廣東省江門市東山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x|x2﹣6x+8≤0}，B={1，2，3，4，5}，則陰影部分所表示的集合的元素個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】1J：Venn圖表達集合的關(guān)系及運算．【分析】由陰影部分表示的集合為A∩B，然后根據(jù)集合的運算即可．【解答】解：由Venn圖可得陰影部分對應(yīng)的集合為A∩B，A={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，則A∩B={2，3，4}，則對應(yīng)集合元素個數(shù)為3，故選：C【點評】本題主要考查集合的基本運算，利用Venn圖確定集合的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”

B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”

D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”參考答案：D3.已知函數(shù)，則=（

）.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B試題分析：，，所以，故選B．考點：函數(shù)的表示與分段函數(shù)求值.4.函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A.0

B.1

C.2

D.3

參考答案：B5.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),則下列敘述一定正確的是（

）A.是奇函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.是偶函數(shù)

D.是偶函數(shù)參考答案：D6.已知集合，，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略7.已知“∈R，則“a=2”是“復(fù)數(shù)z=（a2—a—2）+（a+1）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)”的A．充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C8.已知函數(shù)的圖象上相鄰的一個最大值點與對稱中心分別為，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：D【分析】由題意得出的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出其單調(diào)增區(qū)間可得答案.【詳解】解：由題意得：對稱中心為，可得b=0，圖象上相鄰的一個最大值點與對稱中心分別為，，可得，，，可得將代入可得，可得，且，，可得，令，可得，故選D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性及的性質(zhì)，得出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A．12 B．11 C．10 D．9參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)程序框圖，依次計算運行的結(jié)果，直到滿足條件T＞2016，即可得到n的值．【解答】解：模擬程序的運行，可得n=2，x=2，y=2，s=4，T=4，執(zhí)行循環(huán)體，n=3，x=4，y=4，s=8，T=12，執(zhí)行循環(huán)體，n=4，x=8，y=6，s=14，T=26，執(zhí)行循環(huán)體，n=5，x=16，y=8，s=24，T=50，執(zhí)行循環(huán)體，n=6，x=32，y=10，s=42，T=92，執(zhí)行循環(huán)體，n=7，x=64，y=12，s=76，T=168，執(zhí)行循環(huán)體，n=8，x=128，y=14，s=142，T=310，執(zhí)行循環(huán)體，n=9，x=256，y=16，s=272，T=582，執(zhí)行循環(huán)體，n=10，x=512，y=18，s=530，T=1112，執(zhí)行循環(huán)體，n=11，x=1024，y=20，s=1044，T=2156，滿足條件T＞2016，退出循環(huán)，輸出n的值為11．故選：B．【點評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結(jié)果是解答此類問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．10.某地區(qū)舉行一次數(shù)學(xué)競賽選拔，有1000人參加，已知參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70，100），則成績在90分以上（含90分）的學(xué)生共有（參考數(shù)據(jù)）A．23人

B．22

C．46

D．45參考答案：答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值是______.參考答案：略12.定義在R上的奇函數(shù)滿足則=

▲

．參考答案：略13.不等式的解集為

．參考答案：(－1,2)14.已知函數(shù)則________.參考答案：0因為所以.試題立意：本小題主要考查分段函數(shù)；意在考查學(xué)生運算求解能力.15.在面積為S的△ABC內(nèi)任取一點P，則△PAB的面積大于的概率為．參考答案：考點： 幾何概型；誘導(dǎo)公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 設(shè)DE是△ABC平行于BC的中位線，可得當(dāng)P點位于△ABC內(nèi)部的線段DE上方時，能使△PAB的面積大于，因此所求的概率等于△ADE的面積與△ABC的面積比值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出這個面積比即可．解答： 解：分別取AB、AC中點D、E，連接DE∵DE是△ABC的中位線，∴DE上一點到BC的距離等于A到BC距離的一半設(shè)A到BC的距離為h，則當(dāng)動點P位于線段DE上時，△PAB的面積S=BC?h=S△ABC=S因此，當(dāng)點P位于△ABC內(nèi)部，且位于線段DE上方時，△PAB的面積大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面積大于的概率為P==．故答案為：．點評： 本題給出三角形ABC內(nèi)部一點P，求三角形PBC面積大于或等于三角形ABC面積的一半的概率，著重考查了相似三角形的性質(zhì)和幾何概型的計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．16.已知是方程的復(fù)數(shù)解，則

參考答案：17.出下列命題①若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于y軸對稱；②若函數(shù)f(x)對任意滿足，則8是函數(shù)f(x)的一個周期；③若，則；④若在上是增函數(shù)，則。其中正確命題的序號是___________.參考答案：①②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知數(shù)列，設(shè)，若數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列或常數(shù)列時，則為凸數(shù)列.

