廣西壯族自治區(qū)南寧市蘇州路學(xué)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=log2x+，若x1∈（1，2），x2∈（2，+∞），則（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）=log2x+利以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法可知，該函數(shù)在（1，+∞）是增函數(shù)，并且可以求得f（2）=0，利用單調(diào)性可以得到答案．【解答】解：函數(shù)f（x）=log2x+在（1，+∞）是增函數(shù)，（根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）而f（2）=0，∵x1∈（1，2），x2∈（2，+∞），∴f（x1）＜0，f（x2）＞0，故選B．2.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為(

) A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0參考答案：B考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：化簡(jiǎn)g（x）的表達(dá)式，得到g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣2，1）對(duì)稱，由f（x）的周期性，畫出f（x），g（x）的圖象，通過圖象觀察上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的特點(diǎn)，求出它們的和解答： 解：由題意知g（x）==2+，函數(shù)f（x）的周期為2，則函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上的圖象如右圖所示：由圖形可知函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上的交點(diǎn)為A，B，C，易知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣3，若設(shè)C的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜1），則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性、對(duì)稱性和應(yīng)用，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．3.給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是A.①② B.②③C.③④ D.①④參考答案：B略4.A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（

）A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心參考答案：B5.函數(shù)是（）A.偶函數(shù)且最小正周期為

B.奇函數(shù)且最小正周期為C.偶函數(shù)且最小正周期為π

D.奇函數(shù)且最小正周期為π參考答案：A根據(jù)二倍角公式可知，所以函數(shù)是偶函數(shù)，最小正周期，所以函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)。6.設(shè)a,b,c表示三條直線,表示兩個(gè)平面,則下列命題中逆命題不成立的是

（

）A．,若,則

B．,,若,則C．,若,則

D．,,,若,則參考答案：C7.設(shè)集合，，則（A） （B）（C） （D）參考答案：B略8.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意都有，且其導(dǎo)函數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)，有

（

）

(A)．

(B)．

(C)．

(D)．參考答案：B略9.若復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A.2 B.3 C. D.4參考答案：A【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式，得到答案.【詳解】所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于簡(jiǎn)單題.10.已知平面α∩β=l，m是α內(nèi)不同于l的直線，那么下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A.若m∥β，則m∥l B.若m∥l，則m∥βC.若m⊥β，則m⊥l D.若m⊥l，則m⊥β參考答案：D【分析】A由線面平行的性質(zhì)定理判斷.B根據(jù)兩個(gè)平面相交，一個(gè)面中平行于它們交線的直線必平行于另一個(gè)平面判斷.C根據(jù)線面垂直的定義判斷.D根據(jù)線面垂直的判定定理判斷.【詳解】A選項(xiàng)是正確命題，由線面平行的性質(zhì)定理知，可以證出線線平行；B選項(xiàng)是正確命題，因?yàn)閮蓚€(gè)平面相交，一個(gè)面中平行于它們交線的直線必平行于另一個(gè)平面；C選項(xiàng)是正確命題，因?yàn)橐粋€(gè)線垂直于一個(gè)面，則必垂直于這個(gè)面中的直線；D選項(xiàng)是錯(cuò)誤命題，因?yàn)橐粭l直線垂直于一個(gè)平面中的一條直線，不能推出它垂直于這個(gè)平面；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線關(guān)系和面面關(guān)系，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知函數(shù)，對(duì)任意的，都存在,使得則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．參考答案：12.集合其中，對(duì)應(yīng)圖形的面積為

．參考答案：13.已知函數(shù)，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略14.若是雙曲線：和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且其中是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率的為____.參考答案：略15.計(jì)算：

。參考答案：16.設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值是

.

