第第頁(yè)浙江省溫州市樂清市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（B）（含解析）2023學(xué)年第一學(xué)期高二段數(shù)學(xué)開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)B卷

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合，，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)榧?，?/p>

所以，也即,

故選：.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：由題意得，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示，故可知點(diǎn)在第一、二象限，故選A.

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.要得到余弦曲線，只需將正弦曲線向左平移（）

A.個(gè)單位B.個(gè)單位C.個(gè)單位D.個(gè)單位

【答案】A

【解析】

【分析】由題得，再利用圖象變換知識(shí)求解.

【詳解】由于，

所以要得到余弦曲線，只需將正弦曲線向左平移個(gè)單位.

故選：A

4.設(shè)直線，，則是的（）

A充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，，

此時(shí)，則，所以，故充分性成立；

當(dāng)時(shí)，，解得或，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要條件，

故選：C.

5.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.外離C.相交D.相切

【答案】B

【解析】

【分析】計(jì)算出兩圓的圓心距，判斷圓心距與兩個(gè)圓的半徑之和的大小關(guān)系即可.

【詳解】由題意得：,,因?yàn)?，所以兩圓外離.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)圓的位置關(guān)系，熟練掌握兩圓內(nèi)含、外離、相交、相切滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，，進(jìn)而即可得到，，的大小關(guān)系．

【詳解】由，且，即，

又，

所以c＜b＜a．

故選：A．

7.在中，已知是邊上的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)（）

A.B.C.D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)是邊上的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得到，再利用平面向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】解：因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，

所以，

所以，

，

又因?yàn)椋?/p>

所以，則，

故選：C

8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，正方形的中心為O，棱，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）

A.

B.

C.點(diǎn)F到直線的距離為

D.異面直線與所成角的余弦值為

【答案】D

【解析】

【分析】以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可判定A選項(xiàng)；利用正弦定理計(jì)算三角形的面積判定B選項(xiàng)；利用空間向量的距離公式可判定C選項(xiàng)；利用直線方向向量可計(jì)算夾角余弦值，可判定D選項(xiàng).

【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，,,,,

,,則，

故選項(xiàng)A正確；

，所以，

則，

，故選項(xiàng)B正確；

，,

,

點(diǎn)F到直線的距離,故選項(xiàng)C正確；

,則,

則令異面直線與所成角，可得.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）

9.在空間中，設(shè)為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列正確的是（）

A.若，，則

B.若，，則

C.若，，，則

D.若，，，則

【答案】AD

【解析】

【分析】由面面垂直的判定定理可得，選項(xiàng)A可判定；若，，則，或與相交，選項(xiàng)B可判定；若，，，則，與相交，與異面，選項(xiàng)C可判定；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可證得

，選項(xiàng)D可判定.

【詳解】因?yàn)樗钥扇≈本€，且，

因?yàn)?，，所以，又，可得，故選項(xiàng)A正確；

若，，則，或與相交，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

若，，，則，與相交，與異面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)?，令可取直線，且，

可得又，所以，

因?yàn)?，，所以?/p>

又，可得，故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

10.下列說法正確的是（）

A.直線的傾斜角的取值范圍為

B.“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充要條件

C.直線恒過定點(diǎn)

D.直線與直線垂直，且與圓相交

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出斜率范圍，再求傾斜角的范圍即可，則選項(xiàng)A可判定；由點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建方程求解即可，則選項(xiàng)B可判定；提取參數(shù)并消去參數(shù)可求得必過點(diǎn)，則選項(xiàng)C可判定；求出兩直線的斜率，判定位置關(guān)系，求出圓心到直線距離并與半徑比較，即可判定直線與圓的位置關(guān)系，則選項(xiàng)D可判定。

【詳解】因?yàn)樗孕甭?，則，

令傾斜角為，則，又，

解的,故選項(xiàng)A正確.

由點(diǎn)到直線距離為3，可得，

解的或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

,可得，令可得，

所以必過點(diǎn),故選項(xiàng)C正確；

直線與直線中斜率分別為，乘積為，故而垂直，

原點(diǎn)到距離，故而與圓相交，

故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.

