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8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖五年高考考點1空問幾何體的結(jié)構(gòu)1.(2013天津,4,5分)已知下列三個命題:11若一個球的半徑縮小到原來的懇,則其體積縮小到原來的§;28若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等;1直線x+y+1二0與圓x2+y2二-相切,其中真命題的序號是()A.①②③B.①②C.①③D.②③2.(2013遼寧.10,5分)已知直三棱柱ABC-AiBa的6個頂點都在球°的球面上,若AB二3,AC二4,AB丄AC,AA=12,則球°的半徑為()113B"13B"C2D.^.103.(2013課標(biāo)全國I,6,5分)如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為()人500兀?866兀廠1372兀小2048兀A.cm3B.cm3C.cm3D.cm333334.(2012福建.4.5分)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個幾何體不可以是()A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱5.6.(2013福建.12.4分)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積
7.(2010課標(biāo)全國.14,5分)正視圖為一個三角形的幾何體可以是.(寫出三種)考點2三視圖和直觀圖1.(2013四川.3,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是()智力背景《九章算術(shù)》簡介《九章算術(shù)》大約編于公元四、五十年間的東漢初期.這部書是采用問題集的形式編成的,共有二百四十六個問題,分成方田、粟米、衰分、少廣、商動、均輸、盈不足、方程和勾股九章.方田章講的是各種分?jǐn)?shù)計算和方田、梯形田、斜方形田、圓田、半圓形田、弧田、環(huán)形田等的面積計算;粟米章講的是糧食交易的簡單比例計算,2.2013重慶,5,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為2.33D.24033D.2404.3.則該四棱臺的體積是32013湖南.7,5分)4.3.則該四棱臺的體積是32013湖南.7,5分)的面積不可能等于(3已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形)則該正方體的正視圖5.A.1B..22013課標(biāo)全國II(1,1,0),(0,1,7,5分)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系0-5.A.1B..22013課標(biāo)全國II(1,1,0),(0,1,7,5分)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系0-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到6.則該幾何體的體積為()A.16+8兀B.8+8兀C.16+16兀D.8+16兀7.(2012課標(biāo)全國.7,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()8.8.2012湖北.4,5分)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為D.6兀A.-B.3tD.6兀39.(2011課標(biāo).6,5分)在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()
(正視圖)(俯視圖)智力背景(正視圖)(俯視圖)我可以創(chuàng)造一個宇宙伽利略說:“給我空間、時間及對數(shù),我可以創(chuàng)造一個宇宙?自然界的書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的.”哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)的創(chuàng)作絕不是單靠推論可以得到的,首先通常是一些模糊的猜測,揣摩著可能的推廣,接著下了不十分有把握齙結(jié)論.然后整理想法,直到看出事實的端倪,往往還要費好大的勁兒,才能將一切特諸邏輯式的證明,這過程要經(jīng)過許多失敗、挫折,一再地猜測、揣摩,在試探中白花掉幾個月的時間是常有的.”(2011廣東.7,5分)如圖,某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形,側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為()正視圖側(cè)視圖正視圖A.6、'3B.9舅C.12、.:3D.18J3(2013遼寧,13.5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是1*1十一2??1*1十一2??十M嚴(yán)1十-2■+1H(2013浙江.12.4分)若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于cm3.I—4—|R—3—H正視圖I—4—|R—3—H正視圖側(cè)視圖俯視圖(2013陜西.12.5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為(2012浙江.11,4分)已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積等于_cm3.(2012遼寧,13.5分)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為解讀探究考點內(nèi)容命題規(guī)律考點內(nèi)容命題規(guī)律命題趨勢、空間幾何認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活體的結(jié)構(gòu)中簡單物體的結(jié)構(gòu).1、空間幾何認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活體的結(jié)構(gòu)中簡單物體的結(jié)構(gòu).1?趨勢分析:柱、錐、臺、球的定義及相關(guān)性質(zhì),與面積、體積相關(guān)的三視圖的還原等是高考執(zhí)占八'、八'、?2.備考指南:備考時應(yīng)準(zhǔn)確理解柱、錐、臺、球的定義,真正把握幾何體結(jié)構(gòu)特征?把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系及斜二測畫法的作圖規(guī)則要領(lǐng),提升空間想象能力.1?