第八章整式的乘法1.經(jīng)歷探索冪的運算性質(zhì)和整式乘法法則的認知過程,理解并掌握冪的運算性質(zhì)和整式乘法的法則,能夠運用它們進行相關(guān)計算,提高學生的運算能力.2.了解零次冪和負整數(shù)次冪的意義,會對一些較大的數(shù)或較小的數(shù)用科學記數(shù)法表示.3.體會冪的運算性質(zhì)、整式的乘法和數(shù)的運算的關(guān)系,進一步發(fā)展符號意識.4.通過對冪的運算性質(zhì)和整式乘法法則的歸納概括過程,發(fā)展學生的歸納和推理能力.讓學生主動參與到一些探索過程中來,逐步形成獨立思考、主動探索的習慣,培養(yǎng)思維的嚴密性和初步解決問題的愿望與能力.完整地體現(xiàn)“由特殊到一般”的歸納概括過程,以發(fā)展學生的推理能力和創(chuàng)新意識.本章內(nèi)容是有理數(shù)運算和整式加減運算的自然延伸,它不僅是代數(shù)式的基本內(nèi)容,而且也是后續(xù)學習的必備基礎(chǔ).本章包括冪的運算性質(zhì)、整式乘法和乘法公式(平方差公式和完全平方公式).冪的運算性質(zhì)是整式乘法的基礎(chǔ),而乘法公式則是兩個特殊整式相乘.本章內(nèi)容在設(shè)計上注重了“三個突出”:(1)突出了歸納概括的過程.本教材將冪的運算性質(zhì)的獲得都設(shè)計為“一起探究”活動.其過程一般為在提出問題后,由具體實例的計算,發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,經(jīng)過歸納概括獲得猜想,再根據(jù)乘方的意義證明猜想.(2)突出了知識形成過程中的“轉(zhuǎn)化”思想.整式乘法運算法則的探究是類比數(shù)的運算逐步轉(zhuǎn)化來完成的.(3)突出了乘法公式的“由特殊到一般”的過程.乘法公式實際上是兩個特殊整式相乘而得出的特殊結(jié)果,但又在應用上具有一般性,即公式中的“a”和“b”可以是一個數(shù)或字母,也可以是一個整式(實際上不限于整式).【重點】1.熟練運用冪的運算法則、整式乘法進行運算.2.靈活運用整式乘法公式進行運算,綜合運用整式運算的知識解決問題.【難點】1.整式乘除法公式的靈活應用.2.逆用冪的運算性質(zhì)解決問題.1.在整式的乘除法教學中一定要通過實際情境讓學生體會學習整式乘除法的必要性,鼓勵學生運用乘法交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪的運算性質(zhì)等知識探索單項式乘單項式的運算法則,鼓勵學生運用乘法分配律、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)說明單項式乘多項式以及多項式乘多項式運算結(jié)果的合理性.2.教學中還要重視學生對算理的理解,使學生體會重要的數(shù)學思想方法——轉(zhuǎn)化,而不必要求學生會背誦法則.乘法公式應用非常廣泛,一方面可以簡化計算,另一方面也是以后學習因式分解等內(nèi)容的重要基礎(chǔ).乘法公式也是本章的重點之一,教學時要注意引導學生仔細觀察,分析公式的結(jié)構(gòu)特征,掌握公式的實質(zhì),讓學生在欣賞數(shù)學結(jié)構(gòu)美的同時,體會數(shù)學公式的優(yōu)越性.3.讓學生感悟基本數(shù)學思想.在本章知識的形成與應用過程中,抽象、推理(歸納和演繹)、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類、模型等數(shù)學思想體現(xiàn)得相當充分.教師要在新知識的學習和“回顧與反思”中抓住時機,進行提煉、總結(jié)和概括,使學生自己能夠有所感悟、理解.8.1同底數(shù)冪的乘法1課時8.2冪的乘方與積的乘方2課時8.3同底數(shù)冪的除法1課時8.4整式的乘法3課時8.5乘法公式2課時8.6科學記數(shù)法1課時回顧與反思1課時8.1同底數(shù)冪的乘法1.經(jīng)歷同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的獲得過程,在計算、歸納和概括的活動中,體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣,感悟歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的價值.2.掌握同底數(shù)冪乘法運算的性質(zhì),能進行同底數(shù)冪乘法的有關(guān)計算,發(fā)展學生的運算能力.1.在進一步體會冪的意義時,發(fā)展推理能力和有條理的表達能力.2.通過“同底數(shù)冪的乘法法則”的推導和應用,使學生初步理解由特殊到一般,由一般到特殊的認知規(guī)律.體會科學的思想方法,激發(fā)學生探索創(chuàng)新的精神.【重點】正確理解同底數(shù)冪的乘法法則.【難點】正確理解和應用同底數(shù)冪的乘法法則.【教師準備】PPT課件.【學生準備】預習教材P68~69.導入一:計算機存儲容量的基本單位是字節(jié),用B表示.一般用kB(千字節(jié))、MB(兆字節(jié))或GB(吉字節(jié))作為儲存容量的計量單位,它們之間的關(guān)系為:1kB=210B,1MB=210kB,1GB=210MB.那么,1MB等于多少字節(jié)呢?[設(shè)計意圖]通過教材中的這個生活實例,幫助學生認識引入同底數(shù)冪計算的必要性.導入二:北京奧運會的很多建筑都做了節(jié)能設(shè)計,據(jù)統(tǒng)計:奧運場館一平方千米的土地上,一年內(nèi)從太陽得到的能量相當于燃燒108千克煤所產(chǎn)生的能量.那么105平方千米的土地上,一年內(nèi)從太陽得到的能量相當于燃燒多少千克煤?你們能列式嗎?108×105到底等于多少呢?像這樣的問題,就是我們要學習的同底數(shù)冪的乘法.(揭示課題)[設(shè)計意圖]通過生活實例的計算入手,直接引入本課的學習內(nèi)容,可以增強學生在生活中學習數(shù)學的意識.[過渡語]在生活或數(shù)學學習中,經(jīng)常會遇到同底數(shù)冪相乘的問題.這一節(jié)我們就來研究同底數(shù)冪相乘的運算性質(zhì).活動1探究同底數(shù)冪的乘法法則思路一1.回顧乘方的意義an表示n個a相乘,我們把這種運算叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪,a叫做底數(shù),n是指數(shù).2.用冪表示下列各式的結(jié)果(1)24×23=;

(2)210×210=;

(3)124×12(4)a2·a3=.

結(jié)果提示:(1)27;(2)220;(3)126;(4)a3.規(guī)律初探通過上面的計算,關(guān)于兩個同底數(shù)冪相乘的結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?(提示:同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.)4.法則總結(jié)若m,n是正整數(shù),根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,用冪的形式表示am·an.一般地,對于正整數(shù)m,n,有:am·an=(a·a·…·a)m個am·an=am+n(m,n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.利用這個性質(zhì)可以直接進行同底數(shù)冪的乘法運算.思路二問題1猜想下列各式的結(jié)果分別是多少.(1)102×103;(2)a2×a3;(3)10m×10n(m,n都是正整數(shù)).同學們猜想一下,它們的運算結(jié)果各是什么?【處理方式】讓同學各抒己見,發(fā)表不同看法.【猜想1】(1)的結(jié)果是105,(2)的結(jié)果是a5,(3)的結(jié)果是10m+n.【猜想2】(1)的結(jié)果是106,(2)的結(jié)果是a6,(3)的結(jié)果是10mn.[設(shè)計意圖]在法則的推導過程中,采用了讓學生猜想的方式,引起學生的爭議,激起了學生進一步探求的欲望,培養(yǎng)學生大膽猜想的數(shù)學品質(zhì).問題2驗證猜想,獲取正確的結(jié)論.【處理方式】聽取學生意見后老師總結(jié).猜想1的結(jié)論是正確的.因為102表示兩個10相乘,103表示三個10相乘,那么102×103就表示五個10相乘,所以結(jié)果應該是105;a2表示兩個a相乘,a3表示三個a相乘,a2×a3就表示5個a相乘,結(jié)果為105;10m表示m個10相乘,10n表示n個10相乘,10m×10n就表示m+n個10相乘,結(jié)果為10m+n.教師利用多媒體展示學生的推理過程:102×103=(10×10)×(10×10×10)=10×10×10×10×10=105.a2×a3=(a·a)·(a·a·a)=a·a·a·a·a=a5;10m×10n=(10×10×…×10)m個10問題3推導同底數(shù)冪的乘法法則.提出問題:根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)試計算(m,n都是正整數(shù)).(1)2m×2n=;

(2)17m×17(3)(-3)m×(-3)n=;

(4)a4×a5=.

