2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.等邊三角形ABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)。在弧AC上，連接A。、CD、BD.

(1)如圖1,求證BO平分NAOC；

(2)如圖2,若NDBC=15°,求證：AD：AC=V2：6；

(3)如圖3,若AC、BD交于點(diǎn)、E,連接0E,且0E=2夕，若BD=3CD,求AO的長(zhǎng).

【解答】解：（1）「△ABC為等邊三角形，則/ABC=/ACB=/8AC=60°,

ZBDC=ZBAC=60°,ZADC=ZACB=60°=NBDC,

平分NAOC；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AHLB。于點(diǎn)H,

在RtZ\A4O中，ZADH=60°,設(shè)AQ=2a,則A”=Wa,HD=a,

VZABC=60°,NDBC=15°,

；./A8H=60°-15°=45°,

△為等腰直角三角形，則AB=內(nèi)”=V^a=AC,

：.AD-.AC=V2：V3；

(3)設(shè)C￡)=小，在。B上截取。尸=C￡),連接CF,

第1頁(yè)共5頁(yè)

圖2

VZBDC=60°,故△（??尸為等邊三角形，則C￡）=￡）F=CF=〃3ZDFC=60",

則BO=3CD=3根，貝I」BF=2m,

VZBFC=180°-ZDFC=120°=AADC,

?:FC=CD，/FBC=/CAD,

.".△BFC^AADC（A4S）,

.".AD=BF=2m,

'：ZDFC=ZADB=60＜，,

：.FC//AD,

,,AEEDAD

/\AED^/\CEF,故—=—=—=2,

CEEFCF

設(shè)EC=2f,則AE=4r,AC=6t,SG=CG=3t,故GE=f,

連接A。，過(guò)點(diǎn)。作OGJ_4C于點(diǎn)G,

:△ABC為等邊三角形，則NOAG=30°,

在RtAAOG中，OG=AGtan/OAG=3rx等=島

在RtZkOGE中，OG=Wt,GE=t,OE=2\[7,

由勾股定理得：（曲t）2+?=（2夕）2,解得七上，

則AC=6小;

過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,

在RtZVLDK中，ZADK=lS0Q-ZADC=60°,AD^2m,則。K=〃?，AK=\[3m,

在RtZ\AKC中，AK=Wm,KC=KD+CD=m+m=2m,AC=6?,

由勾股定理得：（遮〃1）2+（2m）2=（6夕）2,解得巾=6,

則AD=2m=12.

2.如圖1,A5是O。的弦，A3=5cm,點(diǎn)尸是弦A3上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是弧檢上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交OO于點(diǎn)D小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)AC,PC,PD

第2頁(yè)共5頁(yè)

長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究

y/cm

圖2

畫圖、測(cè)量，得到了線段AC,PC,尸。的長(zhǎng)度的幾

組值，如表:

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9

AC!cm00.371.001.822.103.003.503.915.00

PC/cm1.000.810.690.751.262.112.503.004.00

PD/cm4.005.005.806.003.001.901.501.321.00

在AC,PC,PQ的長(zhǎng)度這三個(gè)量中，確定AC的長(zhǎng)度是自變量,其他兩條線段的長(zhǎng)度

都是這個(gè)自變量的函數(shù);

（2）請(qǐng)你在如圖2所示的同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的兩個(gè)函數(shù)

的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：

①當(dāng)PC=P。時(shí)，AC的長(zhǎng)度約為2.88（答案不唯--）

②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，PC的長(zhǎng)度約為0.8,0.69,1（答案不唯一）

【解答】解：（1）根據(jù)變量的定義，AC的長(zhǎng)度是自變量，

故答案為：AC；

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描繪如下函數(shù)圖象：

第3頁(yè)共5頁(yè)

y/cm

從圖象看，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，

此時(shí)r:?2.88,

故答案為2.88(答案不唯一)；

②從表格看，

當(dāng)x=0時(shí)，CP=1=AP,PD=4=PB,

即AP=1,BP=4.

(I)當(dāng)AP=AC時(shí)，

則AP=AC=\,

當(dāng)x=4C=l時(shí)，ypc—0.69,

即PC=0.69；

(II)當(dāng)AC=PC時(shí)，

即ypc=x,

作直線y=x,該直線與曲線PC的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn),

第4頁(yè)共5頁(yè)

y/cm

(III)當(dāng)