考查內(nèi)容:2013年全國各省市對空間幾何體的結(jié)構(gòu)的考查共計3次;對三視圖和直觀圖的考查共計9次如2013廣東,5.2?題型賦分:空間幾何體的考查以選擇題為主,每題5分;三視圖和直觀圖以選擇題、填空題為主,每題為5分.3?能力層級:高考試題對本節(jié)能力點的考查以理解和掌握為主,一般是容易題和中等難度題.4?考查形式:高考試題的考查形式有三種:一種是三視圖的識別;一種是三視圖和直觀圖的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化;一種是求與三視圖對應(yīng)的直觀圖的表面積和體積.二、三視圈和直觀圈能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).智力背景什么是數(shù)學(xué)模型呢數(shù)學(xué)模型是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象,為了某個特定的目的,做出一些必要的簡化和假設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).?dāng)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是指數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等這些基于數(shù)學(xué)思想與方法的數(shù)學(xué)問題,總之,數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種抽象,基于數(shù)學(xué)理論和方法,用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系.知識清單棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征:有①面互相平行,其余各面都是②,并且每相鄰③的公共邊都互相平行,棱柱的兩個互相平行的面叫棱柱的底面,其余各面叫棱柱的側(cè)面,兩側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱,如果棱柱的一個底面水平放置,則鉛垂線與兩底面的交點之間的線段或距離,叫做棱柱的高.棱柱的分類:按側(cè)棱與底面的關(guān)系可分為④、⑤;按底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等;底面是正多邊形的—又稱為正棱柱.棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面是有一個⑦—的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐.正棱錐的定義:如果一個棱錐的底面是正多邊形,并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心,這樣的棱錐叫做正棱錐.正棱錐的性質(zhì):a.各側(cè)棱長度相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高.b棱錐的高、斜高和斜足與底面中心連線組成一個直角三角形;棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征分別以矩形一邊、直角三角形一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺,其中旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸;在軸上的這條邊叫做這個幾何體的高;垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做這個幾何體的底面;不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做這個幾何體的側(cè)面,無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都叫做側(cè)面的母線.棱臺、圓臺的特征用平行于底面的平面去截棱錐、圓錐,截面與底面間的部分叫棱臺、圓臺.球-個⑧—圍繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面,球面所圍成的幾何體叫做球.形成球的半圓的圓心叫做球心;連結(jié)球面上一點和球心的線段叫球的半徑;連結(jié)球面上兩點且通過球心的線段叫球的直徑球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓,被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓.球的截面性質(zhì):⑨,其中r為截面圓的半徑,R為球的半徑,d為球心0到截面圓心的距離.幾何體的三視圖是指:⑩、(11)、(12).又稱為主視圖、左視圖、俯視圖.三視圖的畫法要求在畫三視圖時,重疊的線只畫一條,被擋住的線要畫成虛線.三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線,畫三視圖的基本要求:(13)、(14)、(15).由三視圖想象幾何體特征時要根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的基本原則.8.平行投影的投影線互相平行;中心投影的投影線交于一點.9.水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法的步驟在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于0點,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x/軸與y/軸,兩軸相交于O/且使厶/O/y/二45。,用它們確定的平面表示水平面;已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x/軸或y/軸的線段;已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄局R拓展】1.常見多面體及其關(guān)系、(1)平行六面體;直棱柱;正棱柱;長方體;正方體;正棱錐;正棱臺.(2){正方體}{正四棱柱}令{長方體}5{直平行六面體}令{平行六面體}5{四棱柱}.三視圖在解題過程中,可以根據(jù)三視圖的形狀及圖中所涉及的線段的長度,推出原幾何圖形中的點、線、面的位置關(guān)系及圖中的一些線段的長度,從而解決其他有關(guān)問題,?知識清單答案①兩個②四邊形③兩個四邊形④斜棱柱⑤直棱柱⑥直棱柱⑦公共頂點⑧半圓?r=VR2~d2⑩正視圖?側(cè)視圖?俯視圖?正俯一樣長?俯側(cè)一樣寬?正側(cè)一樣高智力背景石鐘慈與中國計算數(shù)學(xué)的發(fā)展中國計算數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算研究所研究員磊鐘慈,曾任國家攀登項目“天規(guī)??茖W(xué)與工程計算”首席科學(xué)家20世紀(jì)50年代束,他建立了一種將變分原理和攝動理論相結(jié)合的新算法并算出氦原子最低能態(tài)的良好近似值;研究了矩陣特征值的定位問題,得到精度很高的上下界估計公式.90年代后期,他研究彈性力學(xué)中閉鎖問題的有限元方法,成績顯著,居于國際前列.突破方法方法1幾何體的三視圖例1(2012湖南,3,5分)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是