11.已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

【答案】CD

【解析】

【分析】本題首先可根據(jù)判斷出A，然后根據(jù)判斷出B，再然后根據(jù)判斷出C，最后根據(jù)判斷出D.

【詳解】因?yàn)?、正?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

因?yàn)?，所以，故A不正確.

因?yàn)?

當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，故B不正確.

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

即，故C正確.

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：CD.

12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩解，則實(shí)數(shù)的值可能為（）

A.B.C.D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可得方程根的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性與值域以及圖象分析判斷.

【詳解】①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以；

②當(dāng)時(shí)，則，

可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，

所以，且.

方程的根的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得：

當(dāng)時(shí)，與沒有交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與有且僅有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)；

若關(guān)于的方程有兩解，即與有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，

因?yàn)?，而A、C不在相關(guān)區(qū)間內(nèi)，

所以A、C錯(cuò)誤，B、D正確.

故選：BD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.若復(fù)數(shù)，則______.

【答案】##

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以.

故答案為：.

14.若兩條直線與平行，則與間的距離是______.

【答案】##

【解析】

【分析】先利用兩直線平行的公式求出參數(shù)，再用兩平行線間距離公式求距離即可.

【詳解】?jī)蓷l直線與平行,

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，,兩直線不重合；

所以，

則與間的距離,

故答案為：.

15.一個(gè)三位自然數(shù)，百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)稱為“凹數(shù)”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是_________．

【答案】

【解析】

【分析】先確定a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所組成的三位數(shù)的所有可能情況，再確定其中“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)，最后即可運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可

【詳解】a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所組成的三位數(shù)的所有可能情況為：123，132，213，231，312，321，124，142，214，241，412，421，134，143，314，341，413，431，234，243，324，342，423，432，共24個(gè)數(shù)字，

其中為“凹數(shù)”的有213，312，214，412，314，413，324，423，共8個(gè)，

所以所求概率為，

故答案為：

16.已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若球的體積為，這兩個(gè)圓錐的體積之和為，則這兩個(gè)圓錐中，體積較大者的高與體積較小者的高的比值為______.

【答案】

【解析】

【分析】可先畫出圖形，由球體積和兩個(gè)圓錐的體積之和求出球半徑和底面半徑，由截面圓中的直角三角形利用勾股定理求出，則兩高可得，結(jié)論可求.

【詳解】如圖所示，設(shè)圓錐與圓錐公共底面得圓心為,取底面圓周上一點(diǎn)，

令底面半徑為，球半徑為,

因?yàn)榍虻捏w積為，所以,解得,

因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的體積之和為，所以即解得，

在直角三角形中，

可得,，

所以體積較大者的高與體積較小者的高的比值.

故答案為：.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.已知直線和的交點(diǎn)為．

（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行，求直線的方程；

（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）由已知可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線間的位置關(guān)系可得直線方程；

（2）設(shè)直線方程，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.

【小問1詳解】

解：聯(lián)立的方程，解得，即

設(shè)直線的方程為：，將帶入可得

所以的方程為：；

【小問2詳解】

解：法①：易知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線方程為：，

則直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，由題意得，

解得：或

所以直線的方程為：或，

即：或.

法②：設(shè)直線的斜率為，則的方程為，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以，解得：或

所以m的方程為或

即：或.

18.為了迎接新高考，某校舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中，600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.已知圖中第三組頻率為，第一組和第五組的頻率相同.

（1）求a，b的值；

（2）估算高分（大于等于80分）人數(shù)；

（3）估計(jì)這600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）

【答案】（1）

（2）

（3）;

【解析】

【分析】（1）由頻率分布圖中小矩形面積之和為1，能求出的值；

（2）先由題意求出高分頻率，再根據(jù)公式求出頻數(shù)即可；

（3）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解.

【小問1詳解】

第一組頻率，第二組頻率，

第三組頻率,第四組頻率,第五組頻率,

由概率之和為，可得即，

第三組頻率為0.45，可得，

解得，

【小問2詳解】

高分（大于等于80分）頻數(shù)，

則估算高分（大于等于80分）頻數(shù)為（人），

【小問3詳解】

估計(jì)平均數(shù)為，

設(shè)中位數(shù)為，

由于，故，

，解得，故中位數(shù)為.

