導數(shù)中的最值問題1.已知函數(shù)。（I）求的值域；（II）設，函數(shù)。若對任意，總存在，使，求實數(shù)a的取值范圍。解：（I），令 而 ∴當 （II）設函數(shù)g(x)在[0，2]上的值域是A，∵若對任意 ∴ ①當，∴函數(shù)上單調遞減。 ∵ ∴；②當令（舍去） （i）當時，的變化如下表： （ii）當 ∴函數(shù)g(x)在（0，2）上單調遞減。 綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是2.設函數(shù)．（1）令，判斷并證明在（-1，+∞）上的單調性，求；（2）求在定義域上的最小值；（3）是否存在實數(shù)、滿足，使得在區(qū)間上的值域也為？解：（1）當時，，所以在（-1，+∞）上是單調遞增，。（2）的定義域是（-1，+∞），，當時，<0,∴，當時，>0,∴，∴在（-1，0）上單調遞減，在（0,+∞）上，單調遞增?！啵?）由（2）知在上是單調增函數(shù)。若存在滿足條件的實數(shù)、，則必有，。也即方程在上有兩個不等的實數(shù)根、，但方程即為只有一個實數(shù)根，∴不存在滿足條件的實數(shù)、。3.設函數(shù)（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性。（2）若，求函數(shù)的單調區(qū)間。（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值與最大值。解：（1）當時，，對定義域內任一都有，是偶函數(shù)。當時，由知。此時為非奇非偶函數(shù)。.（2）當時，是單調遞增。當或時，是單調遞減的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為,。（3）（1）若時，對有恒成立，單調遞增。此時，。（2）若時，對有恒成立，單調遞減。此時，。（3）若時，，即，且當時，，當時，，當時，，當時，。（4）若時，，即，且當時，，當時，，當時，，當時，。函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是4.已知函數(shù).（Ⅰ）若在處取得極值,求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間的最大值.解：（Ⅰ）由得當時，當時，故函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（Ⅱ）由（Ⅰ）由得當時，當時，在處取得極大值,當時，函數(shù)在區(qū)間為遞減，當時，，當時，函數(shù)在區(qū)間為遞增，5.已知函數(shù)定義域為(),設.(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調函數(shù)；(Ⅱ)求證:；(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù).(Ⅰ)解:因為由；由,所以在上遞增,在上遞減欲在上為單調函數(shù),則(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值又,所以在上的最小值為從而當時,,即(Ⅲ)證:因為,所以即為,令,從而問題轉化為證明方程=0在上有解,并討論解的個數(shù)因為,,所以①當時,,所以在上有解,且只有一解②當時,,但由于,所以在上有解,且有兩解③當時,,所以在上有且只有一解；當時,,所以在上也有且只有一解綜上所述,對于任意的,總存在,滿足,且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意6.已知，，.（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）求在點處的切線與直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積；（3）是否存在實數(shù)，使的極大值為3？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.解：（1）當.∴的單調遞增區(qū)間為（0，1），單調遞減區(qū)間為：，.（2）切線的斜率為，∴切線方程為.所求封閉圖形面積為.（3），令.列表如下：x(－∞，0)0（0，2－a）2－a(2－a，+∞)－0+0－↘極小↗極大↘由表可知，.設，∴上是增函數(shù)，∴，即，∴不存在實數(shù)a，使極大值為3.7.已知函數(shù)（，）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若不等式對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解（Ⅰ），由，得．，，．又．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為．（Ⅱ）【法一】不等式，即為．……………（※）令，當時，．則不等式（※）即為．令，，在的表達式中，當時，，又時，，在單調遞增，在單調遞減．在時，取得最大，最大值為．因此，對一切正整數(shù)，當時，取得最大值．實數(shù)的取值范圍是．【法二】不等式，即為．（※）設，，令，得或．當時，，當時，．當時，取得最大值．因此，實數(shù)的取值范圍是．8.已知函數(shù)（I）求的極值；（II）若的取值范圍；（III）已知解：（Ⅰ）令得當為增函數(shù)；當為減函數(shù)，可知有極大值為（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，設由（Ⅰ）知，，（Ⅲ），由上可知在上單調遞增，①，同理②兩式相加得9.已知函數(shù)上恒成立.（1）求的值；（2）若（3）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)上有最小值－5？若存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由.解：（1） 恒成立,即恒成立 顯然時，上式不能恒成立是二次函數(shù) 由于對一切于是由二次函數(shù)的性質可得 即．（2） 即 當，當．（3） 該函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為 假設存在實數(shù)m使函數(shù)區(qū)間上有最小值－5. ①當上是遞增的. 解得舍去 ②當上是遞減的，而在 區(qū)間上是遞增的， 即解得 ③當時，上遞減的 即 解得應舍去. 綜上可得，當時，函數(shù)10.已知函數(shù)（1）為定義域上的單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍（2）當時，求函數(shù)的最大值（3）當時，且，證明：解：（1），∴因為對，有∴不存在實數(shù)使，對恒成立由恒成立，∴，而，所以經檢驗，當時，對恒成立。∴當時，為定義域上的單調增函數(shù)（2）當時，由，得當時，，當時，∴在時取得最大值，∴此時函數(shù)的最大值為（3）由（2）得，對恒成立，當且僅當時取等號當時，，∵，∴∴同理可得，，，∴法二：當時（由待證命題的結構進行猜想，輔助函數(shù)，求差得之），在上遞增令在上總有，即在上遞增當時，即令由（2）它在上遞減∴即∵∴，綜上成立，其中。11.函數(shù)；（1）求在上的最值；（2）若求的極值點解：（1）x-4-3(-3,-1)-1(-1,)-0+0-極小值極大值-2最大值為0，最小值-2（2）設當時，所以沒有極值點當時，減區(qū)間：增區(qū)間：有兩個極值點當時，減區(qū)間：增區(qū)間：有一個極值點綜上所述：時有一個極值點；時有兩個極值點；時沒有極值點12