考點22空間幾何平行問題【思維導圖】【常見考法】考法一平行傳遞性證線線平行1．四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面,證明：直線平面;【答案】見解析【解析】在平面內(nèi)，因為,所以又平面平面故平面考法二三角形中位線證線線平行1．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側棱PA的中點，求證：PC//平面BDE；【答案】見解析【解析】證明:連結,交于,連結.因為是平行四邊形,所以.因為為側棱的中點所以∥.因為平面,平面所以∥平面.2．四棱錐中，底面為矩形，，為的中點，證明：；【答案】見解析【解析】連結BD交AC于點O,連結EO因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點又E為的PD的中點，所以EO//PBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB//平面AEC考法三構造平行四邊形證線線平行1．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點，求證：EF∥平面PCD.【答案】詳見解析【解析】如圖，取中點，連接.∵分別為和的中點，∴，且.∵四邊形為平行四邊形，且為的中點，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.2．如圖，在直四棱柱中，底面為梯形，，，，，，點在線段上，，，證明：平面【答案】證明見解析【解析】證明：連接，因為底面為梯形，，，，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以平面.考法四線面垂直的性質證線線平行1．如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，，證明：直線平面；【答案】見解析【解析】證明：取中點，連接，是正三角形，∵平面平面，平面，平面，∴，又面，面，面.2如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求證：平面ABCD證明：如圖，過點作于，連接，∴．如圖D∵平面⊥平面，平面，平面平面，∴⊥平面，又∵⊥平面，，∴，.∴四邊形為平行四邊形．∴.∵平面，平面，∴平面．考法五三角形相似比證線線平行1．如圖，在四棱錐中，，，，，E為側棱PA上一點，若，求證：平面EBD【答案】證明見解析【解析】設，連結EG，由已知，，，得.由，得.在中，由，得.因為平面EBD，平面EBD，所以平面EBD.2．如圖，在三棱柱中，側面是菱形，，是棱的中點，，在線段上，且.證明：面【答案】詳見解析【解析】連接交于點，連接．因為，所以，又因為，所以，所以，又面，面，所以面.考法六線面平行性質證明線線平行1．如圖，為平行四邊形所在平面外一點，為上一點，且，為上一點，當平面時，.【答案】【解析】連接交于點，連接．平面，平面，平面平面，，，2．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點，在上取一點，過點和作平面，交平面于，點在線段上.求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，連接，設交于點，連接．∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點又是的中點，∴.又平面，平面BDM，∴平面又平面，平面平面，∴．3．如圖所示，在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點，過的平面交于.證明：.【答案】見解析【解析】證明：且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面平面，又因為平面平面，平面，；考法七面面平行的性質證線面平行1．如圖①所示，在直角梯形中，，，為的中點，分別為的中點，將沿折起，得到四棱錐，如圖②所示.求證：在四棱錐中，平面.【答案】見解析【解析】∵G為BC的中點，E為PC的中點，∴GE∥BP∵GE?平面PAB，BP?平面PAB，∴GE∥平面PAB，由F為PD的中點，得EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩GE＝E∴平面EFG∥平面PAB，∵PA?平面PAB，∴AP∥平面EFG．2如圖，三棱錐中，是的中點，是的中點，點在上且，證明：平面；證明：如圖，取AD中點G，連接GE，GF，如圖C則GE//AC，GF//AB，因為GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，所以EF//平面ABC考法八：面面平行1．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點，，分別在，，上（不與端點重合），且.求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】證明.平面平面，平面.∵底面為平行四邊形，.平面平面，平面.又，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，所以面平面2．如圖所示，在三棱柱中，分別是的中點，求證：（1）四點共面；（2）平面平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)分別是的中點，是的中位線，則，又，四點共面．(2)分別為的中點，，平面平面，平面，又分別是的中點，，，四邊形是平行四邊形，，平面平面，平面，又，平面平面，考法九：動點問題1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為邊長為2的菱形，點F為棱PD的中點，在棱AB上是否存在一點E，使得AF∥面PCE，并說明理由；【答案】見解析；【解析】在棱AB上存在點E，使得AF∥面PCE，點E為棱AB的中點．理由如下：取PC的中點Q，連結EQ、FQ，由題意，F(xiàn)Q∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四邊形AEQF為平行四邊形．所以，AF∥EQ，又EQ?平面PEC，AF?平面PEC，所以，AF∥平面PEC．2．如圖，在三棱柱中，點分別是棱上的點，點是