19.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.

（1）求角B大小；

（2）若，，為的重心，求的面積.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得，解三角方程可得；

（2）由為的重心，得到點(diǎn)到線段的距離與點(diǎn)到線段的距離的比值，再將其轉(zhuǎn)化為面積比，則面積可求.

【小問1詳解】

由正弦定理可得，

，

，

，

又三角形中,可得，

，又

，可得,

又即，可得，則.

【小問2詳解】

連接并延長(zhǎng)使其交與點(diǎn)，如圖，

因?yàn)闉榈闹匦?，所?

則點(diǎn)到線段的距離是點(diǎn)到線段的距離的，

則.

20.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．

（1）求；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用求得.

（2）利用向量法求得二面角的余弦值.

【小問1詳解】

平面，平面，所以，

四邊形為矩形，，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、、、，

則，，

，則，

解得，故；

【小問2詳解】

設(shè)平面的法向量為，則，，

由，取，可得，

設(shè)平面的法向量為，，，

由，取，可得，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

21.已知圓，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）若P坐標(biāo)為，求過點(diǎn)P的切線方程；

（2）直線與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】（1）或.

（2）

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)設(shè)直線方程，然后由圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建方程，即可求出切線；

（2）聯(lián)立圓與直線，利用韋達(dá)定理構(gòu)建的函數(shù)式，再求其范圍即可.

【小問1詳解】

P的坐標(biāo)為,

當(dāng)斜率不存在時(shí)可設(shè)線為，

此時(shí)圓心到直線的距離，不符合切線要求，舍去；

當(dāng)斜率不存在時(shí)可設(shè)線為，即，

此時(shí)圓心到直線的距離，即，

可得或，過點(diǎn)的切線方程為或.

【小問2詳解】

設(shè)，

聯(lián)立，消去，可得，

化簡(jiǎn)可得：，

則，即，

解得，

由韋達(dá)定理可得，，

，

又，

.

22.已知函數(shù)，.

（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性（不需要給出證明）；

（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）奇函數(shù)；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）若，寫出函數(shù)的解析式，可判斷出該函數(shù)的奇偶性；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；

（2）.

函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線.

若函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得；

（3）方程的解即為方程的解．

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，即，

所以，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即，即，

因?yàn)?，所以，?/p>

設(shè)，存在使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，，

下證函數(shù)在上單調(diào)遞增．

任取、且，則

，

因?yàn)?，則，，所以，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，，故；

③當(dāng)時(shí)，即，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

即，，所以，，

設(shè)，下證函數(shù)在上為減函數(shù)，

任取、且，則

，

因?yàn)?，則，，所以，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減．

因?yàn)榇嬖谑沟藐P(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以，，所以，.

綜上：．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2023學(xué)年第一學(xué)期高二段數(shù)學(xué)開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)B卷

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合，，則（）

A.B.C.D.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

3.要得到余弦曲線，只需將正弦曲線向左平移（）

A.個(gè)單位B.個(gè)單位C.個(gè)單位D.個(gè)單位

4.設(shè)直線，，則是的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.外離C.相交D.相切

6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a

7.在中，已知是邊上的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)（）

A.B.C.D.1

8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，正方形的中心為O，棱，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）

A

B.

C.點(diǎn)F到直線的距離為

D.異面直線與所成角余弦值為

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）

9.在空間中，設(shè)為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列正確的是（）

A.若，，則

B.若，，則

C若，，，則

D.若，，，則

10.下列說法正確的是（）

A.直線的傾斜角的取值范圍為

B.“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充要條件

C.直線恒過定點(diǎn)

D.直線與直線垂直，且與圓相交

11.已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確是（）

A.B.

C.D.

12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩解，則實(shí)數(shù)的值可能為（）

A.B.C.D.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.若復(fù)數(shù)，則______.

14.若兩條直線與平行，則與間的距離是______.

15.一個(gè)三位自然數(shù)，百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次