專(zhuān)題突破四┃專(zhuān)題突破四┃數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步提煉和升華，數(shù)學(xué)方法是實(shí)施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的一種方式、途徑．解決數(shù)學(xué)問(wèn)題除了需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要一定的方法和技巧，更需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，才能使問(wèn)題化難為易，變繁為簡(jiǎn)，準(zhǔn)確把握各種數(shù)學(xué)思想和方法，可以拓寬解題的思路．縱觀河南省近年中考試題中每一類(lèi)題都有數(shù)學(xué)思想方法的滲透．常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化，函數(shù)思想，方程思想等.專(zhuān)題突破四┃熱考一分類(lèi)討論例1

[2012·三門(mén)峽實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模]

如圖

Z4－1，一次函數(shù)

ym＝kx＋2

的圖象與x

軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y＝

x

的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(2,3).分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；過(guò)點(diǎn)A

作AC⊥x軸，垂足為C，若點(diǎn)P

在反比例函數(shù)圖象上，且△PBC

的面積等于18，求P

點(diǎn)的坐標(biāo).圖Z4－1專(zhuān)題突破四┃m解：(1)把A(2,3)代入y＝

x

，得m＝6.∴該反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝x6.1把A(2,3)代入y＝kx＋2，有2k＋2＝3.解得k＝2.∴該一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝21x＋2.1△PBC(2)令2x＋2＝0，解得x＝－4，即B(－4,0)．∵AC⊥x

軸，∴C(2,0)．∴BC＝6.設(shè)P(x，y)，12∵S

＝

·BC·|y|12＝18，∴y

＝6

或y

＝－6.6x1

2分別代入y＝，得x

＝1

或x

＝－1.∴P

點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,6)或(－1，－6)．專(zhuān)題突破四┃分類(lèi)討論的因素較多，歸納有以下幾個(gè)方面：①與數(shù)學(xué)概念、定義有關(guān)的分類(lèi)討論；②涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算法則或定理、公式的適用范圍的分類(lèi)討論；③由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類(lèi)討論；④由于圖形的不確定性引起的分類(lèi)討論；⑤由于題目含有字母而引起的分類(lèi)討論．解決這些問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真審題，全面考慮，根據(jù)其數(shù)量差異與位置逐一討論，做到不重不漏，條理清晰.專(zhuān)題突破四┃熱考二

數(shù)形結(jié)合例2

[2012·海南]如圖Z4－2，頂點(diǎn)為P(4，－4)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(0,0)，點(diǎn)A

在該圖象上，OA

交其對(duì)稱(chēng)軸l

于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N

關(guān)于點(diǎn)P

對(duì)稱(chēng)，連接AN、ON.求該二次函數(shù)的關(guān)系式；若點(diǎn)A

的坐標(biāo)是(6，－3)，求△ANO

的面積；當(dāng)點(diǎn)A

在對(duì)稱(chēng)軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：①證明：∠ANM＝∠ON圖MZ；4－2②△ANO能否為直角三角形？如果能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.專(zhuān)題突破四┃解：(1)∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P(4，－4)，∴設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a(x－4)2－4.又∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，1∴0＝a(0－4)2－4，解得a＝

.1414

42

2∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝

(x－4)－4，即y＝

x

－2x.(2)設(shè)直線OA

的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，將A(6，－3)代入得－3＝6k，12解得k＝－.21

12∴直線OA

的函數(shù)關(guān)系式為y＝－

x.把x＝4

代入y＝－x

得y＝－2.∴M(4，－2)．∴S△ANO又∵點(diǎn)M、N

關(guān)于點(diǎn)P

對(duì)稱(chēng)，∴N(4，－6)，MN＝4.12＝

×6×4＝12.專(zhuān)題突破四┃(3)①證明：作AH⊥x

軸于H，如圖1，

142設(shè)A

點(diǎn)坐標(biāo)為

m，m

－2m

，(m＞4)14則OH＝m，AH＝2m－m2，由△OMD∽△OAH，得OD＝OHDM

AH.得DM＝8－m.∴M(4，m－8)．∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P

對(duì)稱(chēng)．∴N(4，－m)，則直線

AN

的函數(shù)關(guān)系式為

y

mx－2m.＝

4∴直線AN

與x

軸交于點(diǎn)B(8,0)，∴OD＝BD＝4.∵DN⊥OB.∴ON＝BN.∴∠ANM＝∠ONM.專(zhuān)題突破四┃②能．由題意可知∠ANO

不可能為直角．當(dāng)∠AON＝90°時(shí)，如圖2，此時(shí)M(4，m－8)，∵點(diǎn)M、N

關(guān)于點(diǎn)P

對(duì)稱(chēng)，∴N(4，－m)．∴DN＝m.易證△OMD∽△NOD，∴OD

＝DN，∴16＝m(m－8)，DM

OD解得

m1＝4＋4

2，m2＝4－4 2(不合題意舍去)，∴A(4＋4

2，4)當(dāng)∠OAN＝90°時(shí)．作AH⊥x

軸于H，NE⊥AH

于E.2則

OH＝m，AH＝2m－1

.N(44m41，－m)．∴AE＝

m2－m，NE＝m－4.易證△OAH∽△ANE.AH

NE1

2∴OH＝AE.解得m

＝m

＝4(不合題意舍去)．∴△ANO

能為直角三角形，此時(shí)

