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湖南省岳陽市思村鄉(xiāng)蘆洞中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.擲一枚均勻的硬幣4次,出現(xiàn)正面的次數(shù)多于反面的次數(shù)的概率為 A.
B.
C.
D.參考答案:B2.已知,,且,則函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是(
)參考答案:B略3.函數(shù)有且僅有兩個不同的零點,則的值為(
)A.
B.
C.
D.不確定參考答案:C略4.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D5.將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí),每班至少1名,則不同的分配方案有(
)A.30種
B.60種C.90種
D.150種參考答案:D6.物體運動方程為,則時瞬時速度為(
)A.2
B.4
C.6
D.8
參考答案:D略7..已知兩點和,若曲線上存在點P,使,則稱該曲線為“Q型曲線”.給出下列曲線:①;②;③;④,其中為“Q型曲線”的是(
)A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.②和④
參考答案:D略8.若,則稱A是“伙伴關(guān)系集合”,在集合的所有非空子集中任選一個集合,則該集合是“伙伴關(guān)系集合”的概率為A. B. C. D.參考答案:A9.右圖是2011年在某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中,七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(
)A、84,4.84
B、84,1.6
C、85,1.6 D、85,1.5參考答案:C10.,若,則a的值等于(
)A.1
B.2
C.
D.3參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同時滿足條件:①對于任意的實數(shù)x,f(x)和g(x)的函數(shù)值至少有一個小于0;②在區(qū)間(﹣∞,﹣4)內(nèi)存在實數(shù)x,使得f(x)g(x)<0成立;則實數(shù)m的取值范圍是.參考答案:(﹣4,﹣2)【考點】函數(shù)的值.【分析】由于g(x)=2x﹣2≥0時,x≥1,根據(jù)題意有f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x>1時成立;由于x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0,而g(x)=2x﹣2<0,則f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)時成立.由此結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.【解答】解:解:對于①∵g(x)=2x﹣2,當(dāng)x<1時,g(x)<0,又∵①?x∈R,f(x)<0或g(x)<0∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下,且二次函數(shù)與x軸交點都在(1,0)的左面,則,∴﹣4<m<0即①成立的范圍為﹣4<m<0.又∵②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0∴此時g(x)=2x﹣2<0恒成立∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,則只要﹣4比x1,x2中的較小的根大即可,(i)當(dāng)﹣1<m<0時,較小的根為﹣m﹣3,﹣m﹣3<﹣4不成立,(ii)當(dāng)m=﹣1時,兩個根同為﹣2>﹣4,不成立,(iii)當(dāng)﹣4<m<﹣1時,較小的根為2m,2m<﹣4即m<﹣2成立.綜上可得①②成立時﹣4<m<﹣2.故答案為:(﹣4,﹣2).12.給定集合An={1,2,3,…,n},映射f:An→An,滿足以下條件:①當(dāng)i,j∈An且i≠j時,f(i)≠f(j);②任取x∈An,若x+f(x)=7有K組解,則稱映射f:An→An含K組優(yōu)質(zhì)數(shù),若映射f:A6→A6含3組優(yōu)質(zhì)數(shù).則這樣的映射的個數(shù)為_________.參考答案:40略13.已知,則f(﹣12)+f(14)=
.參考答案:2【考點】函數(shù)的值.【分析】先求出f(﹣12)=1+ln(),f(14)=1+ln(),由此利用對數(shù)性質(zhì)能求出f(﹣12)+f(14)的值.【解答】解:∵,∴f(﹣12)=1+ln(+12+1)=1+ln(),f(14)=1+ln(﹣14+1)=1+ln(),∴f(﹣12)+f(14)=2+[ln()+ln(﹣13)]=2+ln1=2.故答案為:2.14.已知球的半徑為1,、是球面上兩點,線段的長度為,則、兩點的球面距離為________.參考答案:略15.圓x2+y2=9的切線MT過雙曲線﹣=1的左焦點F,其中T為切點,M為切線與雙曲線右支的交點,P為MF的中點,則|PO|﹣|PT|=.參考答案:2﹣3【考點】圓與圓錐曲線的綜合;雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】由雙曲線方程,求得c=,根據(jù)三角形中位線定理和圓的切線的性質(zhì),可知|PO|=|PF′|,|PT|=|MF|﹣|FT|,并結(jié)合雙曲線的定義可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣(|PF|﹣|PF′|)=2﹣3.