第第頁數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊《1.1菱形的性質(zhì)與判定》教案（第2課時）第一章特殊的平行四邊形

1.1菱形的判定和面積

第2課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1．經(jīng)歷菱形判定定理的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力。

2．能夠用綜合法證明菱形的判定定理，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力。

3．體會探索與證明過程中所蘊含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想。

二、教學(xué)重點及難點

重點：探索證明菱形的兩個判定方法，掌握證明的基本要求、方法及思路．

難點：明確推理證明的條件和結(jié)論能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)．

三、教學(xué)用具

多媒體課件、直尺或三角板。

四、相關(guān)資源

《菱形的性質(zhì)》動畫,《菱形的判定》微課

五、教學(xué)過程

【復(fù)習(xí)引入】

上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了菱形的概念和菱形的性質(zhì)，你能說出菱形的概念和菱形的性質(zhì)定理嗎？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生回顧上一節(jié)課所學(xué)內(nèi)容．

答：菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

菱形的性質(zhì)定理：

菱形的四條邊相等．

菱形的兩條對角線互相垂直．

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)，可以加深對菱形的概念和菱形性質(zhì)的理解，也是探究菱形判定方法的基礎(chǔ)．

【探究新知】

根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．除此之外，你認(rèn)為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生思考、討論，教師引導(dǎo)．

教師引導(dǎo)：我們學(xué)習(xí)平行四邊形的判定時，是如何猜想并進(jìn)行證明的呢？

學(xué)生回答：……

教師引導(dǎo)：與研究平行四邊形的判定方法類似，我們研究菱形的性質(zhì)定理的逆命題，看看它們是否成立．我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生猜想．

學(xué)生猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

教師追問：如何證明你的猜想呢？

師生活動：教師追問，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證并完成證明過程．

已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AC⊥BD．

求證：□ABCD是菱形．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC．

又∵AC⊥BD，

∴BD是線段AC的垂直平分線．

∴BA=BC．

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）．

思考我們知道，菱形的四條邊都相等．反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生猜想．

學(xué)生猜想：四條邊相等的四邊形是菱形．

教師追問：如何證明你的猜想呢？

師生活動：教師追問，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證并完成證明過程．

答：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA．

求證：四邊形ABCD是菱形．

證明：∵AB=CD，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

又∵AB=BC，

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）．

設(shè)計意圖：通過此環(huán)節(jié)讓學(xué)生對菱形的性質(zhì)和判定的關(guān)系有了一定的認(rèn)識．

總結(jié)菱形的判定方法：

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

幾何語言：

∵□ABCD，AC⊥BD（已知），

∴□ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

判定定理2：四條邊相等的四邊形是菱形．

幾何語言：

∵AB=BC=CD=DA（已知），

∴四邊形ABCD是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形）．

設(shè)計意圖：通過類比平行四邊形判定定理的探究過程，從菱形性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)，提出猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并從定義出發(fā)證明結(jié)論，得到菱形的判定方法．

議一議如圖，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B，D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD就是菱形．

你認(rèn)為這種做法正確嗎？為什么？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生思考、討論，教師找學(xué)生代表回答．

答：這種做法正確；因為分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B，D，依次連接A，B，C，D，則AB=BC=CD=DA．所以四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）．

做一做：先將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿虛線剪下，將紙展開，就得到了一個菱形。

你能說說小穎這樣做的道理嗎？

師生活動：教師出示問題，學(xué)生思考、討論，教師找學(xué)生代表回答．

答：小穎的方法是利用軸對稱制作了一個四邊相等的四邊形，因此一定是菱形．

設(shè)計意圖：鞏固學(xué)生對菱形判定定理的理解．

【典例精析】

例已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=，OA=2，OB=1．求證：□ABCD是菱形．

師生活動：教師分析、引導(dǎo)學(xué)生完成解題過程．

分析：要證□ABCD是菱形，可以選擇的判定方法有三種：

方法1：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）；

方法2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（判定定理1）；

方法3：四條邊相等的四邊形是菱形（判定定理2）．

小組合作交流：你用的是哪一種方法？你認(rèn)為哪一種方法最好？

證明：在△AOB中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2．

∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．

∴AC⊥BD．

∴□ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

設(shè)計意圖：初步應(yīng)用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進(jìn)行推理證明．

【課堂練習(xí)】

1．下列命題中正確的是（）．

A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．三條邊相等的四邊形是菱形

C．四條邊相等的四邊形是菱形D．四個角相等的四邊形是菱形

參考答案C

2．下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）．

A．AC⊥BD，AC與BD互相平分B．AB=BC=CD=DA

C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD

參考答案C

3．邊長為5cm的平行四邊形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，則這個平行四邊形為__________形，其面積為___________．

參考答案菱；24cm2

4．如圖，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于點E，交AC于點F，則四邊形AEDF是菱形嗎？請說明理由．

參考答案

解：四邊形AEDF是菱形；理由如下：

∵EF垂直平分AD，

∴△AOF與△DOF關(guān)于直線EF成軸對稱．

∴∠ODF=∠OAF．

又∵AD平分∠BAC，即∠OAF=∠OAE，

∴∠ODF=∠OAE．∴AE∥DF．

同理可得DE∥AF．

∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴EO=OF．

又∵□AEDF的對角線AD，EF互相垂直平分，

∴□AEDF是菱形．

5．已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F(xiàn)．

求證：四邊形AECF是菱形．

師生活動：老師先找?guī)酌麑W(xué)生板演，然后分析出現(xiàn)的問題，最后師生共同寫出規(guī)范的解題過程．

證明：在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO．

在△AOE和△COF中，∵∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE=CF．

∵AE∥CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

設(shè)計意圖：學(xué)生通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解了菱形的判定定理，對前面所學(xué)知識進(jìn)行了更加深入地認(rèn)識，同時提高了學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)了學(xué)生的主動探索能力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

六、課堂小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了菱形的判定方法和菱形面積的一種特殊計算方法，下面我們一起回顧一下．

1．菱形的判定方法：

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

（3）判定定理2：四條邊相等的四邊形是菱形．

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、