參考答案：17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為__________．參考答案：2【分析】利用余弦定理將及化為三角形邊的關(guān)系，可得，再利用基本不等式可得最小值.【詳解】根據(jù)題意，由余弦定理得，得，依據(jù)正弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上所述，答案為2.故答案為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理和基本不等式的交匯，解答本題的關(guān)鍵是將角化成邊，利用基本不等式求最值要驗(yàn)證條件“一正”“二定”“三相等”.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校學(xué)生營(yíng)養(yǎng)餐由A和B兩家配餐公司配送．學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)這兩家配餐公司的滿意度，采用問卷的形式，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生對(duì)兩家公司分別評(píng)分．根據(jù)收集的80份問卷的評(píng)分，得到如圖A公司滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和如表B公司滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表：滿意度評(píng)分分組頻數(shù)[50，60）2[60，70）8[70，80）14[80，90）14[90，100]2（Ⅰ）根據(jù)A公司的頻率分布直方圖，估計(jì)該公司滿意度評(píng)分的中位數(shù)；（Ⅱ）從滿意度高于90分的問卷中隨機(jī)抽取兩份，求這兩份問卷都是給A公司評(píng)分的概率；（Ⅲ）請(qǐng)從統(tǒng)計(jì)角度，對(duì)A、B兩家公司做出評(píng)價(jià)．參考答案：【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】（Ⅰ）設(shè)出中位數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖求出中位數(shù)的值即可；（Ⅱ）意度高于9的問卷共有6份，其中4份評(píng)價(jià)A公司，設(shè)為a1，a2，a3，a4，2份評(píng)價(jià)B公司，設(shè)為b1，b2，求出滿足條件的個(gè)數(shù)，求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）根據(jù)A公司得分的中位數(shù)低于B公司得分的中位數(shù)，A公司得分的平均數(shù)數(shù)低于B公司得分的平均數(shù)，得出結(jié)論即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)A公司調(diào)查的40份問卷的中位數(shù)為x，則有0.015×10+0.025×10+0.03×（x﹣70）=0.5解得：x≈73.3所以，估計(jì)該公司滿意度得分的中位數(shù)為73.3

…（Ⅱ）滿意度高于9的問卷共有6份，其中4份評(píng)價(jià)A公司，設(shè)為a1，a2，a3，a4，2份評(píng)價(jià)B公司，設(shè)為b1，b2．從這6份問卷中隨機(jī)取2份，所有可能的結(jié)果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共有15種．其中2份問卷都評(píng)價(jià)A公司的有以下6種：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）．設(shè)兩份問卷均是評(píng)價(jià)A公司為事件C，則有．…（Ⅲ）由所給兩個(gè)公司的調(diào)查滿意度得分知：A公司得分的中位數(shù)低于B公司得分的中位數(shù)，A公司得分集中在[70，80）這組，而B公司得分集中在[70，80）和[80，90）兩個(gè)組，A公司得分的平均數(shù)數(shù)低于B公司得分的平均數(shù)，A公司得分比較分散，而B公司得分相對(duì)集中，即A公司得分的方差高于B公司得分的方差．…19.如圖，已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)在軸上的射影為，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè).設(shè)，的面積為.（I）求函數(shù)的解析式及的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大值.

參考答案：（I）根據(jù)已知條件，需要表示出和，因?yàn)椋渣c(diǎn)的橫坐標(biāo)為,試題解析：（I）由已知可得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，所以，即.由已知，所以，

所以所以的面積為.（II）

由，得（舍）,或.

函數(shù)與在定義域上的情況如下：2+0↗極大值↘

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值8.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.略20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

參考答案：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC．

………4分（Ⅱ）設(shè)AC∩BD＝O．因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線及過點(diǎn)O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

設(shè)PB與AC所成角為θ，則

cosθ＝＝＝．

………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．設(shè)P（0，－，t）（t＞0），則＝（－1，－，t）．設(shè)平面PBC的法向量m＝（x，y，z），則·m＝0，·m＝0．所以

令y＝，則x＝3，z＝，

所以m＝．同理，可求得平面PDC的法向量n＝．因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0．解得t＝．所以當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，PA＝．

……12分

21.（本小題滿分13分）將正整數(shù)（）任意排成行列的數(shù)表.對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫出排成的各個(gè)數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某個(gè)行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，），且滿足請(qǐng)分別寫出時(shí)數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）；（Ⅲ）對(duì)于由正整數(shù)排成的行列的任意數(shù)表，若某行（或列）中，存在兩個(gè)數(shù)屬于集合，記其“特征值”為，求證：參考答案：證明：（Ⅰ）顯然，交換任何兩行或兩列，特征值不變.可設(shè)在第一行第一列，考慮與同行或同列的兩個(gè)數(shù)只有三種可能，或或.得到數(shù)表的不同特征值是或

……………3分714582369

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，數(shù)表為此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為

……………………4分13159101426711153481216

當(dāng)時(shí),數(shù)表為

此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為.

………5分21161116172227121318233891419244510152025

當(dāng)時(shí)，數(shù)表為

此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為.

…………6分猜想“特征值”為.

…………………7分（Ⅲ）設(shè)（）為該行（或列）中最大的兩個(gè)數(shù)，則，因?yàn)樗裕瑥亩?3分22.（10分）【選修4-5︰不等式選講】已知=|2x-1|+ax-5（a是常數(shù),a∈R）。（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)求不等式0的解集;（Ⅱ）如果函數(shù)y=恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）{x|x≥2或x≤-4}（Ⅱ）-2＜a＜