【分析】以上四個算式有以下兩個特點:每個算式的底數(shù)都相同;每個算式的指數(shù)都是正整數(shù).通過這四個算式,把底數(shù)和指數(shù)都抽象到用字母去表示.【問題】同學們觀察上面的這幾個算式,能得出什么結(jié)論?【總結(jié)】通過學生分組討論,得出結(jié)論:兩個同底數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.底數(shù)和指數(shù)都變成一般的字母時,即一般地,對于正整數(shù)m,n,有am·an=(a·a·…·a)m個a·am·an=am+n(m,n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.[設(shè)計意圖]探求新知的過程讓學生充分發(fā)揮個人的主體作用獨立思考,使學生初步理解“特殊—一般”的認知規(guī)律,體會科學的思想方法,接受數(shù)學文化的熏陶,激發(fā)學生的探索創(chuàng)新精神和欲望.學生通過相互之間的合作,歸納出法則,發(fā)展學生合作交流能力、推理能力和有條理的表達能力.[知識拓展]三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘的運算.am·an·ap=(a·a·…·a)m個a·(a·或am·an·ap=(am·an)ap=am+n·ap=am+n+p.(m,n,p都是正整數(shù))活動2例題講解把下列各式表示成冪的形式.(1)26×23;(2)a2·a4;(3)xm·xm+1; (4)a·a2·a3.解:(1)26×23=26+3=29.(2)a2·a4=a2+4=a6.(3)xm·xm+1=xm+(m+1)=x2m+1.(4)a·a2·a3=a1+2+3=a6.【追問】三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘,冪的運算性質(zhì)仍然適用嗎?(三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘,冪的運算性質(zhì)仍然適用.)太陽系的形狀像一個以太陽為中心的大圓盤,光通過這個圓盤半徑的時間約為2×104s,光的速度約為3×105km/s.求太陽系的直徑.解:2×3×105×2×104=12×109(km).答:太陽系的直徑約為12×109km.[知識拓展]三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘的運算規(guī)則如下:am·an·ap=(a·a·…·=(=am+n+p或am·an·ap=(am·an)ap=am+n·ap=am+n+p.(m,n,p都是正整數(shù))(1)同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.當含有符號時,要先進行符號運算.(2)理解法則時一定要注意前提條件是冪的底數(shù)要相同,是乘法運算而不是加法運算.(3)運算法則中的m,n都是正整數(shù).(4)運算法則可以推廣到多個同底數(shù)冪的乘法運算.am·an·ap=(am·an)ap=am+n·ap=am+n+p.1.下列各式中計算過程正確的是 ()A.x3+x3=x3+3=x6B.x3·x3=2x3=x6C.x·x3·x5=x8D.x2·(-x)3=-x2+3=-x5解析:x3+x3=2x3,A錯;x3·x3≠2x3,B錯;x·x3·x5=x9,C錯;只有D選項是正確的.故選D.2.若am=3,an=4,則am+n等于 解析:am+n=am·an=3×4=12.3.計算:a·a2=.

解析:根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則,底數(shù)不變,指數(shù)相加,得a3.故填a3.4.計算.(1)(-x)2·(-x)3;(2)(b-a)3·(a-b)5.解:(1)原式=(-x)2+3=(-x)5=-x5.(2)原式=-(a-b)3·(a-b)5=-(a-b)8.8.1同底數(shù)冪的乘法活動1探究同底數(shù)冪的乘法法則活動2例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第70頁習題A組的第1,2題.【選做題】教材第70頁習題B組的第3題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.a16不可以寫成 ()A.a8+a8 B.a10·a6C.a8·a8 D.a4·a4·a4·a42.化簡(-a)·a·(-a)2的結(jié)果是 ()A.0 B.a2 C.a4 D.-a43.如果am-3·an=a2,那么n等于 A.5-m B.4-mC.m-1 D.m+34.計算x2·x5=.

5.計算.(1)x3·x+x·x2·x.(2)(x-y)2·(y-x)3·(x-y)5.【能力提升】6.a5·(-a3)-(-a)4·a4等于 () B.-2a8C.-a16 D.-2a167.當m,n為自然數(shù),且m≠n時,(x-y)m(y-x)n等于 ()A.(x-y)m-n B.-(x-y)m+nC.(-1)n+1(x-y)m+n D.(-1)n(x-y)m+n8.若xn-3·xn+3=x10,則n=.

