江西省宜春市尚莊中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由已知可整理得：，解得，將所求式子轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可計(jì)算得其最大值．【詳解】解：∵正數(shù)滿(mǎn)足，∴，解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴的最大值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．2.已知集合，，則（

）． A． B． C． D．參考答案：D∵，或，∴，故選．3.不等式的解集是A．

B． C．

D．參考答案：A4.若奇函數(shù)在上是增函數(shù)，那么的大致圖像可以是（

）參考答案：C略5.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2 B．f（x）=1，g（x）=x2C．f（x）=

g（t）=|t| D．f（x）=x+1，g（x）=參考答案：C【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷兩個(gè)函數(shù)是相等的函數(shù)．【解答】解：對(duì)于A，f（x）==|x|的定義域是R，g（x）==x的定義域是[0，+∞），定義域不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)；對(duì)于B，f（x）=1的定義域是R，g（x）=x2的定義域是R，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)；對(duì)于C，f（x）=的定義域是R，g（t）=|t|=的定義域是R，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對(duì)于D，f（x）=x+1的定義域是R，g（x）==x+1的定義域是{x|x≠0}，定義域不同，不是相同函數(shù)．故選：C6.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的邊長(zhǎng)分別為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.若，且，試確定角所在象限為第

象限。參考答案：略8.已知向量a，b，若a⊥b，則實(shí)數(shù)的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C9.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A

B

C

D

參考答案：D略10.在△ABC中，若為等邊三角形（A，D兩點(diǎn)在BC兩側(cè)），則當(dāng)四邊形ABDC的面積最大時(shí)，（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】求出三角形BCD的面積，求出四邊形ABCD的面積，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，求出滿(mǎn)足條件的角的值即可．【詳解】設(shè)，∵△BCD是正三角形，∴，由余弦定理得：，，時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，此時(shí)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查兩角的和差公式和正弦函數(shù)的值域，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，是一道中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的值為

.參考答案：12.已知，則的值為

．參考答案：【考點(diǎn)】GR：兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由=（α+β）﹣（），兩邊分別利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把已知的tan（α+β）及tan（）的值代入，可求出tan的值，即為tan（）=的值，最后把所求式子的分子分母同時(shí)除以cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將整體代入即可求出值．【解答】解：∵，∴tan（）=tan而tan（）═，tan==，即=，則==．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式，靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵．13.設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對(duì)于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范圍是___________．參考答案：

(9,49)

14.定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（A、B為常數(shù)），使得對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，那么稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)。給出如下四個(gè)結(jié)論：①對(duì)于給定的函數(shù)，其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；②定義域和值域都是R的函數(shù)不存在承托函數(shù)；③為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)；④為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．參考答案：①③．15.在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，則角C的大小為．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由題意和余弦定理可得cocC，由三角形內(nèi)角的范圍可得．【解答】解：∵在△ABC中a=7，b=8，c=13，∴由余弦定理可得cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=故答案為：16.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀(guān)圖是一個(gè)底角為45°，腰為，上底面為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是．參考答案：4【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】根據(jù)斜二測(cè)化法規(guī)則畫(huà)出原平面圖形，求出面積即可．【解答】解：如圖所示：由已知斜二測(cè)直觀(guān)圖根據(jù)斜二測(cè)化法畫(huà)出原平面圖形，所以BC=B′C′=1，OA=O′A′=1+=3，OC=2O′C′=2，所以這個(gè)平面圖形的面積為×（1+3）×2=4．．故答案為：4．17.已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，且的最大值為1，則滿(mǎn)足的解集為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，CC′⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=CC′=a，E是A′C′的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC⊥平面ACC′A′；（2）求證：EF∥平面BCC′B′；（3）設(shè)二面角C′﹣AB﹣C的平面角為θ，求tanθ的值．參考答案：考點(diǎn)： 二面角的平面角及求法；直線(xiàn)與平面平行的判定；直線(xiàn)與平面垂直的判定．專(zhuān)題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析： （1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明AC⊥BC，即可證明BC⊥平面ACC′A′；（2）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明EF∥BG即可證明EF∥平面BCC′B′；（3）根據(jù)二面角的定義先求出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求tanθ的值．解答： （1）證明：∵CC′⊥底面ABC，∴CC′⊥BC∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又AC∩CC′=C，∴BC⊥平面ACC′A．（2）證明：取B′C′的中點(diǎn)G，連接EG、BG，又E是A′C′的中點(diǎn)，則EG∥A′B′且等于A′B′的一半．ABCEFG∵F是AB中點(diǎn)，∴BF∥A′B′且等于A′B′的一半，∴EG與BF平行且相等．∴四邊形EGBF是平行四邊形，∴EF∥BG，又EF?平面BCC′B′，BG?平面BCC′B′，∴EF∥平面BCC′B′（3）連接FC、FC′．∵AC=BC，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，∴CF⊥AB，又∵CC′⊥底面ABC，∴CC′⊥AB，∴AB⊥平面CFC′，∴C′F⊥AB，∴∠C′FC為二面角C′﹣AB﹣C的平面角，即θ=∠C′FC，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，∴CF=，又△C′FC是直角三角形，且∠C′CF=90°，CC′=a，∴tanθ=tan∠C′FC=．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線(xiàn)面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及，利用向量法求解二面角的大?。?9.(本小題滿(mǎn)分8分)

在梯形中，，分別是的中點(diǎn)，設(shè)。（1）在圖上作出向量（不要求寫(xiě)出作法）（2）請(qǐng)將用表示。參考答案：20.（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意互不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）判斷函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式或解得，解集為.

--------2（2)的單調(diào)增區(qū)間為和

-------------4又在上單調(diào)增，，解得或的取值范圍為

-----------------8（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，因?yàn)?，于是即又由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間各有一個(gè)零點(diǎn)；

------------------------------12當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增且所以函數(shù)在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn).------------16

21.（附加題）（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求和平面所成的角的大??；（Ⅱ）證明平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．

參考答案：附加題：（Ⅰ）解：在四棱錐中，因底面，平面，故．又，，從而平面．故在平面內(nèi)的射影為，從而為和平面所成的角．在中，，故．所以和平面所成的角的大小為．（Ⅱ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．由條件，，面．又面，．由，，可得．是的中點(diǎn)，，．綜上得平面．（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．由（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．因此是二面角的平面角．由已知，得．設(shè)，得，，，．在中，，，則．在中，．略22.若f（x）=x2﹣x+b，且f（log2a）=b，log2[f（a）]=2（a≠1）．（1）求f（log2x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x值；（2）x取何值時(shí)，f（log2x）＞f（1）且log2[f（x）]＜f（1）？參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想．【分析】（1）把log2a代入f（x）中，解關(guān)于log2a的一元二次方程，求出a的值；再把f（a）的值代入log2[f（a）]=2中，求出b的值；從而確定函數(shù)f（x）的解析式；把log2x代入函數(shù)f（x）中，配方法求f（log2x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x值；（2）利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣x+b，∴f（log2a）=log22a﹣log2a+b．由已知有l(wèi)og22a﹣l