（Ⅰ）判斷首項，公比，且的等比數(shù)列是否為凸數(shù)列，并說明理由；（Ⅱ）若為凸數(shù)列，求證：對任意的，且，，，均有，且；其中表示，中較大的數(shù)；（Ⅲ）若為凸數(shù)列，且存在，使得，，求證：.

參考答案：解：（Ⅰ）因為，，所以因為，公比，且，

所以，所以所以等比數(shù)列為凸數(shù)列.

……

3分（Ⅱ）因為數(shù)列為凸數(shù)列，所以，，，…，疊加得.

所以同理可證綜上所述，.

……

7分因為，所以所以令，

所以若，則若，則所以

……

10分（Ⅲ）設(shè)為凸數(shù)列中任意一項，由（Ⅱ）可知，再由（Ⅱ）可知，對任意的均有，（1）當(dāng)時，.

又因為，所以所以（2）當(dāng)時，.又因為，所以

所以（3）當(dāng)時，所以綜上所述，所以.

……

14分19.某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市100000名男生的身高服從正態(tài)分布N（168，16）．現(xiàn)從某學(xué)校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[160，164]，第二組[164，168]，…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（Ⅰ）試評估該校高三年級男生在全市高中男生中的平均身高狀況；（Ⅱ）求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)；（Ⅲ）在這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（從高到低）在全市前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若ξ﹣N（μ，σ2），則p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．參考答案：【分析】（I）高三男生的平均身高用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；（II）首先理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即：每組中包含個體的個數(shù)．我們可以依據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)．（III）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的身高在172cm以上，這50人中172cm以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方圖，經(jīng)過計算該校高三年級男生平均身高為，高于全市的平均值168（或者：經(jīng)過計算該校高三年級男生平均身高為168.72，比較接近全市的平均值168）．…（4分）（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，后三組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數(shù)為0.2×5=10，即這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)為10人．…（6分）（Ⅲ）∵P（168﹣3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，∴，0.0013×100000=130．所以，全市前130名的身高在180cm以上，這50人中180cm以上的有2人．隨機變量ξ可取0，1，2，于是，，，∴．…（12分）【點評】此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學(xué)習(xí)中需要掌握的關(guān)鍵．20.

（13分）已知函數(shù)，在曲線的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線垂直.

(Ⅰ)求a的值和切線l的方程；

(Ⅱ)設(shè)曲線上任一點處的切線的傾斜角為，求的取值范圍.參考答案：解析：(Ⅰ).………2分∵在曲線的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線垂直，∴有且只有一個實數(shù)根.∴.

∴.…………………4分∴,.

∴切線l:.

即.………7分(Ⅱ)

∵.………………9分∴.………10分∵,∴……………13分21.已知橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右焦點為F2，過點F2作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點，直線AM的斜率為．（1）求橢圓Γ的離心率；（2）若△AMN的外接圓在點M處的切線與橢圓交于另一點D，△F2MD的面積為，求橢圓Γ的標準方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由題意M（c，），因為A（﹣a，0），所以，，可得橢圓Γ的離心率（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴橢圓方程為：，M（c，c），A（﹣2c，0），設(shè)外接圓的圓心為T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．求得切線方程，代入橢圓方程，求得丨MD丨，根據(jù)點到直線的距離公式及三角形面積公式，代入即可求得c的值，求得橢圓方程．【解答】解：（1）由題意M（c，），因為A（﹣a，0），所以，，e=，∴橢圓Γ的離心率為．（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴橢圓方程為：，M（c，c），A（﹣2c，0），設(shè)外接圓的圓心為T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．kTM=，∴切線斜率k=﹣，∴∴切線方程為3x+4y﹣9c=0，代入橢圓方程消y得7x2﹣18cx+11c2=0，△=182c2﹣4×7×11c2=16c2＞0，xD=，yD=，∴丨MD丨=，F(xiàn)2點到CD的距離d=，由S=丨CD丨?d，得，∴c2=2，∴橢圓方程為22.已知橢圓C：的離心率，左、右焦點分別為F1、F2，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點．(1)求橢圓C的方程；(2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由，參考答案：（1）；（2）見解析【分析】(1)根據(jù)拋物線的方程確定橢圓的頂點，結(jié)合離心率可得a、b的值，進而求得橢圓的方程；（2）首先利用特殊情況確定點的坐標，然后根據(jù)直線和圓、橢圓的位置關(guān)系驗證以AB為直徑的圓是否過定點.【詳解】（1）因為橢圓的離心率，所以，即．因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點，所以，所以．所以橢圓的方程為．（2）（i