9.若32a+3·3b-2=310,則210.化簡2x2·x-x·(-x)2+(-x2)·x2+16,并求出當x為最小質(zhì)數(shù)時,該式的值.11.據(jù)生物學統(tǒng)計,一個健康的成年女子體內(nèi)的血量一般不低于4×103毫升,每毫升血中紅細胞的數(shù)量約為4.2×106個,則一個健康的成年女子體內(nèi)的紅細胞一般不低于多少個?【拓展探究】12.(1)已知xm=3,xn=5,求x2(2)已知xm=3,xm+n=15,求13.(1)已知2x=3,2y=4,2z=12,求x,y,z之間的關(guān)系;(2)若mp=15,mq=7,mr=-57,求mp+q+r【答案與解析】1.A(解析:應用同底數(shù)冪的逆運算判斷.a16=a10·a6=a8·a8=a4·a4·a4·a4≠a8+a8.)2.D(解析:(-a)·a·(-a)2=(-a)·a·a2=-a4.)3.A(解析:am-3·an=am-3+n=a2,所以m+n-3=2,n=5-m.)4.x7(解析:x2·x5=x2+5=x7.)5.解:(1)x3·x+x·x2·x=x4+x4=2x4.(2)(x-y)2·(y-x)3·(x-y)5=(x-y)2·[-(x-y)3]·(x-y)5=-(x-y)10.6.B(解析:a5·(-a3)-(-a)4·a4=-a8-a8=-2a8.)7.D(解析:當n為奇數(shù)時,(x-y)m·(y-x)n=(x-y)m·[-(x-y)n]=-(x-y)m+n;當n為偶數(shù)時,(x-y)m·(y-x)n=(x-y)m·(x-y)n=(x-y)m+n,所以(x-y)m·(y-x)n=(-1)n(x-y)m+n.)8.5(解析:xn-3·xn+3=x2n=x10,所以2n=10,n=5.)9.9(解析:32a+3·3b-2=32a+b+1=310,所以2a+b+1=10,所以2a+b=9.)10.解:2x2·x-x(-x)2+(-x2)·x2+16=2x3-x3-x4+16=-x4+x3+16.當x=2時,原式=-24+23+16=8.11.解:4×103×4.2×106=16.8×109(個).答:一個健康的成年女子體內(nèi)的紅細胞一般不低于16.8×109個.12.解:(1)因為xm=3,xn=5,所以x2m+n=xm·xm·xn=3×3×5=45.(2)因為xm+n=xm·xn=15,把xm=3代入得3·xn=15,所以xn=5.13.解:(1)因為2x=3,2y=4,2z=12,所以2x·2y=2z,所以2x+y=2z,所以x+y=z.(2)因為mp+q+r=mp·mq·mr,又mp=15,mq=7,mr=-57,所以mp+q+r=mp·mq·mr=15×7×在教學中教師通過實際問題創(chuàng)設(shè)情境,導入新課,激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣,通過學生的自主探索,讓學生經(jīng)歷觀察——類比——抽象——概括等過程,歸納出同底數(shù)冪的乘法法則,提高了學生的自主意識和自我解題的能力.在歸納出同底數(shù)冪的乘法法則之后,教師通過例1、例2的學習,讓學生加深了對同底數(shù)冪的乘法法則的理解.整個過程學生對知識的接受和理解較好,突出了學生的主體地位和教師的主導作用,學生學得開心,知識掌握較好.對于法則的概括以及延伸沒有讓學生盡量地發(fā)揮小組合作的能力,發(fā)現(xiàn)計算方法,從而總結(jié)出規(guī)律.教學過程能讓學生獨立完成的問題,有教師包辦代替的現(xiàn)象.因為本節(jié)課的內(nèi)容較簡單,所以在習題的設(shè)計上,教師可增加些難度,讓學生通過變式訓練,使學生的能力得到進一步的提高.對于法則的概括和理解要盡量讓學生自己去獨立完善,教師要少說,多講評.練習(教材第69頁)1.提示:(1)正確.(2)錯誤,應為b·b=b2.(3)錯誤,應為a·a3=a4.(4)錯誤,應為a3·a4=a7.2.提示:(1)109.(2)146.(3)-27.(4)b11.3.(1)24(2)35習題(教材第70頁)A組1.提示:(1)1011.(2)211.(3)235.(4)159.(5)-37.(6)76.2.提示:(1)x12.(2)-d4.(3)am+n+1.(4)a9.3.提示:(1)a2n+3.(2)x3m+3.4.解:5.98×1024×(3.3×105)=1.9734×1030(kg).答:太陽的質(zhì)量約為1.9734×1030kg.B組1.提示:(1)(a+b)5.(2)-(x-y)7.2.提示:(1)2x6.(2)0.3.解:(1)2n+1-2n=2n×2-2n=2n×(2-1)=2n.(2)4×5n-5n+1=4×5n-5n×5=5n×(4-5)=-5n.同底數(shù)冪相乘的幾點注意.(1)冪可以看做是代數(shù)式中的一類,是形如an的代數(shù)式.目前,在我們研究的這類式子中,可以是任何有理數(shù),也可以是整式,而an中的n只能是整數(shù).(2)35與155不是同底數(shù)冪,因為它們的底數(shù)一個是3,一個是15,是不一樣的,這說明兩個冪是不是同底數(shù)冪,與它們的指數(shù)是否相同毫無關(guān)系.(3)53與515是同底數(shù)冪,因為它們的底數(shù)相同(都是5).同理,x3與x5,(a+b)2與(a+b)5也都是同底數(shù)冪.同底數(shù)冪的乘法法則的關(guān)鍵在于底數(shù),底數(shù)一定要相同,并且二者是相乘關(guān)系,這樣指數(shù)才能相加,否則不能運用此法則.同底數(shù)冪的乘法法則的逆用:同底數(shù)冪的乘法法則用字母表示為am·an=am+n,將公式倒過來就是am+n=am·an,在解決有關(guān)問題時,公式的逆用會起到事半功倍的效果.已知am=4,an=3,求下列各式的值.(1)am+n;(2)a3m+n.〔解析〕同底數(shù)冪的乘法法則是可以逆用的,也可以把am+n=am·an當成公式用.解:(1)am+n=am·an=3×4=12.(2)a3m+n=am·am·am·an=4×4×4×3=192.8.2冪的乘方與積的乘方1.經(jīng)歷積的乘方和冪的乘方運算性質(zhì)的獲得過程,在計算、歸納和概括的活動中,發(fā)展學生歸納推理能力.2.掌握積的乘方和冪的乘方運算性質(zhì),能進行積的乘方和冪的乘方的有關(guān)計算,提高學生的運算能力.1.在探索性質(zhì)的過程中讓學生經(jīng)歷觀察、猜想、創(chuàng)新、交流、驗證、歸納總結(jié)的思維過程.2.在推理和運用的過程中,讓學生理解由“特殊到一般,再到特殊”的思維方法和數(shù)學思想.1.在探索和訓練的過程中,培養(yǎng)學生細心嚴謹?shù)膶W習態(tài)度,積極進取的探索精神,團結(jié)協(xié)作的良好品質(zhì).2.引導學生自主探索,體驗成功的快樂,增強對數(shù)學學習的興趣,在輕松、和諧、有序的教學氛圍中,培養(yǎng)學生健全的個性.【重點】冪的乘方、積的乘方的算理.【難點】冪的乘方、積的乘方的靈活應用.第課時學習冪的乘方的運算性質(zhì),進一步體會冪的意義,并能解決實際問題.經(jīng)歷探索冪的乘方運算性質(zhì)的過程,發(fā)展推理能力和有條理的表達能力,提高解決問題的能力.體會學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)學習數(shù)學的信心,感受數(shù)學的內(nèi)在美.【重點】冪的乘方性質(zhì)的推導及冪的乘方的應用.【難點】冪的乘方性質(zhì)的逆運用.【教師準備】課堂中的提問問題設(shè)計.【學生準備】預習教材P71~72.導入一:(1)有甲乙兩個球,如果甲球的半徑是乙球半徑的n倍,那么甲球的體積是乙球體積的多少倍?(學生口答)n3倍.(2)引導學生計算.(102)3=,怎樣計算?

(102)3=106.方法一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.[設(shè)計意圖]在獨立思考的基礎(chǔ)上,組織學生交流、討論,培養(yǎng)學生思維的嚴密性,讓學生體驗在交流中獲益的樂趣.并在此過程中,引導學生主動反思,回顧解決問題的方法,為進入新課做準備.導入二:填空.(1)(23)2=23×23=2();(2)(72)3=72×()×()=7();(3)(a3)2=a3×()=a().【處理方式】同學們仔細觀察結(jié)果中冪的指數(shù)與原式中冪的指數(shù)及乘方的指數(shù),想一想它們之間有什么關(guān)系,結(jié)果中的底數(shù)與原式的底數(shù)之間有什么關(guān)系.[過渡語]如果幾個同底數(shù)冪的指數(shù)都相同,那么同底數(shù)冪相乘的結(jié)果可以用冪的乘方表示.活動1探究冪的乘方法則思路11.依據(jù)同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)計算:210×210×210=.(210+10+10=230)

根據(jù)乘方的意義210×210×210可以表示為.((210)3=2由此,能得到什么結(jié)論?(相同底數(shù)和指數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加)2.(102)3表示3個102相乘,(a3)4表示4個a3相乘,(觀察上面各式中冪指數(shù)之間的關(guān)系,猜想:若m,n是正整數(shù),則(am)n=.事實上,根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪乘法的性質(zhì),對于正整數(shù)m,n,有:(am)n=am·(am)n=amn(m,冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.運用這個性質(zhì)可以直接進行冪的乘方運算.思路21.你知道(102)3等于多少嗎?【學生展示】計算過程:(102)3=102×102=102+2+2②=106=102×3第①步和第②步推出的理由是什么呢?【點撥】第①步的理由是利用了乘方的含義,(102)3表示3個102相乘;第②步的理由是利用了我們剛學過的同底數(shù)冪的乘法:底數(shù)不變,指數(shù)相加.觀察上面的運算過程,底數(shù)和指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化?【點撥】結(jié)果的指數(shù)剛好是原式中兩個指數(shù)的積,而運算前后底數(shù)沒變.2.做一做:計算下列各式并說明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.【處理方式】通過觀察不難發(fā)現(xiàn),上面的4個小題都是冪的乘方的運算,下面我們就請四位同學到黑板上板演,其余的同學觀察他們做的有無錯誤.【師生活動】展示解答過程:(1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3.(3)(am)2=am·am=am+m=a2(4)(am)n=a=a=amn.[知識拓展]由上面的“做一做”我們推出了冪的乘方的運算性質(zhì),即:(am)n=amn(m,n都是正整數(shù)).用語言表述為:冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.思路31.x3表示什么意義?2.如果把x換成a4,那么(a4)3表示什么意義?3.怎樣把a2·a2·a2·a2=a2+2+2+2寫成比較簡單的形式?4.由此你會計算(a4)5嗎?5.根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法填空.(1)(53)2=53×53=5();(2)(52)3=()×()×()=5();(3)(a3)5=a3×()×()×()×()=a().6.用同樣的方法計算:(a3)4;(a11)9;(b3)n(n為正整數(shù)).這幾道題學生都不難做出,在處理這類問題時,關(guān)鍵是如何得出3+3+3+3=12,教師應多舉幾例.(a11)9=(a11·a11·…·(b3)n=(b3·b3·…·b教師應指出這樣處理既麻煩,又容易出錯,此時應讓學生思考,有沒有簡捷的方法?引導學生認真思考,并得到:(23)2=23×2=26;(32)3=32×3=36;(a11)9=a11×9=a99;(b3)n=b3×n=b3n.觀察結(jié)果中冪的指數(shù)與原式中冪的指數(shù)及乘方的指數(shù),猜想它們之間有什么關(guān)系,結(jié)果中的底數(shù)與原式的底數(shù)之間有什么關(guān)系.怎樣說明你的猜想是正確的?(am)n=(am·=am+m=amn(乘法定義),即(am)n=amn(m,n是正整數(shù)).這就是冪的乘方法則.你能用語言敘述這個法則嗎?冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.[設(shè)計意圖]通過層層導入與滲透,讓學生通過類比總結(jié)出冪的乘方的計算法則,整個過程由淺入深,體現(xiàn)了循序漸進的原則.活動2例題講解計算.(1)(103)4;(2)(c解:(1)(103)4=10(2)(c2)3=c2×3(3)(a4)m=a4×m=計算.(1)x·(x(2)a·a2·a3-(a解:(1)x·(x2)3=x·x2×3=x·x6(2)a·a2·a3-(a2)3=a6-[知識拓展]1.冪的乘方的底數(shù)、指數(shù)可以是數(shù),可以是字母,也可以是單項式或多項式.2.冪的乘方法則與同底數(shù)冪的乘法法則區(qū)別在于一個是“指數(shù)相乘”,一個是“指數(shù)相加”.3.冪的乘方公式還可逆用:amn=(am)n=(an)m(am)n=amn(m,n都是正整數(shù)).冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.1.計算(a2)3的結(jié)果是 ()A.3a2 B.a5 C.a6 D.a3解析:根據(jù)冪的乘方的法則,(a2)3=a2×3=a6.故選C.2.下列計算:①(x5)2=x7;②(x5)2=x25;③x5·x2=x7;④x5·x2=x10;⑤x5+x2=2x5.其中錯誤的有 ()個 個 個 D.2個解析:(x5)2=x10,所以①②錯;x5·x2=x7,所以④錯;因為x5與x2不是同類項,所以不能合并,所以⑤錯.故選B.3.若(54)x=512,則x=.

