橢圓講義及例題橢圓是平面內(nèi)一個動點P到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a的軌跡。其中，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。當PF1+PF2=F1F2時，動點P的軌跡為線段F1F2；當PF1+PF2<F1F2時，動點P的軌跡無圖形。橢圓的標準方程分為兩種情況：焦點在x軸上和焦點在y軸上。在兩種標準方程中，總有a>b>0，并且橢圓的焦點總在長軸上。兩種標準方程可用一般形式表示為mx^2+ny^2=1。橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足x≤a，y≤b。橢圓的頂點是對稱軸與橢圓的交點，橢圓的長軸和短軸分別是線段A1A2和B1B2，A1A2=2a，B1B2=2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的離心率e是焦距與長軸長度的比，記作e=2c/2a，其中c是焦距。因為a>c>0，所以e的取值范圍是0<e<1。當e越接近1時，橢圓越扁；當e越接近0時，橢圓越接近于圓。當且僅當a=b時，橢圓退化為圓。橢圓的圖像中，線段A1A2和B1B2分別是橢圓的長軸和短軸。求解橢圓C的方程，然后研究過點B（3,0）的直線與橢圓C的交點M和N，進而得出BM×BN的取值范圍。要求橢圓C的方程?？紤]橢圓的性質(zhì)，它是一個平面內(nèi)到兩個定點F1和F2的距離之和等于常數(shù)2a的點P的軌跡。因此，我們可以設定橢圓的中心為原點O，F(xiàn)1和F2的坐標分別為(-c,0)和(c,0)，其中c為常數(shù)。則點P(x,y)到F1和F2的距離之和為2a，即√((x+c)2+y2)+√((x-c)2+y2)=2a，整理得到橢圓的方程為((x2/a2)+(y2/b2)=1，其中a2=c2+b2。接下來，我們要找到過點B（3,0）的直線與橢圓C的交點M和N。過點B（3,0）的直線可以表示為y=kx-3k，其中k為直線的斜率。將直線方程帶入橢圓方程中，得到一個二次方程(ax2)+(bky)2+(2ckx)+(c2-b2)=0。因為直線與橢圓有交點，所以該方程有實數(shù)解。因此，判別式為非負數(shù)，即(4c2k2)-(4ac2-b2)<=0。整理得到k2<=(a2-c2)/(3c2)。根據(jù)求得的交點M和N，可以計算出BM和BN。將BM×BN表示為函數(shù)f(k)=4a2k2/(4c2k2-4ac2+b2)，并求導數(shù)，得到f'(k)=4a2(4c2k2-2ac2-b2)/(4c2k2-4ac2+b2)2。令f'(k)=0，得到k2=(a2-c2)/2ac，