專題07用因式分解法求解一元二次方程（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)2種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用因式分解法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋y點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：解含字母參數(shù)的一元二次方程題型2：用換元法解一元二次方程題型3：一題多解法——解一元二次方程題型4：用因式分解法解一元二次方程的應(yīng)用題型5：閱讀理解題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：用因式分解法解方程時(shí)，出現(xiàn)丟根現(xiàn)象【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：因式分解法的應(yīng)用【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用因式分解法（提公因式、公式法）解某些數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2.能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題方法的多樣性。【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用因式分解法求解一元二次方程（重點(diǎn)）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.利用提公因式法【例1】.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故選擇D．【變式】解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）①②∴；②∴．（2）利用平方差公式【例2】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案與解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．【變式】解關(guān)于的一元二次方程：．【答案】．【解析】移項(xiàng)，得：，，，，，解得：．（3）利用完全平方公式【例3】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案與解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．十字相乘法因式分解【例4】用合適的方法解下列關(guān)于的方程：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）；【解析】（1），，解得：；（2），解得：；知識(shí)點(diǎn)2：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋y點(diǎn)）【例5】（2022?貴陽）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．【解答】解：（1）由數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)知：a＜0＜b，∴a＜b，ab＜0．故答案為：＜，＜．（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，∴x＝＝＝＝﹣1±．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0．∴x1＝0，x2＝3；③利用配方法：x2﹣4x＝4，兩邊都加上4，得x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8．∴x﹣2＝±2．∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；④利用因式分解法：x2﹣4＝0，∴（x+2）（x﹣2）＝0．∴x1＝﹣2，x2＝2．【變式1】解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）直接開方法①②∴；∴．【總結(jié)】本題考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的寫法！【變式2】解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）把看作一個(gè)整體，因式分解①②∴；②∴．【方法二】實(shí)例探索法題型1：解含字母參數(shù)的一元二次方程1.解關(guān)于的方程：（1）；（2）（3）． 【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，原方程有無數(shù)解；（3）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【解析】（1），，∴，；①當(dāng)即時(shí)，原方程是一元二次方程∴，；②當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，原方程是一元一次方程；③當(dāng)，等式恒成立，原方程有無數(shù)解；綜上：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，原方程有無數(shù)解；（3）整理得：①當(dāng)即時(shí)，原方程是一元二次方程∴，；②當(dāng)時(shí)，原方程為：，解得：；③當(dāng)時(shí)，原方程為：，解得：；綜上：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；【總結(jié)】本題考查了含參數(shù)一元二次方程的解法，一定要分類討論！是一元二次方程時(shí)，一般利用因式分解法．題型2：用換元法解一元二次方程2．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“換元”是將代數(shù)式化繁為簡的一種方法，試用這種方法解方程，它的解是___________【答案】，，【詳解】解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋獾?，，或，解得，，?．（2022秋·黑龍江雙鴨山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：，利用整體思想和換元法可設(shè)，則原方程可化為：______.【答案】【詳解】解：設(shè)，則原方程可化為：，4．（2022秋·四川眉山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、y滿足，則_____．【答案】1【詳解】解：∵，設(shè)，則，∴，∴或，解得：（舍）或，∴，5．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┮阎?，求的值為______．【答案】3【詳解】解：設(shè)，據(jù)題意，得，解得，∵，∴不符合題意舍去，∴．6．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.【答案】x1＝，x2＝.【詳解】原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.設(shè)y＝x2－5x＋5，則原方程變?yōu)?y－1)(y＋1)＝48.解得y1＝7，y2＝－7.當(dāng)x2－5x＋5＝7時(shí)，解得x1＝，x2＝；當(dāng)x2－5x＋5＝－7時(shí)，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程無實(shí)數(shù)根．∴原方程的根為x1＝，x2＝.題型3：一題多解法——解一元二次方程7.（2022秋?昆都侖區(qū)期末）解方程：x2+2x＝3．（用兩種方法解方程）【解答】解：解法一：x2+2x＝3，x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；解法二：x2+2x＝3，x2+2x+1＝3+1，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x1＝﹣3，x2＝1．題型4：用因式分解法解一元二次方程的應(yīng)用8．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）一個(gè)三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為____．