解析:(54)x=54x=512,所以4x=12,所以x=3.故填3.4.計算.(1)-(xm)3;(2)(b3)4·b;(3)2(y6)2-(y4)3.解:(1)-(xm)3=-xm·3=-x3m.(2)(b3)4·b=b3×4·b=b12·b=b13.(3)2(y6)2-(y4)3=2y6×2-y4×3=2y12-y12=y12.第1課時活動1探究冪的乘方法則活動2例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第72頁習題A組的第1,2題.【選做題】教材第73頁習題B組的第2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列計算,正確的是 ()A.x2+x3=x5 B.x2·x3=x6C.(a2)3=a6 D.(-a2)3=a52.計算(a3)2·a3的結(jié)果是 ()A.a8 B.a9 C.a10 D.a113.計算:(a3)2=,(x2)m=.

4.若4x=2x+3,則x=.

5.計算.(1)(am)2;(2)[(-m)3]4;(3)(a3-m)2.【能力提升】6.計算(-x3)4+(-2x6)2的結(jié)果是 ()A.-3x12 B.x12+4x8C.5x12 D.3x127.已知24×45=22n,則n的值為 ()A.4 B.7 C.5.5 D.6.58.若(x2)m·x3=x9,則m=.

9.若10m=2,10n=3,則103m+2n=.

10.(1)若(9m+1)2=316,求正整數(shù)m的值;(2)若2·8n·16n=222,求正整數(shù)n的值.【拓展探究】11.已知a5n=3,求13a10n-19a15n12.試比較3555,4444,5333的大小.【答案與解析】1.C(解析:A不能合并,錯誤;B指數(shù)相加,為x2·x3=x5,錯誤;C指數(shù)相乘,應為(a2)3=a6,正確;D,(-a2)3=-a6,錯誤.)2.B(解析:(a3)2·a3=a6·a3=a9.)3.a6x2m(解析:(a3)2=a6,(x2)m=x2m.)4.3(解析:4x=22x=2x+3,2x=x+3,5.解:(1)(am)2=a2m.(2)[(-m)3]4=(-m)12=m12.(3)(a3-m)2=a2(3-m)=a6.C(解析:原式=x12+4x12=5x12.)7.B(解析:24×45=24×210=214=22n,所以2n=14,n=7.)8.3(解析:因為x2m·x3=x2m+3=x9,所以2m+3=9,所以m=39.72(解析:103m+2n=103m×102n=(10m)3×(10n)2=23×32=8×9=72.)10.解:(1)(9m+1)2=92m+2=(32)2m+2=34m+4=316,所以4m+4=16,解得m=3.(2)2·8n·16n=2·(23)n·(24)n=2·23n·24n=21+3n+4n=222,所以有1+3n+4n=22,解得n=3.11.解:因為a5n=3,所以13a10n-19a15n=13(a5n)2-1912.解:3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.因為256111>243111>125111,所以4444>3555>5333.學生在探索練習的指引下,自主完成有關(guān)的練習,并在練習中發(fā)現(xiàn)冪的乘方的法則,從猜測到探索到理解法則的實際意義,從而從本質(zhì)上認識、學習冪的乘方的來歷.鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)冪的乘方的性質(zhì)特點,如底數(shù)、指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化,并運用自己的語言進行描述,然后再讓學生回顧這一性質(zhì)的得來過程,進一步體會冪的意義.對于逆用冪的乘方法則,學生的理解有一定困難,需要老師進一步指導.課時教學中只是純計算類習題,沒有補充實際應用類的計算問題.以實際問題引入冪的乘方的運算,體會冪的乘方運算的必要性,根據(jù)冪的意義,同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì),引導學生探索冪的乘方的運算性質(zhì),并用它進行計算.練習(教材第72頁)1.提示:(1)不正確,應為a6.(2)不正確,應為a5.(3)不正確,應為2a3.(4)正確.2.提示:(1)76.(2)b12.(3)a8.(4)x4m+3.(5)m3n+1.(6)x7m.習題(教材第72頁)A組1.(1)9(2)12(3)8(4)152.提示:(1)58n.(2)75m.(3)98n.(4)2mn.(5)m3n.(6)y2n+3m.3.提示:(1)3a10.(2)2x7.B組1.提示:(1)(a+b)8.(2)(2x+y)6.2.提示:(1)m=4.(2)a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=42×83=8192.對冪的乘方一般規(guī)律的探索.在教學中,教師要注意引導學生對冪的乘方一般規(guī)律的探索和表達,在利用具體數(shù)進行試驗論證上多用點兒時間,讓學生習慣于對具體數(shù)的操作,教師可以通過提出“你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對任意一個數(shù)都成立嗎?”等問題加以引導,并重視同伴之間的相互啟發(fā),在運算過程中,體會冪的乘方.因此,教師在教學中應提供豐富有趣的問題,鼓勵學生通過獨立思考與討論發(fā)現(xiàn)關(guān)系,給學生留下充分探索和交流的空間,使學生經(jīng)歷從具體問題中抽象規(guī)律,用符號進行表示的過程.正確區(qū)分冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法法則的異同.運算名稱運算形式運算法則底數(shù)指數(shù)同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n不變相加冪的乘方(am)n=amn不變相乘第課時1.經(jīng)歷探索積的乘方的運算性質(zhì)的過程,發(fā)展推理能力和有條理的表達能力.2.了解積的運算性質(zhì),并能解決一些實際問題.1.體會數(shù)學的價值及在解決問題的過程中與他人合作的重要性.2.在探究過程中體會由特殊到一般的規(guī)律,積累解決數(shù)學問題的經(jīng)驗和方法.調(diào)動學生參與數(shù)學學習的積極性,培養(yǎng)學生對學習數(shù)學的良好的情感態(tài)度,主動參與、合作、交流的意識.【重點】理解并正確運用積的乘方的運算性質(zhì).【難點】積的乘方的運算性質(zhì)的探究過程及應用方法.【教師準備】預設(shè)學生理解積的乘方易錯的地方.【學生準備】復習同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方法則.導入一:地球可以近似地看做是球體,地球的半徑約為6×103km,它的體積大約是多少立方千米?(球的體積計算公式是V=43πr3【處理方式】共同列出算式V=43πr3=43π×(6×103)3.使學生發(fā)現(xiàn)(6×10[設(shè)計意圖]對于球體積的計算公式前面已經(jīng)接觸過,在實際的計算過程中,會遇到積的乘方的計算問題,使學生感受到探索和掌握新知識的必要性,同時也可感受到數(shù)學無處不在,它來源于生活,又服務于生活.激起學習興趣.導入二:師:提出問題:若已知一個正方體的棱長為1.1×103cm,你能計算出它的體積是多少嗎?預設(shè)生1:它的體積應是V=(1.1×103)3cm3.師:這個結(jié)果是冪的乘方形式嗎?生2:不是,底數(shù)是1.1與103的乘積,雖然103是冪,但總體來看,我認為應是積的乘方才有道理.師:積的乘方如何運算呢?能不能找到一個運算法則?用前兩節(jié)課的探究經(jīng)驗,請同學們自己探索,發(fā)現(xiàn)其中的奧妙.[設(shè)計意圖]通過對實際問題的設(shè)計,讓學生聯(lián)系以前學過的知識進行解答,體現(xiàn)了知識間的必然聯(lián)系,使學生產(chǎn)生了學習的興趣,為下面的學習做了鋪墊.[過渡語]計算46×0.256.小明認為46×0.256=(4×0.25)6,馬上得出結(jié)果為1.你認為他這樣計算有道理嗎?活動1探究積的乘方運算性質(zhì)思路一1.觀察下面的運算過程,指出每步運算的依據(jù).(3×7)2=(3×7)·(3×7)(乘方的定義)=(3×3)·(7×7)(乘法交換律和結(jié)合律)=32×72.(乘方的定義)2.按照上面的方法,完成下面的填空.(ab)2=;((ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2)