解題思路解題思路解析A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖;B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯視圖;C圖是個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖,采用排除法,故選D.三視圖的畫法要堅持以下原則即正視圖和側(cè)視圖的高相等;即側(cè)視圖和俯視圖的寬相等;即正視圖和俯視圖的長相等;答案D三視圖的畫法要堅持以下原則即正視圖和側(cè)視圖的高相等;即側(cè)視圖和俯視圖的寬相等;即正視圖和俯視圖的長相等;【方法點撥】(1)高平齊,寬相等,長對正,看不見的輪廓線或棱要用虛線表示方法2幾何體的直觀圖例2(2012山東淄博三模.14,4分)有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),ZABC=45。,AB=AD=1,DC丄BC,則這塊菜地的面積為.斜二測畫法規(guī)則解題思路直觀圖T—>過點A作斜二測畫法規(guī)則解題思路直觀圖T—>過點A作AE1BC,垂足為E,72則在RtAABE中,AB二1,ZABE二45。,.BE二而四邊形AECD為矩形,AD=1,...EC二AD二1.BC二BE+EC二卓+1.由此可還原原圖形如圖②.在原圖形中,A/D/=1,A/B/=2,B/C/~~2+1,且A/D///B/C/,A/B/丄B/C/,???這塊菜地的面積為s二2(A/D/+B/C/)-A/B/=2x=2x(1+1+【方法點撥】斜二測畫法的注意事項:對于幾何體的直觀圖,一方面,要掌握斜二測畫法規(guī)則,注意線線平行關(guān)系的不變性及長度的變化特征;另一方面,若能了解原圖形面積S與其直觀圖面積s直之間的關(guān)系:S直二4s,還可以簡化有關(guān)問題的計算.把水平放置的直觀圖還原成原來的圖形,基本過程就是逆用斜二測畫法,使平行于x/軸的線段長度不變,平行于y/軸的線段長度變成原來的2倍,智力背景分解質(zhì)因數(shù)的來源1643年,歐洲殖民者在美洲大陸經(jīng)歷了一場恐怖:大量的蟬仿佛一夜之間從地底冒出,幾周后銷聲匿跡,時隔17年,這現(xiàn)象再次出現(xiàn)到1991年共出現(xiàn)22次,周期很準(zhǔn)確,科學(xué)家發(fā)現(xiàn),蟬的生命周期大都為質(zhì)數(shù),如在北荑洲北部地區(qū)同瀨為17年,在南部地區(qū)則為13年科學(xué)家說,蟬選擇質(zhì)數(shù)為生命周期,可降低與天敵遭遇的概率若它的生命周期是12年,則與生命周期為1、2、3、4、6、的天教都可能遭遇,從而使種群生存受威脅.三年模擬A組2011-2013年模擬探究專項基礎(chǔ)測試時間:35分鐘分值:40分一、選擇題(每題5分,共25分)1.(2013北京通州高三上學(xué)期期末)一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是(),A.16+4J2B.12+4.2C.8+4巨D(zhuǎn).4+4J21正稅圖2.(2013廣東云浮一模.3)如圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,且體積為2,則該幾何體的俯視圖可以是()正稅圖側(cè)視圖#3.(2013吉林長春5月,個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()側(cè)視圖正視圖A.16+2nB.8+2nC.16+n(2012北京朝陽二模3.(2013吉林長春5月,個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()側(cè)視圖正視圖A.16+2nB.8+2nC.16+n(2012北京朝陽二模.8)有一個棱長為1的正方體,按任意方向正投影,其投影面積的最大值是()A.1B.322俯視圖D.8+兀c.J2d.\3(2011江西重點盟校二次聯(lián)考.6)若某多面體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此多面體的體積是(側(cè)視圖1A.—cm3
2二、填空題(共5分)2B.cm33C.5cm367D.—cm386.(2013河北石家莊二模,13)如圖,矩形O/A/B/C/是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O/A/=6,0/C/=2,則原圖形0ABC的面積為三、解答題(共10分)7(2013北京大興一模17)用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐,截得圓臺的上、下底面的面積之比為1:16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長,智力背景規(guī)矩和直尺(一)古人云:“沒有規(guī)矩,不成方圓,”可見在中國古代,就有了規(guī)和矩我們知道,“規(guī)”是指畫圓的圓規(guī);“矩”是折成直角的曲尺,尺上有刻度,發(fā)明規(guī)矩的確切年代已無從查考但在公元前15世紀(jì)的甲骨文中,已有規(guī)矩二字了《史記》中有這樣的記栽:夏禹治水的時候,是“左準(zhǔn)繩,右規(guī)矩”這意思是說,夏禹是左手拿著水準(zhǔn)繩,右手拿規(guī)和矩進(jìn)行測量,規(guī)劃出治水方索的,由此說明在夏禹治水的年代就有了規(guī)和矩這兩種幾何工具了,B組2011-2013年模擬探究專項提升測試時間:50分鐘分值:50分一、選擇題(每題5分,共15分)1(2013北京昌平高三上學(xué)期期末)已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸,可得這個幾何體的全面積為()
A.10+4心3+4邁B.10+2?込+4邁C.14+2?込+4邁D.14+4打+4邁2.(2013山西陽泉一模.9)下列結(jié)論正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)
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