第八章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程1.理解確定圓的幾何要素，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.考試要求知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.圓的定義和圓的方程知識(shí)梳理定義圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于______的點(diǎn)的集合方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：__________________圓心坐標(biāo)：________________半徑r＝定長(zhǎng)D2＋E2－4F＞02.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)[常用結(jié)論]1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)解析(2)當(dāng)a＝0時(shí),x2＋y2＝a2表示點(diǎn)(0，0)；當(dāng)a＜0時(shí),表示半徑為|a|的圓.√診斷自測(cè)××√2.已知圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A(2，1)，并且圓心在直線l：x－2y－1＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________________.解析設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，3.已知圓C的圓心在x軸上，且過(guò)A(－1，1)和B(1，3)兩點(diǎn)，則圓C的方程是__________________.解析圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓心為C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，(x－2)2＋y2＝10故圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.4.(選修一P102T7改編)當(dāng)m∈________時(shí)，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圓，半徑最大時(shí)圓的一般方程為_(kāi)_____________________.解析原方程可化為(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，它表示圓時(shí)應(yīng)有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.當(dāng)－m2＋2m＋3最大時(shí)，此時(shí)m＝1，故此時(shí)圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一圓的方程例1

(1)(2023·深圳模擬)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為_(kāi)_______________________.

解析

到兩直線3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，(x＋3)2＋(y＋1)2＝1又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.

(2)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_(kāi)___________________.解析法一設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(x－1)2＋(y＋1)2＝5∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三設(shè)A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半徑為r，即3x－y－4＝0.所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.感悟提升訓(xùn)練1(1)已知圓E經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______________.解析法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

法二(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，又圓E的圓心在x軸的正半軸上，

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知過(guò)點(diǎn)M(－2,－1)的圓C和直線x－y＋1＝0相切，且圓心在直線y＝2x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______________________.解析根據(jù)題意，圓心在直線y＝2x上，則設(shè)圓心為(n，2n)，圓的半徑為r，又圓C過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)且與直線x－y＋1＝0相切，(x＋1)2＋(y＋2)2＝2則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題角度1利用幾何意義求最值

(2)求x＋y的最大值和最小值；解設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，

求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1，2)的距離與半徑的和或差.角度2利用對(duì)稱性求最值例3

已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.解析因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，設(shè)點(diǎn)A(0，2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)，連接A′C交圓C于Q(圖略)，此時(shí)，|PA|＋|PQ|取得最小值，角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值12由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，感悟提升

訓(xùn)練2

(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則x2＋y2的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______.解析x2＋y2表示圓(x－2)2＋y2＝3上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖).又圓心到原點(diǎn)的距離為2，

(2)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為_(kāi)_______.解析P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1′(2，－3)，考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題所以圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.

(2)若線段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5，2)，端點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程.解設(shè)P(x，y)，由于P是MN中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.感悟提升訓(xùn)練3(1)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為(

)A.8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0解析由題意，得圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，連接PC，CQ(圖略)，因?yàn)閨PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－8y－21＝0.D

(2)若長(zhǎng)為10的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______________.解析設(shè)M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，x2＋y2＝25得4x2＋4y2＝100，即點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝25.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心坐標(biāo)為(－1，1)的圓的一般方程是(

)A.x2＋y2－2x－2y＝0 B.x2＋y2－2x＋2y＝0C.x2＋y2＋2x－2y＝0 D.x2＋y2＋2x＋2y＝0解析設(shè)圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝R2，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，則R2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.C【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固】2.(2023·重慶模擬)若點(diǎn)P(1，1)在圓C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)C3.已知圓C經(jīng)過(guò)A(0，0)，B(2，0)，且圓心在第一象限，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為(

)C解析∵圓心在弦的中垂線上，∴可設(shè)C(1，m)，∵△ABC為直角三角形，|AB|＝2，∵m＞0，∴m＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.4.已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(

)A.4 B.5 C.6

D.7AA解析方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓的條件為(k－1)2＋(2k)2－4k>0，

6.(多選)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x＝0，則(

)CD解析由題意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圓心坐標(biāo)為(－1，0),半徑r＝1的圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直線kx－y－k＝0與圓相切時(shí)k的值，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線kx－y－k＝0的距離d＝r，7.(多選)(2023·濰坊調(diào)研)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，則下列關(guān)于△ABC的外接圓M的說(shuō)法正確的是(

)ABD解析設(shè)△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，所以△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過(guò)圓M的圓心(1，3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱.因?yàn)?2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi).8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是___________，半徑是________.(－2，－4)5解析依據(jù)圓的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.當(dāng)a＝－1時(shí)，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心為(－2，－4)，半徑是5；當(dāng)a＝2時(shí)，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，9.(2022·全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)_________________________________________________________________________________.解析依題意設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若過(guò)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；②若過(guò)(0，0)，(4，0)，(4，2)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若過(guò)(0，0)，(－1，1)，(4，2)，④若過(guò)(－1，1)，(4，0)，(4，2)，10.已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4，0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值為_(kāi)_______.解析求△ABP面積的最小值，即求P到直線AB距離的最小值，即為圓心到直線AB的距離減去半徑.即3x－4y－12＝0，圓x2＋y2－2y＝0，即為x2＋(y－1)2＝1，圓心為(0，1)，半徑為1，11.已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn).(1)求m＋2n的最大值；設(shè)m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因?yàn)樵撝本€與圓有公共點(diǎn)，設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直線MQ與圓C有公共點(diǎn)，12.已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；解法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))，所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).ACD【B級(jí)

能力提升】解析因?yàn)閳AC和兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，且過(guò)點(diǎn)M(1，－2)，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)(a＞0)，故圓心在直線y＝－x上，A正確；圓C的方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，則圓心坐標(biāo)為(1，－1)或(5，－5)，所以滿足條件的圓C有且只有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；圓C的方程分別為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，將點(diǎn)(2，－1)代入這兩個(gè)方程可知其在圓C上,故C正確；14.(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R),下列命題正確的是(

)A.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B.所有圓Ck均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，0)C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)的圓Ck有且只有一個(gè)D.所有圓的面積均為4π解析圓心坐標(biāo)為(k，k)，