(ab)3=.((ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3)

3.公式推導.一般地,若n是正整數(shù),則有:(ab)n=(=(a·=anbn.(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).積的乘方,等于各因式乘方的積.注意:運用這個性質(zhì)可以直接進行積的乘方運算.追問:對三個或三個以上因式積的乘方,積的乘方的性質(zhì)是否也成立?思路二列出自學提綱,引導學生自主探究、討論、嘗試、歸納.1.填空,看看運算過程中用到哪些運算律,從運算結(jié)果看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a()b();(2)(ab)3==a()b();

(3)(ab)n==a()b()(n是正整數(shù)).

2.把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先用文字語言表述,再用符號語言表達.3.若已知一個正方體的棱長為1.1×103cm,你能計算出它的體積是多少嗎?學生探究的經(jīng)過:1.(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2,其中第①步是用乘方的意義;第②步是用乘法的交換律和結(jié)合律;第③步是用同底數(shù)冪的乘法法則.同樣的方法可以算出(2)(3)題.(2)(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3;(3)(ab)n=(=(=anbn.2.積的乘方的結(jié)果是把積的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘,也就是說積的乘方等于冪的乘積.用符號語言敘述便是:(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).3.正方體的體積V=(1.1×103)3,它不是最簡形式,根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可作如下運算:V=(1.1×103)3=1.13×(103)3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109(cm通過上述探究,我們可以發(fā)現(xiàn)積的乘方的運算法則:(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘.活動2例題講解(教材第74頁例3)計算.(1)(2x)2;(2)(3ab)3;(3)(-2b2)3; (5)(2a2)3+(-3解:(1)(2x)2=22·x2=4x2.(2)(3ab)3=33a3b3=27a3b3.(3)(-2b2)3=(-2)3(4)(-xy3)2=(-1)2·x2·(y(5)(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2·a2=23=8a6+9a6+a4·a2=8a6+9a6+a6=18a6.(教材第74頁例4)球體表面積的計算公式是S=4πr2.地球可以近似地看成一個球體,它的半徑r約為6.37×106m.地球的表面積大約是多少平方米?(π取3.14)解:S=4πr2=4×3.14×(6.37×106)2=4×3.14×6.372×1012≈5.10×1014(m2).答:地球的表面積大約是5.10×1014m2.[知識拓展](1)無論是應用積的乘方的性質(zhì),還是應用同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)或冪的乘方的性質(zhì),都要注意符號問題.(2)三個或三個以上因式的積的乘方也具有這一性質(zhì),即(abc)n=anbncn(n是正整數(shù)).(3)積的乘方法則可以進行逆運算,即:anbn=(ab)n(n是正整數(shù)),推導過程:anbn=(a·——冪的意義=(ab=(ab)n——乘方的意義.1.積的乘方運算法則:(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).積的乘方,等于每一個因數(shù)乘方的積.2.推廣:(abc)n=anbncn(n是正整數(shù)).3.積的乘方法則逆用:anbncn=(abc)n(n是正整數(shù)).1.計算(ab2)3的結(jié)果是 ()A.3ab2 B.ab6C.a3b6 D.a3b2解析:先利用積的乘方法則,再運用冪的乘方法則.(ab2)3=a3(b2)3=a3b6.故選C.2.下列運算正確的是 ()A.(x2)3+(x3)2=2x6B.(x2)3·(x2)3=2x12C.x4·(2x)2=2x6D.(2x)3·(-x)2=-8x5解析:A.原式=x6+x6=2x6,故A正確;B.原式=x6·x6=x12,故B錯誤;C.原式=x4·4x2=4x6,故C錯誤;D.原式=8x3·x2=8x5,故D錯誤.故選A.3.若x3=-8a6b9,則x=.

解析:因為x3=-8a6b9=(-2a2b3)3,所以x=-2a2b3.故填-2a2b3.4.計算.(1)-13a23;(2)(-5ab)2;(3)(解:(1)-13a23=-13(2)(-5ab)2=25a2b2.(3)(-xy)4=x4y4.第2課時活動1探究積的乘方運算性質(zhì)活動2例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第75頁習題A組的第1,2題.【選做題】教材第75頁習題B組的第2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.(-4x)2等于 ()A.-8x2 B.8x2C.-16x2 D.16x22.下列運算正確的是 ()A.a·a3=a3 B.(ab)3=ab3C.a3+a3=a6 D.(a3)2=a63.計算a2·(a2b2)2的結(jié)果是 ()A.a4b4 B.a6b4 C.a8b4 D.a6b24.計算(3a)2·a5=,9a6·b2=()2.

5.計算.(1)a·a5+(2a3)2+(-2a2)3;(2)(-2a2b)3+8(a2)2·(-a)2·(-b)3.【能力提升】6.計算(-2a2b)3的結(jié)果是 ()a6b3 a6b3a6b3 a5b37.若(anbmb2)3=a9b15,則有 ()A.m=9,n=4 B.m=3,n=4C.m=3,n=3 D.m=5,n=48.計算(-4×103)2×(-4×103)3的正確結(jié)果是.

9.若x2n=2,(yn)3=3,則(xy)6n=.