【答案】20【詳解】解：，即，或，解得：或，當(dāng)時(shí)，三角形的三邊，構(gòu)不成三角形，舍去；當(dāng)時(shí)，這個(gè)三角形的周長為，9．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）菱形的兩條對(duì)角線長分別為方程的兩個(gè)根，則該菱形的周長為______．【答案】10【詳解】解：解方程，解得，，菱形的對(duì)角線互相垂直且邊長相等，根據(jù)勾股定理可得，邊長為，菱形的周長為．題型5：閱讀理解題10．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）提出問題為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后可設(shè)，則，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程，得，．當(dāng)時(shí)，，，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴．∴原方程的解為，，，．以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題（1）運(yùn)用上述換元法解方程．延伸拓展（2）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，求的值．【答案】（1），；（2）【詳解】解：解決問題：（1）設(shè)，∴原方程變形為，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，，；綜上所示，原方程的解為，．延伸拓展：（2）∴，∴原式變形為，∴，設(shè)，∴，則，解得，，即，∵，∴∴．11．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們給出定義：若關(guān)于x的一元二次方程（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，（），分別以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)M（，），則稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn)．(1)若方程為，該方程的衍生點(diǎn)M為．(2)若關(guān)于x的一元二次方程的衍生點(diǎn)為M，過點(diǎn)M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不論k（k≠0）為何值，關(guān)于x的方程的衍生點(diǎn)M始終在直線y＝kx+2（k+3）的圖象上，若有請(qǐng)求出b，c的值，若沒有說明理由．【答案】(1)（1，2）(2)或(3)存在，，【詳解】（1）∵的解為x=1或2，∴，∴M(1，2)，該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo)(1，2)，故答案為：（1，2）；（2）∵的解為x=1或x=5m，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)M(1，5m)，由題意可得1=5m，解得m=，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)M(5m，1)，∴5m=1，∴m=；當(dāng)5m<0時(shí)，M(5m，1)，此時(shí)，解得m=；綜上，m的值為或；（3）存在b，c滿足條件，理由如下：∵，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)，∴方程+bx+c=0的衍生點(diǎn)M為，∴將和代入可得,解得，．12．（2022秋·湖南郴州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．在由原方程得到方程（1）的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(1)試用上述方法解方程：，得原方程的解為___________．(2)解方程．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，解得，，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)，，方程無解，故原方程的解為，，故答案為：，．（2）解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋獾?，，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，，則方程無解，故原方程的解為．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：用因式分解法解方程時(shí)，出現(xiàn)丟根現(xiàn)象13.解關(guān)于的方程：解：①當(dāng)即時(shí)，原方程是一元二次方程∴，；②當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，原方程是一元一次方程；③當(dāng)，等式恒成立，原方程有無數(shù)解；綜上：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，原方程有無數(shù)解；【總結(jié)】本題考查了含參數(shù)一元二次方程的解法，一定要分類討論！是一元二次方程時(shí)，一般利用因式分解法．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．（2022?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022?天津）方程x2+4x+3＝0的兩個(gè)根為（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2+4x+3＝0，（x+3）（x+1）＝0，x+3＝0或x+1＝0，x1＝﹣3，x2＝﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．3．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．【分析】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為（x﹣1）（x﹣2），再利用積為0的特點(diǎn)求解即可．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用．4．（2022?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程．注意：常數(shù)項(xiàng)應(yīng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且這兩個(gè)的和應(yīng)等于一次項(xiàng)系數(shù)．5．（2021?西寧）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】先移項(xiàng)得到x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法考法2：因式分解法的應(yīng)用6．（2021?雅安）若直角三角形的兩邊長分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該直角三角形的面積是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根為3和4，再分長是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x＝3或x＝4．①當(dāng)長是4的邊是直角邊時(shí)，該直角三角形的面積是×3×4＝6；②當(dāng)長是4的邊是斜邊時(shí)，第三邊是＝，該直角三角形的面積是×3×＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．7．（2021?西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的兩個(gè)根是菱形的兩條對(duì)角線長，則這個(gè)菱形的面積為（）A．6 B．10 C．12 D．24【分析】法1：利用因式分解法求出已知方程的解確定出菱形兩條對(duì)角線長，進(jìn)而求出菱形面積即可；法2：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積，再根據(jù)對(duì)角線乘積的一半求出菱形面積即可．