..一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【同步教育信息】一.本周教學(xué)容：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系〔即：韋達(dá)定理及逆定理〕；

2.靈活運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系確定字母系數(shù)的值；求關(guān)于兩根的對(duì)稱式的值；根據(jù)方程的根，構(gòu)作根滿足*些要求的新方程。

3.在解題中鍛煉分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力；

4.提高自己綜合運(yùn)用根底知識(shí)分析解決較復(fù)雜問題的能力。

5.體會(huì)特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，有意培養(yǎng)自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律的興趣，及樹立勇于探索規(guī)律的精神。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及其推導(dǎo)和應(yīng)用，注意往往不解方程，用兩根和與積或各系數(shù)就可解決問題，這時(shí)解了方程反而更麻煩。

2.教學(xué)難點(diǎn)：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系，掌握配方思想，把*些代數(shù)式配成兩根和與積的形式才能將系數(shù)代入。【典型例題】例1.方程的一個(gè)根是，求它的另一個(gè)根及b的值。分析：含字母系數(shù)的一元二次方程中，假設(shè)它的一個(gè)根，往往由韋達(dá)定理可求另一根，并確定字母系數(shù)的值。解：〔方法一〕設(shè)方程的另一根為，則由方程的根與系數(shù)關(guān)系得：解得：〔方法二〕由題意：解得：根據(jù)韋達(dá)定理設(shè)另一根為*，則點(diǎn)撥：解法一較簡(jiǎn)單，主要原因是突出了求解的整體性。例2.方程的兩根為，求以下代數(shù)式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕分析：假設(shè)方程兩根，則不解方程，可求出關(guān)于的對(duì)稱式的值，只須將其配成含有、的形式。解：由，根據(jù)韋達(dá)定理〔1〕〔2〕〔3〕點(diǎn)撥：體會(huì)配方思想，將代數(shù)式配成含有的形式，再代系數(shù)即可。例3.：是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，則求的值。分析：由兩個(gè)條件可得出為方程的兩不等實(shí)根，再對(duì)所求代數(shù)式配方變形。解：由題意，為的兩個(gè)不等實(shí)根因而有又點(diǎn)撥：善于轉(zhuǎn)化未見過的題，充分挖掘條件。例4.關(guān)于*的一元二次方程與有一個(gè)一樣的根，求k的值。解：〔解法一〕設(shè)方程兩根α、β，方程的兩根，則有：由當(dāng)時(shí)，代入當(dāng)時(shí)，由代入則代入把代入<2>中，或〔解法二〕將與相減得：此時(shí)方程根為0或，即題中兩方程一樣根為0或〔1〕假設(shè)是0則；〔2〕假設(shè)是，則；或點(diǎn)撥：兩種解法各有千秋，一運(yùn)用了解方程組思想，二運(yùn)用了"假設(shè)方程與有公共根，則公共根必滿足方程〞的結(jié)論。例5.方程〔1〕假設(shè)方程兩根之差為5，求k?！?〕假設(shè)方程一根是另一根2倍，求這兩根之積。分析：對(duì)含字母系數(shù)的一元二次方程，可根據(jù)題設(shè)中方程根與系數(shù)關(guān)系，確定方程系數(shù)字母的值。解：〔1〕設(shè)方程兩根與，由韋達(dá)定理知：又〔2〕設(shè)方程兩根，由根系關(guān)系知：點(diǎn)撥：兩根的關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理解決系數(shù)求值問題。例6.方程兩根之比為1：3，判別式值為16，求a、b的值。分析：必用判別式，又韋達(dá)定理知，，顯然可求a、b。解：設(shè)方程的兩根為m，3m由韋達(dá)定理知：即把代入得：點(diǎn)撥：把判別式、韋達(dá)定理綜合出題，更易貫穿新舊知識(shí)。例7.是關(guān)于*的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根?！?〕用含m的代數(shù)式表示；〔2〕當(dāng)時(shí)，求m的值。分析：應(yīng)注意，即可用根系關(guān)系。解：〔1〕由題意：〔2〕由〔1〕得：解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，原方程無實(shí)根?！嗌崛ギ?dāng)時(shí)，原方程有實(shí)根?！帱c(diǎn)撥：易忽略檢驗(yàn)，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用一元二次方程有關(guān)概念，及判別式，根系關(guān)系。例8.方程的兩根為，求一個(gè)一元二次方程，使它兩根為和。分析：所求方程，只要求出的值即可，轉(zhuǎn)化成例2類型了。解：設(shè)所求一元二次方程為為方程的兩根∴由韋達(dá)定理又∴所求一元二次方程為即：點(diǎn)撥：應(yīng)用根系關(guān)系構(gòu)造方程，如果方程有兩實(shí)根，則方程為，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，往往化成整系數(shù)方程。［總結(jié)擴(kuò)展］

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的根底上進(jìn)展。它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下根底。

2.以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力。

3.本節(jié)課學(xué)習(xí)了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，主要有如下幾方面：〔1〕驗(yàn)根；〔2〕方程的一根，求另一根；〔3〕求*些代數(shù)式的值；〔4〕求作一個(gè)新方程……

4.通過根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能較好地熟悉和掌握了根與系數(shù)的關(guān)系，由此鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維能力?！灸M試題】〔答題時(shí)間：40分鐘〕一.選擇題。

1.是關(guān)于*的一元二次方程的一個(gè)根，則k與另一根分別為〔〕

A.2，-1

B.-1，2

C.-2，1

D.1，-22.方程的兩根互為相反數(shù)，則m的值是〔〕

A.4

B.-4

C.1

D.-13.假設(shè)方程有兩根，一根大于1,一根小于1.則k的取值圍是〔〕

A.

B.

C.

D.4.假設(shè)方程的兩根中，只有一個(gè)是0，則〔〕

A.

B.

C.

D.不能確定5.方程的大根與小根之差等于〔〕

A.

B.

C.1

D.6.以為根的，且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是〔〕

A.

B.

C.

D.二.填空題。

7.關(guān)于*的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則m＝________。8.一元二次方程兩根比2：3，則a，b，c之間的關(guān)系是______。

9.方程的兩根，且，則________。

10.是方程的兩根，不解方程可得：________，________，________。11.，則以為根的一元二次方程是______________________________。三.解答題。

12.方程的兩個(gè)實(shí)根中，其中一個(gè)是另一個(gè)的2倍，求m的值。13.方程的兩根不解方程，求和的值。

14.方程的兩根，求作以為兩根的方程。

15.設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，且兩實(shí)根的倒數(shù)和等于3，試求m的值。【試題答案】一.選擇題。

1.A

2.B

3.D

4.B

5.C

6.B二.填空題。

7.

8.設(shè)，則

9.或時(shí)，原方程△＜0，故舍去，

10.

11.由此或或所求方程或三.解答題。

12.解：設(shè)方程的一個(gè)根為*，另一根2*由根系關(guān)系知：解得：

13.解：由題設(shè)條件

14.解：由題意即故所求方程是，即

15.解：由由不符合題意，舍去【勵(lì)志故事】果斷有一個(gè)6歲的小男孩，一天在外面玩耍時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)鳥巢被風(fēng)從樹上吹掉在地，從里面滾出了一個(gè)嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩決定把它帶回家喂養(yǎng)。當(dāng)他托著鳥巢走到家門口的時(shí)候，他突然想起媽媽不允許他在家里養(yǎng)小