10.計算.(1)-1(2)0.12516×(-8)17.【拓展探究】11.計算.(1)0.1256×26×46;(2)24×45×(-0.125)4;(3)0.252016×42017-8100×0.5300.12.已知a3m=2,b2m=3,求(a2m)3+(bm)6-(a2【答案與解析】1.D(解析:(-4x)2=(-4)2x2=16x2.)2.D(解析:對于A,由同底數(shù)冪的乘法可知a·a3=a4,;對于B,由積的乘方可知(ab)3=a3b3;對于C,合并同類項,a3+a3=2a3;只有D計算正確.)3.B(解析:先用積的乘方運算,再用同底數(shù)冪的乘法計算.故選B.)4.9a7±3a3b(解析:(3a)2·a5=9a2·a5=9a7,(±3a3b)2=9a6·b2.)5.(1)-3a6(2)-16a6b3.6.B(解析:先根據(jù)積的運算性質(zhì),把-2,a2,b分別3次方,再根據(jù)乘方的意義求(-2)3,b3,根據(jù)冪的乘方運算性質(zhì)計算(a2)3,最后把所得結(jié)果相乘得出答案.(-2a2b)3=(-2)3(a2)3b3=-8a6b3.)7.C(解析:(anbmb2)3=a3nb3mb6=a3nb3m+6=a9b15,所以3n=9,3m+6=15,即n=3,m=3.故選C.)8.-1024×1015(解析:仿照積的乘方法則計算.)9.72(解析:(xy)6n=x6ny6n=(x2n)3×(y3n)2=23×32=8×9=72.)10.解:(1)原式=-132×a2×(b2)2×c2=19a2b4c2.(2)原式=0.12516×(-8)17=-0.12516×817=-(0.125×811.解:(1)0.1256×26×46=(0.125×2×4)6=1.(2)24×45×(-0.125)4=24×44×(-0.125)4×4=2×4×(-0.125)4×4=(3)0.252016×42017-8100×0.5300=0.252016×42016×4-8100×(0.53)100=(0.25×412.解:(a2m)3+(bm)6-(a2b)3m·bm=(a3m)2+(b2m)3-(a3m)2·(1.課堂上注重了新舊知識的聯(lián)系與類比,讓學生類比“同底數(shù)冪的乘法”和“冪的乘方”的運算性質(zhì)的推導方法,讓學生經(jīng)歷“特殊——一般——特殊”的認知規(guī)律,再次體驗數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想.2.積的乘方公式的理解及應用是這節(jié)課的重點,教學中先讓學生理解這個公式,理解積的乘方的含義.導出性質(zhì)后,通過一些實例說明其表達式及語言敘述中每句話的含義,以使學生更好地理解,并能在理解的基礎(chǔ)上會用它進行計算.1.法則理解不到位,特別是對公式的逆應用不熟練,沒有完全掌握方法,發(fā)現(xiàn)式子中各數(shù)的特點.2.積的因式模糊不清,對于出現(xiàn)有數(shù)字和字母積的形式時,學生對帶“-”號的計算不夠準確.1.逆用法則時如果存在學生有困難的時候,可以再適當出幾道題以加強練習;對難點問題要從不同角度加以說明,要讓學生討論發(fā)現(xiàn),不要直接告訴學生,要進行適當?shù)狞c撥,點到為止.2.讓學生自己去體會總結(jié).在練習題的設(shè)計上提倡分層教學,讓每一個學生都能得到長足的進步,可以設(shè)計一些選擇題、辨析題、針對例題的提升題.練習(教材第74頁)1.提示:(1)不正確,應為4a2.(2)不正確,應為a3b6.(3)不正確,應為-27a6.(4)不正確,應為4a2b4.2.提示:(1)81a4.(2)-8x6.(3)-x6y9.(4)-243x8.3.提示:(1)100000.(2)1.(3)1.(4)4.習題(教材第75頁)A組1.提示:(1)x10y5.(2)-27x3.(3)-y8.(4)-m3n.2.提示:(1)-m3n6.(2)x12.(3)4a4b8.(4)-3x4.3.提示:(1)8x6.(2)2a3b6.B組1.提示:(1)5.(2)-1.(3)106.2.解:原等式可化為(3×5)x+1=152x-3,所以x+1=2x-3,解得x=4.有關(guān)冪的運算需要注意的幾個問題.(1)不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆.冪的乘方運算,是轉(zhuǎn)化指數(shù)的乘法運算(底數(shù)不變);同底數(shù)冪的乘法,是轉(zhuǎn)化指數(shù)的加法運算(底數(shù)不變).(2)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的三個運算性質(zhì)是整式乘法的基礎(chǔ),也是整式乘法的主要依據(jù).對三個性質(zhì)的數(shù)學表達式和語言表述,不僅要記住,更重要的是理解.在這三個冪的運算中,要防止符號錯誤;還要防止運算性質(zhì)發(fā)生混淆.已知x2m=2,求(2x3m)2-(3xm)〔解析〕先利用積的乘方法則把原式化簡,再逆用冪的乘方轉(zhuǎn)化為底數(shù)是x2m的形式,然后代入求值.解:原式=4x6m-9x2m=4(x2m)3-9x2m=4×23-9×2=14.8.3同底數(shù)冪的除法1.經(jīng)歷同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)的獲得過程,掌握同底數(shù)冪的運算性質(zhì),會用同底數(shù)冪的運算性質(zhì)進行有關(guān)計算,提高學生的運算能力.2.了解零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義,知道零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定的合理性.進一步體會冪的意義的過程中,發(fā)展學生的推理能力和有條理的表達能力,提高學生的觀察、歸納、類比、概括等能力.通過對同底數(shù)冪的除法性質(zhì)的探索過程,讓學生獲得成功的體驗,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.【重點】了解同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì),并能熟練應用.【難點】理解零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義.【教師準備】課堂中的提問問題設(shè)計.【學生準備】預習教材P76~77.導入一:我們居住在一個美麗的星球,叫做地球,地球的體積大概是1.08×1012立方千米,太陽的體積大概是1.08×1018立方千米.同學們,你能告訴大家太陽的體積大約是地球的多少倍嗎?請列出算式.學生得出算式:1.08×1018÷(1.08×1012)=……其實本質(zhì)就是1018÷1012這個問題,本節(jié)課我們來研究“同底數(shù)冪的除法”.[設(shè)計意圖]以測量生活問題為背景,引出數(shù)學問題.既尊重課本內(nèi)容又符合加強數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的要求,再輔以幽默、啟發(fā)的語言調(diào)動起學生的興趣.導入二:一種液體每升含有1012個有害細菌,為了試驗某種殺菌劑的效果,科學家們進行了實驗,發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死109個此種細菌.(1)要將1升液體中的有害細菌全部殺死,需要這種殺菌劑多少滴?(2)你是怎樣計算的?【處理方式】解決問題(1)學生可能根據(jù)題意列出算式1012÷109,也有可能列出1012109問題(2)用到的是有理數(shù)的運算,教學時應鼓勵學生獨立思考,在黑板上呈現(xiàn)不同的計算過程,并說明每一步的算理,學生可能出現(xiàn)不同的解決方法.可能先將冪還原成大數(shù),再用分數(shù)的約分來計算:1012÷109=1012109=10×10×…×10也可能先逆用同底數(shù)冪的乘法,再進行約分來計算:1012÷109=(109×103)÷109=109×103109=10[設(shè)計意圖]用實際背景來引入同底數(shù)冪的除法,讓學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系,而這個問題學生運用有理數(shù)知識就能解決,為下面類比解決“式”的問題提供思路.[過渡語]如果將am÷an表示成以a為底的冪的形式,結(jié)果是什么呢?活動1同底數(shù)冪的除法初探思路一1.計算下列各題,用冪的形式表示結(jié)果,并說明計算的依據(jù).(1)55÷53=.

(2)(-3)5÷(-3)3=.

(3)如果a≠0,那么a6÷a3=.

(4)如果a≠0,那么a10÷a4=.

處理方式:學生交流合作完成,展示根據(jù)除法和乘方意義進行運算的結(jié)果.(1)52;(2)(-3)2;(3)a3;(4)a6.2.觀察上面計算結(jié)果中冪指數(shù)之間的關(guān)系,如果a≠0,m,n是正整數(shù),且m>n,那么am÷an=.(am-n)

