§10.6

差分方程的基本概念一、差分概念二、差分方程三、差分方程的解一階差分的差分,即

2

yn

(

yn

)

yn

1

yn

yn

2

2

yn

1

yn離散型數(shù)學(xué)模型研究的對象是定義在整數(shù)集上的函數(shù),一般記為

yn

f

(n),

n

0

,

1,

2,

.函數(shù)

yn

f

(n)

在

n

時刻的一階差分定義為

yn

yn

1

yn

f

(n

1)

f

(n)函數(shù)

yn

f

(n)

在

n

時刻的二階差分定義為一、差分概念解例1

設(shè)

yn

n

3n

,

求

y

,

y

.2

2n

n

yn

(n

1)2

3(n

1)

(n2

3n)

2n

2.

2

y

(

y

)

2(n

1)

2

(2n

2)

2.n

n差分的四則運算法則

(Cyn

)

C

yn

(C為常數(shù))

(

yn

zn

)

yn

zn

3

yn

zn

yn

1

zn

zn

yn

yn

zn

zn

1

yn

4

n

n

1n

n

1

n

z

zzn

1

yn

yn

1

znz

zzn

yn

yn

znz

yn

參照導(dǎo)數(shù)的四則運算法則學(xué)習(xí)將二階差分的差分定義為三階差分

,

即

3

y

2

y

2

y

y

2

y

yn

n

1

n

n

2

n

1

n一般地,

yn

3

3

yn

2

3

yn

1

ynk

階差分定義為

k

y

(

k

1

y

)

k

1y

k

1yn

n

n

1

nC,

k

1,

2,

n

k

ii

0i

ykk

(

1)i.Cikk!i!(k

i)!

其中P409定義3含有未知函數(shù)的差分或含有未知函數(shù)兩個或兩個以上函數(shù)值yn

,yn

1

,

的函數(shù)方程,稱為(常)差分方程.出現(xiàn)在差分方程中的未知函數(shù)下標(biāo)的最大差,稱為差分方程的階.k

階差分方程的一般形式為其中至少

k

y

要在式中出現(xiàn),

或y

和

y

一定要出現(xiàn).n

n n

k二、差分方程(1)(2)F

(

n,

yn

,

yn

,

,

y

)

0kn或

F

(

n,

yn

,

yn

1

,

,

yn

k

)

0

2

y

y

0,n

n

2

y

n

.nyn

3

3

yn

1

n

1,2yn

4

2

yn

2

4n

.n

2

y

n2

y

5,n

n

2

y

2

y

y

0,n

n

n均為二階差分方程，而由定義（2）

,yn

2

yn

1

yn

2,yn

2

2

yn

1

yn

0,也同為二階差分方程，關(guān)于差分定義的說明：根據(jù)定義（1）,n

1yn

2

,而關(guān)系式

2

y

y

2

y

y

,n

n

2

n

1

n按定義都不是差分方程.注意差分方程的兩個定義不是完全等價的.方程

2y

y

0

,

按定義(1)

,

為二階差分方程,n

n若改寫為

2

y

y

y

2

y

y

yn

n

n

2

n

1

n

n

yn

2

2

yn

1

0,按定義(2),則應(yīng)為一階差分方程.√例

2

下列等式是差分方程的有(

).A.2

yn

yn

n

B.

3

yn

3

yn

anC

.

2

yn

yn

2

2

yn

1

ynD.

yn

2

yn

1

3

yn

2

4解由差分方程的定義有：A,D是差分方程.B的左端

3

yn

3(

yn

1

yn

)

3

yn

1

3

yn，則等式實為

3

yn

1

a

n，僅含一個時期的函數(shù)值yn

1，故不是差分方程

.而C的左端

2

yn

(

yn

1

yn

)

yn

1

yn

yn

2

2

yn

1

yn，恰好等于右端，故不是差分方程.(2)

yn

2

yn

4

yn

2例3確定下列方程的階(1)

yn

3

n2

yn

1

3

yn

2解

n

3

n

3，

(1)是三階差分方程；

n

2

(n

4)

6，

(2)是六階差分方程.而通解中給任意常數(shù)以確定值的解,稱為方程的特解.(2)如果將已知函數(shù)yn

(n)代入方程(2)定義4使其對n

0,1,2,

成為恒等式,則稱yn

(n)為方程(2)的解.如果方程(2)的解中含有k個獨立的任意常數(shù),則稱這樣的解為方程(2)的通解,3是否為差分方程的通解,

并求滿足條件

y0

5

的特解.

C

3n

n

3nn例4

設(shè)差分方程

yn

1

3

yn

3 ,

驗證

yn解n將

y

C

3n

n

3n

代入方程

nn

3n33(n

1)3

3

C

3

13n

1n

1左邊

C

3

3n

右邊所以3ny

C

3n

n

3n

是方程的解,且含有任意常數(shù)C

,故為方程的通解.將

y0

5

代入得

C

5,于是所求特解為3y

5

3n

1

n3n

.(2)yn

k

a1yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

0稱之為k

階齊次常系數(shù)線性差分方程.三、常系數(shù)差分方程解的結(jié)構(gòu)的差分方程,稱為k

階常系數(shù)線性差分方程,其中f

(n)

為已知函數(shù)

,

且

ak

0

.如果f

(n)不恒等于零,則(1)又稱為k

階非齊次線性差分方程,如果

f

(n)

0

,

則(1)

變?yōu)樾稳鐈n

k

a1yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f

(n)

1

有時也稱(2)為(1)的對應(yīng)齊次方程.例如，方程

nyn

3

3

yn

1

n2

1是二階非齊次線性差分方程(非常系數(shù)),方程

nyn

3

3

yn

1

0

是對應(yīng)的齊次方程

.定理1如果函數(shù)y1

(n),y2

(n),

,ym

(n)均為k

階齊次線性差分方程(2)的解,則

y(n)

C1

y1

(n)

C2

y2

(n)

Cmym

(n)也是方程

(2)

的解,

其中C1

,

C2

,

,

Cm

是任意常數(shù)。定理2如果函數(shù)y1

(n),y2

(n),

,yk

(n)是k

階齊次線性差分方程的k

個線性無關(guān)的特解,則

Yn

C1

y1

(n)

C2

y2

(n)

Ck

yk

(n)是方程(2)

的通解,

其中C1

,

C2

,

,

Ck

是任意常數(shù)。n的一個特解,

Yn

是對應(yīng)齊次方程

(2)

的通解,定理41

2如果

y

,

y

分別是非齊次差分方程yn

kyn

k

a1

yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f1

(n)

a1

yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f2

(n)定理3

如果

y*

是

k

階非齊次差分方程

(1)n則

yn

Yn

y*是方程(1)

的通解.的特解.yn

k的兩個特解,

則

y*

y

y

是方程1

2

a1

yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f1

(n)

f2

(n)練習(xí)題

2

y

x

1

y

x

,

y

x

2C、yx

2

y

x

1

3

y

x

2

4,

D、yx

3

.x4、函數(shù)y

A

2

x

8是差分方程（）的通解

．A、yx

2

3

y

x

1

2

y

x

0,

B、yx

3

y

x

1

2

y

x

2

0,C、yx

1

2

y

x

8,

D、yx

2

2

y

x

8

.A、

3

y

x

3

y

x

a

,

B、Δ

yx

2x1、設(shè)y

a

x，求Δ

y

.x2、設(shè)y

x

2

2

x，求Δ2

y.3、下列等式是差分方程的有（）VxVx

1Vx(2)Δ