長郡湘府中學(xué)2024屆高三暑假作業(yè)檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：A.2.已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，通過求出的值，即可求出在上的投影向量.【詳解】解：由題意，∴，，解得：∴在上的投影向量為：故選：B.3.命題為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡命題是假命題對應(yīng)的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷即得結(jié)果.【詳解】命題為假命題，即命題為真命題，首先，時(shí)，恒成立，符合題意；其次時(shí)，且，即，綜上可知，.故選項(xiàng)A中，是的充分必要條件；選項(xiàng)B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要條件；選項(xiàng)C中可推出，且推不出，即是的一個(gè)充分不必要條件；選項(xiàng)D中推不出，且可推出，即是的一個(gè)必要不充分條件.故選：C4.已知函數(shù)，，對任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值、在上的最小值，即可得結(jié)果.【詳解】對任意，，都有不等式成立，，，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，，，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞減，，，故，綜上，.故選：C5.設(shè)函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為，且，，則不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出，根據(jù)已知得出為R上的增函數(shù)，則.代入結(jié)合，即可得出答案.【詳解】構(gòu)造輔助函數(shù)，令，則.因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)為R上的增函數(shù)，則.又，，.又，所以，所以，所以.故選：C.6.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點(diǎn)D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，過P作的垂線，垂足為A，若AF的傾斜角為，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，得到，求出，再利用焦半徑公式求出.【詳解】由題意，得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)K，，則，如圖，因?yàn)锳F的傾斜角為150°，所以，故，所以，故，解得，所以.故選：A.8.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，關(guān)于C的一條漸近線的對稱點(diǎn)為P.若，則的面積為（）A.2 B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)與漸近線交于，由對稱性知且，在直角中可求得，再由求得的面積.【詳解】設(shè)與漸近線交于，則，，，所以，，由分別是與的中點(diǎn)，知且，即，由得，所以，故選：D二、多選題（每小題5分，共20分，少選得2分）9.在復(fù)數(shù)集內(nèi)，下列命題是真命題的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若復(fù)數(shù)，滿足，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A，若復(fù)數(shù)，則，，故A為真命題.對于B，若復(fù)數(shù)，則，但，故B為假命題；對于C，若復(fù)數(shù)，滿足，但，故C為假命題；對于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則，若，則，所以，故D為真命題；故選：AD10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的最小值為3【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)均值不等式及不等式等號成立的條件判斷ACD，取特例判斷B即可得解.【詳解】.對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故正確；對于，當(dāng)時(shí)，，故錯誤；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，，但是當(dāng)時(shí)，不符合題意，故等號不成立，故錯誤.故選：AC.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對任意實(shí)數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（）A. B.是偶函數(shù)C.關(guān)于中心對稱 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)賦值法，可判斷或，進(jìn)而判斷A，根據(jù)賦值法結(jié)合奇偶性的定義可判斷C，根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對稱性，根據(jù)對稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】令，則或，故A錯誤，若時(shí)，令，則，此時(shí)是偶函數(shù)，若時(shí)，令，則，此時(shí)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；因此B正確，令，則，所以關(guān)于中心對稱，故C正確，由關(guān)于中心對稱可得，結(jié)合是偶函數(shù)，所以，所以的周期為2，令，則，故，進(jìn)而，而，由A選項(xiàng)知或，所以或，故D錯誤.故選：BC12.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）．A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C. D.，，…，中最大的是【答案】BCD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到，，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到關(guān)于的不等式組進(jìn)行求解，即可判定選項(xiàng)A錯誤、選項(xiàng)C正確；利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到判定選項(xiàng)B正確；利用判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對于A、C：因?yàn)?，且，所以，，又因，所以，解得；所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，即選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)C正確；對于B：因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題（每小題5分，共20分）13.甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【詳解】對于6個(gè)臺階上每一個(gè)只站一人，有種；若有一個(gè)臺階有2人，另一個(gè)是1人，則共有種，所以不同的站法種數(shù)是種．