A(4＋4

2，4)．專(zhuān)題突破四┃用數(shù)形結(jié)合思想解答的題目常常有利用幾何圖形直觀表示數(shù)的問(wèn)題；解決函數(shù)與圖象的問(wèn)題；運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形問(wèn)題等；這些問(wèn)題要把代數(shù)式的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，進(jìn)而探求解題思路.專(zhuān)題突破四┃熱考三函數(shù)思想例3

[2012·烏魯木齊]如圖Z4－3

是一個(gè)拋物線形拱橋的示意圖，橋的跨度AB

為100

米，支撐橋的是一些等距的立柱，相鄰立柱的水平距離為10

米(不考慮立柱的粗細(xì))，其中距A

點(diǎn)10

米處的立柱FE

的高度為3.6

米.求正中間的立柱OC

的高度；是否存在一根立柱，其高度恰好是OC

的一半？請(qǐng)說(shuō)明理由.圖Z4－3專(zhuān)題突破四┃解：(1)根據(jù)題意可得中間立柱OC

經(jīng)過(guò)AB

的中點(diǎn)O.以點(diǎn)O

為原點(diǎn)，以AB

所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C

的縱坐標(biāo)．|OF|＝OA－FA＝40(米)，故B(50,0)，E(－40,3.6)．設(shè)拋物線的關(guān)系式為y＝ax2＋c，∴

502a＋c＝0，

402a＋c＝3.6，250

a＝－1

，解得

c＝10.∴y＝－1

x2＋10，當(dāng)x＝0

時(shí)，y＝10.250即正中間的立柱OC

的高度是10

米．專(zhuān)題突破四┃(2)設(shè)存在一根立柱的高度是

OC

的一半，即這根立柱的高度是

5

米．則有

5＝－

1

x2＋10.解得：x＝±25

2.250∵相鄰立柱之間的間距為

10

米，最中間的立柱

OC在y

軸上，根據(jù)題意每根立柱上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

10

的整數(shù)倍，∴x＝±25

2與題意不符，∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC

高度的一半．專(zhuān)題突破四┃函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)觀察、分析問(wèn)題，把所研究的問(wèn)題納入某個(gè)變化過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題的條件及所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在函數(shù)關(guān)系中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.專(zhuān)題突破四┃熱考四方程思想例

4

[2012·包頭]

如圖

Z4－4，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝4

cm，BC＝5

cm，點(diǎn)D

在BC

上，且CD＝3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q

分別從點(diǎn)A

和點(diǎn)B

同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P

以1厘米/秒的速度沿AC

向終點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q

以1.25

厘米/秒的速度沿BC

向終點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P

作PE∥BC

交AD

于點(diǎn)E，連接EQ.設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒(t>0).連接DP，經(jīng)過(guò)1

秒后，四邊形EQDP

能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ

與線段AB

平行，為什么？當(dāng)t

為何值時(shí)，△EDQ

為直角三角形？圖Z4－4專(zhuān)題突破四┃解：(1)能．理由如下：經(jīng)過(guò)1

秒后，DQ＝5－3－1.25＝0.75.因?yàn)镋P∥BC，所以△AEP∽△ADC，所以ACAP＝EP

1

EPDC，所以4＝

3

，又因?yàn)?/p>

EP＝0.75.所以

EP＝DQ，所以四邊形EQDP

是平行四邊形．(2)CQ＝5－1.25t，CP＝4－t，所以BC5CQ＝5－1.25t＝4－t4－t4

4CP

CQ

CP，AC＝

，所以BC＝AC，所以△CQP∽△CBA，所以∠PQC＝∠ABC，所以PQ∥AB.故不論t

取何值時(shí)，總有線段PQ

與線段AB

平行．專(zhuān)題突破四┃(3)由題意可知，當(dāng)Q

位于CD

之間時(shí)，△EDQ

才可能為直角三角形．若∠EQD

為直角，則△EDQ

相似于△ADC，即EQ

ACDQ

DC

34＝ ＝

，3－(5－1.25t)列出方程：4－t34＝，得t＝2.5.若∠DEQ

為直角，則△EDQ∽△CDA，即DE＝DC3DQ

AD

5＝

.因?yàn)椤鰽DC

相似于△AEP，所以AE＝AP

tAD

AC

4＝

，AD＝5，AE＝1.25t.所以