【解答】解:設(shè)雙曲線的右焦點為F′,則PO是△PFF′的中位線,∴|PO|=|PF′|,|PT|=|MF|﹣|FT|,根據(jù)雙曲線的方程得:a=3,b=2,c=,∴|OF|=,∵M(jìn)F是圓x2+y2=9的切線,|OT|=3,∴Rt△OTF中,|FT|==2,∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣(|MF|﹣|FT|)=|FT|﹣(|PF|﹣|PF′|)=2﹣3,故答案為:2﹣3.16.設(shè)函數(shù)f(x)=,則定積分f(x)dx=.參考答案:【考點】67:定積分.【分析】利用定積分的運算法則,將所求寫成兩個定積分相加的形式,然后分別計算定積分即可.【解答】解:函數(shù)f(x)=,則定積分f(x)dx==()|+|=;故答案為:【點評】本題考查了定積分的計算;利用定積分運算法則的可加性解答.17.將二進(jìn)制10111(2)化為十進(jìn)制為
;再將該數(shù)化為八進(jìn)制數(shù)為
.參考答案:23(10),27(8).【考點】進(jìn)位制.【分析】利用二進(jìn)制數(shù)化為“十進(jìn)制”的方法可得10111(2)=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23,再利用“除8取余法”即可得出.【解答】解:二進(jìn)制數(shù)10111(2)=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23.23÷8=2…72÷8=0…2可得:23(10)=27(8)故答案為:23(10),27(8).三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖所示,平面α∥平面β,點A∈α,C∈α,點B∈β,D∈β,點E,F(xiàn)分別在線段AB,CD上,AB,CD所在直線異面,且AE:EB=CF:FD(Ⅰ)求證:EF∥β;
(Ⅱ)若E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60°,求EF的長.參考答案:(Ⅰ)證明:連接AD,作EG∥BD交AD于點G,連接FG,因為AE:EB=CF:FD∴EG∥BD,F(xiàn)G∥AC,則EG∥β,F(xiàn)G∥α,∵α∥β∴FG∥β;又因為;EG∩FG=G.∴平面EFG∥β而EF?平面EFG;∴EF∥β(Ⅱ)解:∵EG∥BD,F(xiàn)G∥AC且E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6;∴EG=BD=3,F(xiàn)G=AC=2∵AC,BD所成的角為60°,∴∠EGF=120°或60°∴EF===;或EF==即.考點:點、線、面間的距離計算;直線與平面平行的判定.專題:計算題;證明題.分析:(Ⅰ)直接連接AD,作EG∥BD交AD于點G,連接FG;結(jié)合AE:EB=CF:FD可得EG∥β,F(xiàn)G∥α;進(jìn)而得到平面EFG∥β即可證得結(jié)論;(Ⅱ)結(jié)合第一問中的結(jié)論和AC,BD所成的角為60°可以得到EG=BD=3,F(xiàn)G=AC=2以及∠EGF=120°或60°;最后利用余弦定理即可求出結(jié)論.解答:(Ⅰ)證明:連接AD,作EG∥BD交AD于點G,連接FG,因為AE:EB=CF:FD∴EG∥BD,F(xiàn)G∥AC,則EG∥β,F(xiàn)G∥α,∵α∥β∴FG∥β;又因為;EG∩FG=G.∴平面EFG∥β而EF?平面EFG;∴EF∥β(Ⅱ)解:∵EG∥BD,F(xiàn)G∥AC且E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6;∴EG=BD=3,F(xiàn)G=AC=2∵AC,BD所成的角為60°,∴∠EGF=120°或60°∴EF===;或EF==即.點評:本題主要考查空間中線段距離的計算以及線面平行的判定.在求線段長度問題是,一般是放在三角形中,借助于正弦定理或余弦定理求解19.橢圓的離心率是,它被直線截得的弦長是,求橢圓的方程.參考答案:解:∵∴
∴橢圓方程可寫為
…2分將直線方程代入橢圓方程,消去y,整理得依韋達(dá)定理得…6分∴解得c=1
∴a2=3,b2=2.∴橢圓方程為……12分
略20.(本題12分)以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的單位長度,已知直線經(jīng)過點P(1,1),傾斜角(1)寫出直線的參數(shù)方程;(2)設(shè)與圓相交與A,B,求點P到A,B兩點的距離積。參考答案:解(1)
(t為參數(shù))(2)由于圓的直角坐標(biāo)系的方程為則將
代人圓的方程化簡得所以,點P到A、B兩點的距離積為2略21.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.求:(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;(2)若是直線與圓面≤的公共點,求的取值范圍.參考答案:(1)因為圓的極坐標(biāo)方程為所以又所以所以圓的直角坐標(biāo)方程為:.
6分(2)『解法1』:設(shè)由圓的方程所以圓的圓心是,半徑是將代入得
又直線過,圓的半徑是,由題意有:所以即的取值范圍是.
14分『解法2』:直線的參數(shù)方程化成普通方程為:
由解得,
∵是直線與圓面的公共點,∴點在線段上,∴的最大值是,最小值是∴的取值范圍是.
14分22.已知橢圓C:的一個焦點為,離心率為.設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點,過點P且斜率為1
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