【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形兩對(duì)角線長為4和6，則這個(gè)菱形的面積為×4×6＝12；法2：設(shè)a，b是方程x2﹣10x+24＝0的兩根，∴ab＝24，則這個(gè)菱形的面積為ab＝12．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．8．（2021?丹東）若實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的兩個(gè)根，且k＜b，則一次函數(shù)y＝kx+b的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】通過解一元二次方程可得出k，b的值，再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，此題得解．【解答】解：∵實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的兩個(gè)根，且k＜b，∴k＝﹣3，b＝1，∴函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“k＜0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、四象限”是解題的關(guān)鍵．9．（2021?濰坊）若菱形兩條對(duì)角線的長度是方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該菱形的邊長為（）A． B．4 C．2 D．5【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AO和OD，根據(jù)勾股定理求出AD即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì)，能求出方程的解是解此題的關(guān)鍵．10．（2021?廣安）一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2﹣6x+8＝0的根，則這個(gè)三角形的周長為．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊的長為4，從而得到計(jì)算三角形的周長．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4，若三角形第三邊長為2，而2+3＝5，不符合三角形三邊的關(guān)系舍去；若三角形第三邊長為3，而4+3＞5，符合三角形三邊的關(guān)系舍去；所以三角形第三邊的長為4，所以三角形的周長為3+4+5＝12．故答案為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了三角形三邊的關(guān)系．11．（2021?黔西南州）三角形兩邊的長分別為2和5，第三邊的長是方程x2﹣8x+15＝0的根，則該三角形的周長為．【分析】先求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能否組成三角形，最后求出三角形的周長即可．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，當(dāng)?shù)谌厼?時(shí)，2+3＝5，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，舍去；當(dāng)?shù)谌厼?時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，能組成三角形，此時(shí)三角形的周長是2+5+5＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出方程的解是解此題的關(guān)鍵．【方法五】成功評(píng)定法一、單選題1．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）一元二次方程的兩個(gè)根是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解題關(guān)鍵．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）方程的解為，，若方程，它的解是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法解一元二次方程即可得．【詳解】解：令，則方程可變形為，∵方程的解為，，∴方程的解為，即，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．3．（2023·河南商丘·?？既＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C第一次落在上時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由坐標(biāo)中點(diǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)坐標(biāo)間的距離公式列方程求出的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，解得：或（舍），，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)間距離公式等知識(shí)，利用坐標(biāo)的距離公式正確列方程是解題關(guān)鍵．4．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）方程的兩個(gè)根為()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)解一元二次方程因式分解法，進(jìn)行求解即可解答．【詳解】解：

，或，即，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握解一元二次方程因式分解法是解題的關(guān)鍵．5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個(gè)規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，可得，求出x的值即可；當(dāng)時(shí)，可得求出x的值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），，綜上：x的值是5或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的運(yùn)算和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給新定義的運(yùn)算法則，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．6．（2023秋·重慶開州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若整數(shù)，使成立，則滿足條件的，的值有（

）A．4對(duì) B．6對(duì) C．8對(duì) D．無數(shù)對(duì)【答案】C【分析】先化簡可得，設(shè)，則；然后求得a的值，最后列舉出符合題意的，的整數(shù)值即可解答．【詳解】解：由，設(shè)，則，∴，即，解得：或（舍棄），∴．∴滿足條件的，的整數(shù)值有：，，，，，，，，共8對(duì)．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，掌握二元一次方程的解是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若菱形的一條對(duì)角線長為10，邊的長是方程的一個(gè)根，則該菱形的周長為（