推導過程:根據(jù)除法和乘方的意義,有:am÷an=a·a·…·am個aaam÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù),且m>n).同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.3.當m<n時,am÷an怎么求呢?設(shè)a≠0,對于正整數(shù)m,n,當m<n時,am÷an=a·a·…·am個aa即am÷an=1a思路二1.怎樣計算1012÷109?【處理方式】教師點撥指導,展示解題過程.1012÷109=10×10×…×1012個102.試一試:用你熟悉的方法計算.(1)25÷23;(2)107÷103;(3)a7÷a3.【處理方式】學生嘗試計算后,教師展示解題過程.解:(1)25÷23=2×2×2×2×22×2×2=22(2)107÷103=10×10×10×10×10×10×1010×10×10=10000=104(3)a7÷a3=a×a×a【小結(jié)】我們利用冪的意義,得到:(1)25÷23=22=25(2)107÷103=104=1(3)a7÷a3=a4=3.觀察它們的底數(shù)及指數(shù)有什么樣的規(guī)律,大家相互討論一下.你能用字母表示同底數(shù)冪的除法運算法則嗎?【處理方式】我們發(fā)現(xiàn)計算25÷23=22時,它們的底數(shù)沒有改變,指數(shù)為5-3=2.推理過程:a·a·…·am個aa·a·…·an個a=a·a·…·a(m-n)個a=am-n,但學生可能會忽略“a≠0,m,n是正整數(shù),且m>n【歸納】同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數(shù),且m>n).【師強調(diào)】①同底數(shù)冪相除運算中,相同底數(shù)可以是不為0的數(shù)字或字母,或單項式、多項式.②同底數(shù)冪相除運算中,也可以是兩個或兩個以上的同底數(shù)冪相除,冪的底數(shù)必須相同,相除時指數(shù)才能相減.[設(shè)計意圖]利用類比結(jié)合探究的形式引導學生逐步深入思考同底數(shù)冪如何相除,從學生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā),引導學生探索發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì),遵循循序漸進的認知規(guī)律,由冪的意義和同底數(shù)冪的乘法得出同底數(shù)冪的除法法則,知識的生成自然,學生很容易接受.從而得到同底數(shù)冪的除法法則.活動2探索零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪思路一1.已知m,n是正整數(shù),a≠0,為了使am÷an=am-n在m≤n時仍然成立:(1)當m<n時,m-n<0,應該如何規(guī)定am-n的意義?(a-p=1ap(a≠0,p是正整數(shù)),即任何不等于0的數(shù)的-p次冪,等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)(2)當m=n時,m-n=0,應該如何規(guī)定a0的意義?(我們規(guī)定:a0=1(a≠0),即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.)2.同底數(shù)冪的除法的一般形式.對于任意正整數(shù)m,n,都有:am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.思路二問題1:做一做:104=1000024=1610()=1000 2()=810()=100 2()=410()=10 2()=2問題2:猜一猜:下面的括號內(nèi)應該填入什么數(shù)?你是怎么想的?與同伴交流.10()=1 2()=110()=0.1 2()=110()=0.01 2()=110()=0.001 2()=1問題3:你有什么發(fā)現(xiàn)?能用符號表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?問題4:你認為這個規(guī)定合理嗎?為什么?【處理方式】問題1對學生而言并不困難,教學時學生可能會找到規(guī)律:底數(shù)為10時,指數(shù)每減小1,冪的值就會縮小為原來的110;底數(shù)為2時,指數(shù)每減小1,冪的值就會縮小為原來的12.學生也可能進而歸納“底數(shù)為a時,指數(shù)每減小1,冪的值就會縮小為原來的1a”,可以追問“這里的a能取哪些值?”從而讓學生體會a問題2對學生來說是有些難度的,可以引導學生保持上面的規(guī)律進行猜想,教學時應給學生充分的獨立思考和小組交流的時間.問題3從數(shù)的變化規(guī)律中進行分析、歸納與概括,再將猜想用符號一般性地表示出來,得到:a0=1,a-p=1ap,方法一,從同底數(shù)冪的除法和約分的角度來進行說明:我們前面這樣推導了同底數(shù)冪的除法法則:aman=a·a·…·am個aa·a·…·an個a=a·a·…·當m=n時,我們可以類似地得到:a0=am÷am=a·a·…·am個aa·a當m<n時,先設(shè)p=n-m,那么m-n=-p,也可以類似地得到:aman=a·a·…·am個aa·a·…·a方法二,從乘除法的逆運算關(guān)系來說明:因為am·a0=am+0=am,所以a0=am÷am=1(a≠0,m為正整數(shù)).在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上再進一步得到:因為ap·a-p=ap+(-p)=a0=1,所以a-p=1÷ap=1ap(a≠0,p為正整數(shù)[設(shè)計意圖]學習了有理數(shù)的乘方和前面幾種冪的運算后,學生對正整數(shù)指數(shù)范圍內(nèi)冪的意義理解得很好.而理解零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義對學生而言是個難點.這樣設(shè)計目的是讓學生完整經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、解釋的過程,從而感悟先由具體問題概括出結(jié)論,同時,不同的解釋思路可以幫助學生從不同的角度更好地理解零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的意義.活動3例題講解計算.(1)106÷102;(2)23÷25;(3)5m÷5m-1; (4)an÷an+1(a≠0).解:(1)106÷102=106-2=104.(2)23÷25=23-5=2-2=122=(3)5m÷5m-1=5m-(m-1)=5.(4)an÷an+1=an-(n+1)=a-1=1a[知識拓展]當指數(shù)拓廣到零和負整數(shù)范圍后,我們前面學過的同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的運算法則仍然成立.1.am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數(shù)),同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.2.a0=1,a-p=1ap(a≠0,p是正整數(shù)1.下列計算正確的是 ()A.x+x2=x3 B.x2·x3=x6C.(x3)2=x6 D.x9÷x3=x3(x≠0)解析:x與x2不是同類項,不能合并,A錯誤;x2·x3=x5,B錯誤;(x3)2=x6,C正確;x9÷x3=x6,D錯誤.故選C.2.下列計算結(jié)果正確的是 ()A.2a3+a3=3a6 B.(-a)2·a3=-a6C.-12-2=4 D.(解析:根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、合并同類項的法則對各選項分析判斷后利用排除法求解.因為2a3+a3=3a3,(-a)2·a3=a5,-12-2=4,(-2)0=1,所以只有選項C正確3.計算:3a3·a2-2a7÷a2=.

解析:3a3·a2=3a5,2a7÷a2=2a5,所以3a3·a2-2a7÷a2=3a5-2a5=a5.故填a5.4.計算.(1)x8÷x3;(2)(-a)8÷(-a)5;(3)(x-y)7÷(y-x)6.解:(1)x8÷x3=x8-3=x5.(2)(-a)8÷(-a)5=(-a)8-5=(-a)3=-a3.(3)(x-y)7÷(y-x)6=(x-y)7÷(x-y)6=x-y.8.3同底數(shù)冪的除法活動1同底數(shù)冪的除法初探活動2探索零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪活動3例題講解例題一、教材作業(yè)【必做題】教材第78頁習題A組的第1,2題.【選做題】教材第78頁習題B組的第3題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列運算結(jié)果為a6的是 ()A.a2+a3 B.a2·a3C.(-a2)3 D.a8÷a22.2-3可以表示為 ()A.22÷25 B.25÷22C.22×25 D.(-2)×(-2)×(-2)3.計算:a(a2÷a)-a2=.

4.計算:(-3)0+3-1=.

