精品文檔-下載后可編輯巧用數(shù)學(xué)思想解高考題新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，能運用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思想在解決高中數(shù)學(xué)問題中起到關(guān)鍵作用。所謂數(shù)學(xué)思想是指人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題過程中，不斷地經(jīng)歷直觀、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納對比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思構(gòu)建得出的解決數(shù)學(xué)問題的思維方式。數(shù)學(xué)思想可以幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)問題的思路，幫助學(xué)生快速地解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思維能力在形成性思維中發(fā)揮著獨特的作用。而數(shù)學(xué)思想正是數(shù)學(xué)思維能力的一種反應(yīng)。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識?；緮?shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且不斷地發(fā)展。教師通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)思想是高考命題的重要依據(jù)。因此，把握住數(shù)學(xué)思想，就把握住了高考數(shù)學(xué)。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉。函數(shù)思想在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容時，起著重要作用。方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)。高考數(shù)學(xué)把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法中的重點來考查。

例1.設(shè)a>0，b>0，e是自然對數(shù)的底數(shù)則（）

A.若ea+2a=eb+3b，則a>b

B.若ea+2a=eb+3b，則a

C.若ea-2a=eb-3b，則a>b

D.若ea-2a=eb-3b，則a

本題主要考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，通過構(gòu)造法巧妙地確定函數(shù)的單調(diào)性。若ea+2a=eb+3b，必有ea+2a>eb+2b.構(gòu)造函數(shù)：f（x），則f′（x）=ea+2>0恒成立，故存在函數(shù)f（x）=ea+2x在x>0上單調(diào)遞增，即a>b成立。其余選項用同樣方法排除。

例2.已知函數(shù)f（x）=axsinx-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值為■，

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明。

解：（1）在f（x）=axsinx-■≤■在[0，■]上恒成立，且能取到等號？圳g（x）=xsinx≤■在[0，■]上恒成立，且能取到等號？圳■=g（x）max

g′（x）=sinx+xcosx>0？圯y=g（x）在[0，■]上單調(diào)遞增

■=g（■）=■？圳a=1？圯f（x）=xsinx-■

（2）f（x）=xsinx-■？圯h（x）=f′（x）=sinx+xcosx

①當(dāng)x∈[0，■]時，f′（x）≥0？圯y=f（x）在（0，■]上單調(diào)遞增

f（0）f（■）=-■×■

②當(dāng)x∈[■，？仔]時，h′（x）=2cosx-xsinx

f′（x）>0？圳■≤x0？圳x0

由①②得：函數(shù)f（x）在（0，？仔）內(nèi)有兩個零點。

本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)的計算，利用函數(shù)與方程的思想解決根個數(shù)的問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式。在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系；在二維空間，實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。在數(shù)形結(jié)合的考查中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；在解答題中，考查推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。

例3.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a

A.①③B.①④C.②③D.②④

解：f（x）=x3-6x2+9x-abc，a

■

由圖得f（1）=1-6+9-abc=4-abc>0，f（3）=27-54+27-abc=-abc

三、分類與整合思想

分類是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法。分類要從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)。劃分只是手段，分類研究才是目的。有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性。在對含字母參數(shù)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類與整合的研究時，重點的是考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性。

例4.已知函數(shù)f（x）=ex-ax，其中a>0。

（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函數(shù)f（x）的圖象上去定點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法。第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出f（x）取最小值f（lna）=a-alna，對一切x∈R，f（x）≥1恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）min≥1從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷。

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想靈活、多樣，無統(tǒng)一模式，要利用動態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法。高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化。

例5.設(shè)？琢為銳角，若cos（？琢+■）=■，則sin（2a+■）的值為.

本題考查同角三角函數(shù)、倍角三角函數(shù)、和角三角函數(shù)，利用化歸與整體轉(zhuǎn)化思想，通過換元，將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，從而使問題容易解決。

五、特殊與一般思想

通過對個例認(rèn)識與研究，形成對事物的認(rèn)識；由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實踐到理論；由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識過程；構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般思想。

例6.已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+■與x軸正半軸相交于點A，設(shè)f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距。

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

（Ⅱ）求對所有n都有■≥■成立的a的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)0

本題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力。本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力；且又深層次地考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法。

六、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

例7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)三角形ABC的頂點分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），點P（0，p）在線段AO上的一點（異于端點），這里a，b，c，p均為非零實數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為（■-■）x+（■-■）y=0請你完成直線OF的方程。

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本題考查的知識點是類比推理，我們類比直線OE的方程去求直線OF方程：（■-■）x+（■-■）y=0。類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）。

七、建模思想

為了使描述的一個實際現(xiàn)象更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述這種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。

例8.請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=xcm。

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（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要