精品文檔-下載后可編輯立體幾何折紙建構紙，作為文明的載體，其最大的作用曾是書寫和印刷.當然,用紙做紙巾、紙尿褲、包裝袋等，這些功用也是必不可少的.本文要說明的是，折紙這個我們兒時的游戲不僅反映出紙的另一種用途，而且她還是非常了不起的一種藝術形式，甚至能幫助我們學好數(shù)學.

我們已經(jīng)學過平面幾何，將要學習立體幾何.立體幾何是什么呢？通過下面的一系列折紙?zhí)剿?，可以充分地展示平面這一我們熟悉的概念與立體這一陌生的概念是如何聯(lián)系起來的.

探索一

取一個信封，用過的也沒關系，實在沒有就臨時制作一個.顯然信封是一種平面的物品.現(xiàn)在照下面的步驟就可以使它變成一個立體的正四面體.

第一步：將信封豎起來，將底部的一角折向中縫，同時保證折痕通過另一底角，但折痕不需要做出來.如圖1所示.

第二步：將中縫上的這點標記為P.過P點向兩底角做兩道折痕，注意正反向都要折一次.讓折痕盡量做得尖銳和平直.如圖2.

第三步：用直角三角尺在P點處畫一條水平線，剪去線上的部分.

第四步：從開口端撐開，瞧，一個正四面體就做出來了.

探索二

請你證明：這樣得到的果真是個正四面體.也就是說，這個四面體的每個面都是正三角形.

探索三

現(xiàn)在數(shù)一數(shù)，四面體有幾條棱（E），幾個頂點（V），幾個面（F）.大數(shù)學家歐拉研究過對于其它簡單多面體也適用的公式：V+F-E=2.對于四面體，你能驗證這個公式成立嗎？

請跟我繼續(xù)一個新的折紙實驗.這次得到的將是更神奇的“一家子”四面體.

探索四

再取一個信封，如果你上次剪掉的上半個信封是完整的，請將它上面的口封好待用.

怎么做呢？如圖5所示，

第一步：折一個底角的角平分線，即折出45°角.

第二步：折出與底邊構成45°角的平分線，即22.5°角.

第三步：標注翻折后的底角位置P.

第四步：用直角三角尺在P點處畫一條水平線，剪去線上的部分.

第五步：通過對折開口邊，找到中點M.

第六步：過點M向兩底角做兩道折痕，注意正反向都要折一次.讓折痕盡量做得尖銳和平直.

第七步：從開口端撐開，至此一個新的四面體就做成了.這是一個階段性的結果，或可稱作是半成品.

探索五

這樣得到的四面體是怎樣的四面體？它的四個面是否全等？每個面的三角形是等腰三角形嗎？每個側面三角形具有怎樣的三邊長？

探索六

這個四面體有幾種二面角？分別是多少度？

繼續(xù)拿剛才未最終完成的四面體折紙.

第八步：把它打開壓扁還原成半截信封的樣子.

第九步：照圖6所示再作正反折痕3道：一橫兩斜.

第十步：撐開信封開口端，把半截信封的左上角及右上角先后朝里折到底部的中點N.注意讓虛線標注痕折凹陷進去.

你將得到一個奇怪的多面體形狀.如圖7(此圖由梁海聲提供).

這是一個包裹著4個四面體的復合體.脫胎于原來大四面體的新結構，這四個小四面體與原來四面體形狀一致.

探索七

這個復雜多面體有多少個面，頂點，棱，它們符合歐拉定理么？

探索八

請再制作一個這樣的四面體，看看兩個這樣的四面體可以組合出什么形狀的聯(lián)合體？

以上都是用信封在做實驗材料，如果沒有信封呢？下面再介紹給大家一種名片折紙.

探索九

取一張名片，請你用它來折出一個四面體，你行嗎？

超簡單！請看：

圖8所示的折痕一律是凹下去的，作出這些折痕，將四個直角頂點統(tǒng)一向上收攏回來就可以形成一個四面體，當然還需要一些膠帶來固定接縫.

探索十

還是剛才那張名片，你能用它折出兩個四面體嗎？

也很容易！如同一加一等于二一般，我們只要把第一種方法重復一次，一個連體雙胞胎四面體就做出來了，如圖9所示.

當然要注意實線是拱起來的折痕，虛線是凹下去的折痕.

探索十一

你發(fā)現(xiàn)了嗎？通常這樣做成的四面體有一條棱在長方形的內(nèi)部，它一定是長方形

長邊中點的聯(lián)線！為什么？

探索十二

如果名片長寬比適當，照上面的辦法制作出來的連體四面體從外觀上來看，可以認為是由這兩個四面體拼成的一個四棱錐.這是怎樣的長寬比？問題的本質是，如何通過選擇紙的形狀得到具有直角二面角的四面體？

答案是：2∶1.這就是通常被人稱作是白銀長方形的一種長方形.我們用的書、讀的報紙、包括這本雜志的形狀都是這個比.當然最精確符合這一標準的是A4紙.

以上通過折紙得到的兩種四面體是立體幾何中的兩個基本對象.但是已經(jīng)足以讓我們了解到立體幾何的獨特魅力.維數(shù)的增加意味著更多的可能性.是折紙讓我們從二維空間進入了三維空間.讓我們時刻拿起一張紙來折疊吧，說不定你會發(fā)現(xiàn)一個定理并以你的名字命名呢！

(注：相關的折紙視頻可參見網(wǎng)站：.xiandai.pte.省略/v/default.html)

《剖析直線方程的易錯點》鞏固練習參考答案

1提示：當m=2時，直線l的方程為x=2；

當m≠2時，直線l的斜率k=2m－2，由點斜式得直線方程為y－1=2m－2（x－2），即方程為2x－（m－2）y+m－6=0，又當m=2時也滿足此方程，故所述所求直線l的方程為2x－（m－2）y+m－6=0.

2提示：若截距不為0，可設直線的方程為xa+ya=1，把點P（3,2）代入得：3a+2a=1，即a=5，此時直線的方程為x+y－5=0；若截距為0，可設直線的方程為y=kx，把點P（3,2）代入得k=23，此時直線方程為y=23x，故所求直線的方程為2x－3y=0和x+y－5=0.

3提示：若a=0時兩條直線顯然不平行；

若a≠0，則a2=8a≠2－1，解得a=4，故所求a的值為4.

4提示：當斜率不存在時，直線x=1與直線l:2x+y－6=0的交點為B（1,4），符合要求；

當斜率存在時，可設直線的方程為y+1=k（x－1），即kx－y－k－1=0，由題意得

kx－y－k－1=0，2x+y－6=0，解得x=k+7k+2，y