2022-2023學(xué)年上海嘉定區(qū)婁塘中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列四個(gè)命題中的真命題是()A．x∈N，x2≥1

B．x∈R，x2＋3<0C．x∈Q，x2＝3

D．x∈Z，使x5<1參考答案：D略2.復(fù)數(shù)z=2-3i對應(yīng)的點(diǎn)z在復(fù)平面的A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D略3.若，R，且，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B．

C．

D．參考答案：D略4.將一顆骰子連續(xù)拋擲2次，則向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A5.設(shè)，則“”是“”的(

)A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A6.（2016?安徽二模）從自然數(shù)1～5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于3的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再用列舉法求出這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于3包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于3的概率．【解答】解：從自然數(shù)1～5中任取3個(gè)不同的數(shù)，基本事件總數(shù)n=，這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于3包含的基本事件有：（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共有m=4個(gè)，∴這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)大于3的概率p=．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．7.已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為A.+=1

B.+=1C.+=1

D.+=1

參考答案：解析：設(shè)圓的圓心為（a，b），則依題意，有，解得：，對稱圓的半徑不變，為1，故選B。8.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，則（

）A.或 B.或 C. D.參考答案：D【分析】先求集合，再由補(bǔ)集運(yùn)算即可得.【詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，即，?故選：D9.等比數(shù)列{an}中，，則與的等比中項(xiàng)是（

）A.±4 B.4 C. D.參考答案：A【分析】利用等比數(shù)列{an}的性質(zhì)可得，即可得出．【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是x．

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．

∴a4與a8的等比中項(xiàng)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上，若,則（

）

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有編號分別為1，2，3，4，5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號互不相同的概率為_______________參考答案：略12.已知，，，….類比這些等式，若（均為正實(shí)數(shù)），則=

．參考答案：4113.若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為則直線的斜率的取值區(qū)間為

．參考答案：14.已知a∈R，若在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為．參考答案：a＞0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=（x+）ex，∴f′（x）=（）ex，設(shè)h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，∵h(yuǎn)（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0為函數(shù)f（x）在（0，1）上唯一的極小值點(diǎn)；a=0時(shí)，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，此時(shí)h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值；a＜0時(shí)，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值．綜上所述，a＞0，故答案為：a＞0．15.袋中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，如果不放回依次抽取兩次，記A={第一次抽到紅球}B={第二次抽到紅球}求=

參考答案：16.兩條平行直線與間的距離是

▲

．參考答案：17.某四面體的三視圖如圖所示，則此四面體的四個(gè)面中面積最大的面的面積等于．參考答案：

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知畫出幾何體的直觀圖，分析出四個(gè)面中的最大值，求出面積可得答案．【解答】解：由三視圖知該幾何體為棱錐S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；幾何體的直觀圖如下所示：四面體S﹣ABD的四個(gè)面中SBD面的面積最大，三角形SBD是邊長為的等邊三角形，所以此四面體的四個(gè)面中面積最大的為．故答案為：【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，()；.（Ⅰ）若在定義域上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對，總，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))（Ⅲ）對，證明：

參考答案：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，要在定義域內(nèi)有極值，則有兩不等正根，…(4分)（Ⅱ），要對，總，使得則只需，由得函數(shù)在，所以函數(shù)在處有最大值； ……(6分);又在，故故有

……(9分)（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，恒成立，故在定義域上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即…………(12分)所以對，總有，故有19.如圖所示的幾何體中，，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E為棱A1D中點(diǎn)，平面ABE分別與棱C1D、C1C交于點(diǎn)F、G.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面ABE；（Ⅲ）求CG的長.參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）2.【分析】（1）利用線面平行判定定理證得平面，再利用線面平行性質(zhì)定理證得；（2）證明直線平面，即證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，求得?！驹斀狻浚?）證明：因?yàn)闉檎叫?，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所?

（2）證明：因?yàn)槠矫?，所?

因?yàn)槭钦叫?，所以，又，所以平面，所?

因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)，且，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）如圖所示，以分別軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，則因?yàn)?，設(shè)，且，則，由（2）可知平面，平面，所以，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、線面平行性質(zhì)定理、面面垂直判定定理、空間向量求線段長等，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。20.已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點(diǎn)E在棱PD上，且BE⊥PD．（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角的大??；（Ⅱ）求證：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由于直線PA與CD不在同一平面內(nèi)，要把兩條異面直線移到同一平面內(nèi)，做AF∥CD，異面直線PA與CD所成的角與AF與PA所成的角相等．（Ⅱ）證明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，結(jié)合BE⊥PD即可得證．（Ⅲ）連接AF，交BD于點(diǎn)O，則AO⊥BD．過點(diǎn)O作OH⊥PD于點(diǎn)H，連接AH，則AH⊥PD，則∠AHO為二面角A﹣PD﹣B的平面角．【解答】（Ⅰ）解：取BC中點(diǎn)F，連接AF，則CF=AD，且CF∥AD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其補(bǔ)角）為異面直線PA與CD所成的角∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=．∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°即異面直線PA與CD所成的角等于60°．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE∵CD∩PD=D，BE⊥PD∴BE⊥平面PCD；（Ⅲ）解：連接AF，交BD于點(diǎn)O，則AO⊥BD、∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、過點(diǎn)O作OH⊥PD于點(diǎn)H，連接AH，則AH⊥PD、∴∠AHO為二面角A﹣PD﹣B的平面角．在Rt△ABD中，AO=．在Rt△PAD中，AH==．在Rt△AOH中，sin∠AHO==．∴∠AHO=60°．即二面角A﹣PD﹣B的大小為60°．【點(diǎn)評】此題主要考查異面直線的角度、二面角的平面角的計(jì)算，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）（理）已知的內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，，.（Ⅰ）若//，求證：為等腰三角形；（Ⅱ）若⊥，邊長，，求的面積.參考答案：（Ⅰ）//，asinA=bsinB,

由正弦定理得：

即a=b,則為等腰三角形；（Ⅱ）⊥

a(b-2)+b(a-2)=0,

即得a+b