàn)閎1=，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可知bn=1·2n-1=2n-1，所以log2bn=log22n—1=n-1。則數(shù)列｛log2bn}的前n項(xiàng)和Tn=1+2+3+…+（n—1）=。點(diǎn)睛：證明等比數(shù)列的一把方法有兩個(gè)：(1)。定義法,即;（2）.等比中項(xiàng)法：.27.已知向量m=（sinA，）與n=（3,sinA+cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角。.。.（1）求角A的大小;（2）若BC=2，求△ABC的面積S的最大值,并判斷S取得