故答案為：210．14.在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【詳解】由正弦定理得,由于三角形為銳角三角形,所以,所以,而,所以.15.若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是．【答案】【解析】【詳解】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，∴圓心坐標(biāo)為，半徑，∵在圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，∴圓心到直線的距離應(yīng)小于或等于，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，∴，整理得，解得，∵直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，即，由此可得直線的傾斜角的取值范圍是．所以答案應(yīng)填：．16.若函數(shù)在單調(diào)，且在存在極值點(diǎn)，則的取值范圍為___________【答案】【解析】【分析】先通過函數(shù)在存在極值點(diǎn)，求出的范圍，再根據(jù)在單調(diào)，求出和之間的不等關(guān)系，再結(jié)合已求出的的范圍，得最終的范圍.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在存在極值點(diǎn)，所以，即，當(dāng)，又在單調(diào)，所以，即，解得，只能取，即，綜上，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，關(guān)鍵是要建立關(guān)于和之間的不等關(guān)系，是中檔題.四、解答題（共6小題，共70分）17.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)椋裕?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，．（1）求（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系及等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用（1）結(jié)論及數(shù)列求和中的錯位相減法即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，，整理得：，即．當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即．【小問2詳解】由知，所以，所以，所以，由得，，所以.19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的六面體中（其中平面EDC），四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面．（1）設(shè)為棱的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直以及面面垂直性質(zhì)證明平面，平面，進(jìn)而證明，即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量以及向量的夾角即可求解平面夾角.【小問1詳解】連接,由于四邊形ABCD是正方形，所以,又平面，平面,所以,平面，所以平面，由于為棱的中點(diǎn)，，所以,又平面平面，平面平面，平面,所以平面,因此,所以四點(diǎn)共面，【小問2詳解】由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,,設(shè)，由（1）知,故，解得，故,,設(shè)平面，的法向量分別為則即，取，則，即，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則20.設(shè)函數(shù)（1）若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)?，所以可就和分類討論即可．?）函數(shù)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于有唯一零點(diǎn)，設(shè)的極小值點(diǎn)為，可由解得即.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，由，?∴.①若，由，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn).②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是.（2）因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，即有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，則．令，．因?yàn)?，所以，方程有兩異號根設(shè)為，因?yàn)?，所以?yīng)舍去.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.故．因?yàn)橛形ㄒ唤猓?，則即，因?yàn)?，所以?），設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．因?yàn)?，所以方程?）的解為，代入方程組解得【點(diǎn)睛】函數(shù)的零點(diǎn)問題，應(yīng)優(yōu)先考慮參變分離的方法，把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)函數(shù)的最值（或最值的范圍）問題來處理，也可以直接討論含參數(shù)的函數(shù)，如果函數(shù)的最值點(diǎn)（極值點(diǎn)）不易求得，可采用設(shè)而不求的思想方法，利用最值點(diǎn)（極值點(diǎn)）滿足的等式化簡函數(shù)的最值可以相應(yīng)的最值范圍或值．21.元宵佳節(jié)，是民間最重要的民俗節(jié)日之一，我們梅州多地都會舉行各種各樣的民俗活動，如五華縣河?xùn)|鎮(zhèn)的“迎燈”、豐順縣埔寨鎮(zhèn)的“火龍”、大埔縣百侯鎮(zhèn)的“迎龍珠燈”等系列活動.在某慶?；顒蝇F(xiàn)場，為了解觀眾對該活動的觀感情況（“一般”或“激動”），現(xiàn)從該活動現(xiàn)場的觀眾中隨機(jī)抽取200名，得到下表：一般激動總計(jì)男性90120女性25總計(jì)200（1）填補(bǔ)上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對該活動的觀感程度有關(guān)？（2）該活動現(xiàn)場還舉行了有獎促銷活動，凡當(dāng)天消費(fèi)每滿300元，可抽獎一次．抽獎方案是：從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎箱里一次性摸出2個(gè)球，若摸出2個(gè)紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個(gè)紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當(dāng)天消費(fèi)600元，記該觀眾參加抽獎獲得的返現(xiàn)金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）2×2列聯(lián)表見解析，該場活動活動的觀感程度與性別無關(guān)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）寫出零假設(shè)，補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論；（2）