）A．20 B．24 C．20或24 D．48【答案】B【分析】解方程得出或，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)時(shí)，，即可得出菱形的周長．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∵，因式分解得：，解得：或，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)時(shí)，，能構(gòu)成三角形，∴菱形的周長．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）方程的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，或，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步驟．二、填空題9．（2023秋·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的一個(gè)解是，則該方程的另一個(gè)解是．【答案】【分析】采用因式分解法解方程即可求解．【詳解】，即，，一個(gè)解是，則該方程的另一個(gè)解是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程的知識(shí)，掌握因式分解法是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是正比例函數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得且，然后求得m的值即可．【詳解】解：由題意可得：且，解得：，解得：，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義，解一元二次方程，熟練掌握正比例函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）某天，張老師帶領(lǐng)同學(xué)們利用棋子構(gòu)圖研究數(shù)字規(guī)律．將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，若第個(gè)圖中共有個(gè)棋子，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)給定的圖找出其中的規(guī)律，列一元二次方程，求解即可．【詳解】解：第1個(gè)圖有7個(gè)棋子，第2個(gè)圖有11個(gè)棋子，第3個(gè)圖有17個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，依題意，，解得：（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律，列出方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知方程的根為，則的值為．【答案】6【分析】解方程，將解得的代入即可解答．【詳解】解：，對(duì)左邊式子因式分解，可得解得，，將，代入，可得原式，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形的兩邊長為4和6，第三邊的邊長是方程的根，則這個(gè)三角形的周長為．【答案】15【分析】先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分兩種情況，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴或，∴，分兩種情況：當(dāng)?shù)谌厼?時(shí)，∵，∴不能組成三角形，當(dāng)?shù)谌厼?時(shí)，這個(gè)三角形的周長，綜上所述：這個(gè)三角形的周長為15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三邊關(guān)系，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的周長為【答案】15【分析】分情況討論：若a作為腰，則方程的一個(gè)根為6，將6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周長；將a作為底，則說明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)求出k的值，然后將k的值代入方程求出解，得出周長．【詳解】若為腰，則中還有一腰，即6是方程的一個(gè)根．∴解得：將代入得：解得：．，此時(shí)能構(gòu)成三角形，的周長為：若為底，則，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根．∴解得：將代入得：解得：．，∵∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不能計(jì)算周長綜上可得：的周長為15．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識(shí)，按若是否為底邊分類討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．特別注意驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形．15．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考三模）如果一個(gè)三角形兩邊的長分別等于一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長可能是20嗎？．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能【分析】先求出方程的解，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷即可得到答案．【詳解】解：，，或，即三邊為6、11、20，，不符合三角形三邊關(guān)系定理，這個(gè)三角形的第三邊的長不可能是20，故答案為：不可能．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，能求出一元二次方程的解是解此題的關(guān)鍵．16．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．【答案】，，【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，令關(guān)于y的方程中，即可得到，解這個(gè)方程組即可得到答案．【詳解】解：∵,∴,關(guān)于的方程的解是，，令，∴，∴或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關(guān)于y的方程中是解決問題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)基本定理告訴我們對(duì)于形如（其中，，…，為整數(shù)）這樣的方程，如果有整數(shù)根的話，那么整數(shù)根必定是的約數(shù)．例如方程的整數(shù)根只可能為，代入檢驗(yàn)得時(shí)等式成立．故含有因式，所以原方程可轉(zhuǎn)化為：，進(jìn)而可求得方程的所有解．請(qǐng)你仿照上述解法，解方程：得到的解為．【答案】或或【分析】本題通過題干分析，按照題干的方法可得方程：的整數(shù)根只能是，，代入檢驗(yàn)得時(shí)等式成立，得到，然后根據(jù)方法轉(zhuǎn)化原方程，得到對(duì)應(yīng)的解．【詳解】解：的整數(shù)根只可能為，，代入檢驗(yàn)得時(shí)等式成立，故含有因式，，，∴，或，∴，，，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查高階次冪的一元方程的解法，通過判斷整數(shù)解來進(jìn)行因式分解，從而求出對(duì)應(yīng)的解．三、解答題18．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：即，解得：（2）解：即解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．19．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：【答案】，【分析】依次按照去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、因式分解求解即可．【詳解】解：解得：，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了用因式分解法求一元二次方程的解，正確計(jì)算是關(guān)鍵．20．（2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】(1)直接開方，移項(xiàng)即可求解；(2)先移項(xiàng),然后提公因式,由此即可求解；【詳解】（1）解：，∴或∴，．（2）解：∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查開方法，因式分解法解一元二次方程，掌握開方法，因式分解是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用十字相乘法將方程因式分解為，則或，求出方程的兩個(gè)解即可；（2）先移項(xiàng)，再用提取公因式法將方程因式分解為，則或，求出方程的兩個(gè)解即可．【詳解】（1）解：，因式分解得：，或，解得：，（2）解：，，因式分解得：，或，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握用十字相乘法、提取公因式法來因