5.計算.(1)(x-1)5÷(1-x)2;(2)a3m+2n÷am-n;(3)(5.678-3.142)0; (4)(-0.2)-2;【能力提升】6.下列計算中錯誤的有 ()①a10÷a2=a5;②a5÷a=a5;③(-a)5÷(-a)3=-a2;④30=3.個 個個 個7.(a2)4÷a3÷a等于 ()A.a5 B.a4C.a3 D.a28.-(-x)2·(-x3)·(-x)3÷x8等于 () x89.計算:(y2)n310.計算.(1)(-27)-15×(-9)20÷(-3)-7;(2)x10÷x5+(-x)9÷(-x4);(3)|-3|-(π-1)0-12【拓展探究】11.一顆人造地球衛(wèi)星的速度是2.88×107m/h,一架噴氣式飛機的速度是1.8×106m/h,這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機的速度的多少倍?12.(1)若10a=20,10b=5-1,求9a÷32b的值;(2)已知32m=5,3n=10,求92m-n.【答案與解析】1.D(解析:根據(jù)整式的加法運算法則與冪的運算性質(zhì)計算各選項中的算式結(jié)果,易得正確答案.選項A中的兩項不是同類項,不能合并;選項B中a2·a3=a5;選項C中(-a2)3=-a6;選項D中a8÷a2=a6.)2.A(解析:選項A中,22÷25=2-3,正確;選項B中,25÷22=23,錯誤;選項C中,22×25=27,錯誤;選項D中,(-2)×(-2)×(-2)=(-2)3=-23,錯誤.)3.0(解析:a(a2÷a)-a2=a·a-a2=a2-a2=0.)4.43(解析:利用任意不為0的數(shù)的0次冪都等于1,得(-3)0=1;利用負整數(shù)指數(shù)冪所隱含的倒數(shù)意義可得3-1=13,然后求和即可.(-3)0+3-1=1+13=5.解:(1)原式=(x-1)5÷(x-1)2=(x-1)5-2=(x-1)3.(2)a3m+2n÷am-n=a(3m+2n)-(m-n)=a3m+2n-m+n=a2m+3n.(3)(5.678-3.142)0=1.(4)(-0.2)-2=1(-0.26.D(解析:依次計算四個算式得:①a10÷a2=a8;②a5÷a=a4;③(-a)5÷(-a)3=a2;④30=1.計算都不正確.)7.B(解析:(a2)4÷a3÷a=a8÷a3÷a=a4.)8.C(解析:原式=-x2·(-x3)·(-x3)÷x8=-x8÷x8=-1.)9.1(解析:原式=(y2n)3÷(y3n)2=y6n÷y6n=y0=1.)10.解:(1)原式=(-3)-45×(-3)40÷(-3)-7=(-3)2=9.(2)x10÷x5+(-x)9÷(-x4)=x5+x5=2x5.(3)|-3|-(π-1)0-12-11.解:(2.88×107)÷(1.8×106)=16.答:這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機的速度的16倍.12.解:(1)因為10a=20,10b=5-1=15,所以10a÷10b=10a-b=20÷15=100=102,所以a-b=2.又因為9a÷32b=9a÷(32)b=9a÷9b=9a-b=92,所以9a÷32b=81.(2)92m-n=(32)2m-n=(32m)2÷(3n)2=52÷102=本節(jié)課的設(shè)計遵循學生的認知規(guī)律,讓學生主動探究,經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展、形成與應用的過程,重在培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的思維能力.學生在充分經(jīng)歷這一過程中,既能理解和掌握同底數(shù)冪的除法性質(zhì),并能用代數(shù)和文字語言正確地進行表述,運用這一性質(zhì)熟練地進行計算,還有助于訓練學生的思維,使學生領(lǐng)會到數(shù)學的思想和方法.在活動1探究m<n時的同底數(shù)冪相除的時候,完全按照教材給出的過程展示給學生.這個過程教材處理得比較簡單,還應該把這個過程細化呈現(xiàn)給學生,這樣更便于突破本課時的教學難點.在檢測反饋中,多設(shè)置幾個容易出錯的計算題,針對性地提出相關(guān)問題,采取先嘗試,后引導,再探索辨析的方法,使學生在討論交流中突破難點.在例題的處理過程中,交給學生參考教材獨立完成.練習(教材第77頁)1.提示:(1)不正確,應為a.(2)不正確,應為a-3.(3)不正確,應為a-3.(4)不正確,應為a3.2.提示:(1)a2.(2)x-2.(3)10000.(4)3.提示:結(jié)果分別為2,1,12習題(教材第78頁)A組1.提示:(1)不正確,結(jié)果應為1.(2)不正確,結(jié)果應為-18.(3)不正確,結(jié)果應為15.(4)不正確,結(jié)果應為2.提示:(1)105.(2)19.(3)13.提示:(1)a2.(2)1.4.提示:(1)0.(2)114B組1.提示:(1)x5.(2)1.2.提示:(1)(x-2y)m-5.(2)ab.3.提示:(1)32.(2)a8.若2x=6,2y=3,求22x-3y的值.解:22x-3y=22x÷23y=(2x)2÷已知272x÷9x÷3x=27,求x的值.解:由272x÷9x÷3x=27可得33x=33,故x=1.下列計算結(jié)果正確的是 ()A.a8÷a4=a2 B.a2·a3=a6C.(a3)2=a6 D.〔答案〕C下列計算正確的是 ()A.3a2-6a2=-3 B.(-2a)·(-a)=2a2C.10a10÷2a2=5a5 D.-(a3)2=a6〔答案〕B8.4整式的乘法1.經(jīng)歷整式乘法法則探究的過程,掌握整式乘法法則,并會用它進行有關(guān)計算,發(fā)展學生的運算能力.2.在歸納、概括的過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.由實例引入整式乘法運算,讓學生體會整式運算的必要性,探索整式乘法運算的法則,并會應用.由單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化為單項式相乘,滲透事物間相互聯(lián)系的觀點,同時通過整式乘法的運算,進一步培養(yǎng)學生耐心、細致的學習習慣.【重點】整式乘法運算.【難點】靈活、準確地利用乘法公式進行計算.第課時1.經(jīng)歷探索單項式乘法法則的過程,理解單項式乘法法則.2.理解并掌握單項式與單項式相乘的法則,能夠熟練地進行單項式的乘法計算.在探索單項式與單項式的乘法運算法則的過程中,發(fā)展學生的觀察、歸納、猜想、驗證等能力.體驗探求數(shù)學問題的過程,體驗轉(zhuǎn)化的思想方法,獲得成功的體驗.【重點】單項式與單項式相乘的運算法則及其應用.【難點】靈活地進行單項式與單項式相乘的運算.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】預習教材P79~80.導入一:1.知識回顧.回憶冪的運算性質(zhì):am·an=am+n(m,n都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.(am)n=amn(m,n都是正整數(shù)).即冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).即積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘.指名學生口答上述問題.[設(shè)計意圖]冪的三個運算性質(zhì)是學習單項式與單項式相乘的基礎(chǔ),所以先組織學生對上述內(nèi)容作復習.2.練一練.(a2)2=;

(-23)2=;

-122(a3)2·a3=;

23·25=;

-32x[設(shè)計意圖]在單項式與單項式的乘法中可能涉及一些冪的運算,在這里讓學生回顧舊知識,為學習新知識做了充分的準備.導入二:同學們一定玩過拼圖游戲吧,下面是由九塊長為acm,寬為bcm的小矩形拼成的一幅畫,誰能快速地計算一下這幅圖形的面積呢?【處理方式】學生獨立思考,教師指導,容易找到拼圖后長方形的長和寬分別是3a和3b,然后計算面積為3a·3b.師:哪位同學會計算3a·3b?想一想,和我們學過的什么知識有關(guān)?[設(shè)計意圖]通過拼圖游戲,激發(fā)學生學習興趣,引出了單項式乘法,使學生體會到數(shù)學知識來源于生活,并能解決生活中的問題,點明本節(jié)課題,使學生充分感受數(shù)形結(jié)合思想.[過渡語]整式包括單項式和多項式,因此,整式乘法可分為單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘和多項式與多項式相乘.活動1單項式乘單項式的運算思路一1.根據(jù)乘法的運算律和同底數(shù)冪相乘的運算性質(zhì)計算.(1)2a·3a==.

(2)2a·3ab==.

(3)4xy·5x2y==.

提示:將字母視為數(shù),按數(shù)的相關(guān)運算進行即可.(1)(2×3)·(a·a)6a2(2)(2×3)·(a·a)·b6a2b(3)(4×5)·(x·x2)·(y·y)20x3y22.計算方法總結(jié).一般地,我們有:單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余字母連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.思路二(針對導入二情境)計算3a·3b=.

【處理方式】先讓學生計算,然后根據(jù)自己的求解過程嘗試回答這里的單項式乘單項式如何運算.師:通過3a·3b=9ab的運算,大家研究一下單項式乘單項式的法則.預設(shè)生1:這里3a的3和a之間是乘法運算,同樣3b的3和b也是乘法運算.生2:3a與3b之間也是乘法運算.生3:乘法不是有交換律和結(jié)合律嗎,數(shù)字3和數(shù)字3相乘,字母a和字母b相乘,很簡單.師:總結(jié)得很好,那么如果遇到(mx)·34x生4:數(shù)字與數(shù)字相乘,同底數(shù)冪與同底數(shù)冪相乘.生5:同底數(shù)冪相乘時要運用同底數(shù)冪的法則運算,然后所有冪和數(shù)字相乘,(mx)·34x=34m·x·x=3歸納總結(jié)法則:單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余字母連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.[設(shè)計意圖]學生知道運用乘法交換律、結(jié)合律的知識探索單項式乘單項式的運算法則,并理解算理,讓學生理解運算法則及其探索過程,而不是僅僅背過法則,使學習知識的過程同時成為提高學生分析和解決問題能力的過程.活動2例題講解計算.(1)4x·3xy;(2)(-2x)·(-3x2y).解:(1)4x·3xy=(4×3)·(x·x)·y=12x2y.(2)(-2x)·(-3x2y)=[(-2)×(-3)]·(x·x2)·y=6x3y.計算.(1)-2a·12ab2·3a2bc(2)(-ab2)2·解:(1)-2a·12ab2·3a2=(-2)×12×3·(a·a·a2)·(b2·b)·=-3a4b3c.(2)(-ab2)2·=(-1)2·a2·b4·(-5)ab=(-5)(a2·a)(b4·b)=-5a3b5.[知識拓展]1.對于只在一個單項式里出現(xiàn)的字母,不要把這個因式去掉,要連同它的指數(shù)一起寫在積的因式里.2.單項式的乘法法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用.3.單項式乘單項式的結(jié)果仍是一個單項式.1.單項式乘單項式的原理是乘法的交換律和結(jié)合律.2.單項式乘單項式的法則:單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余字母連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.3.單項式乘單項式的注意事項:(1)對于只在一個單項式里出現(xiàn)的字母,不要把這個因式去掉,要連同它的指數(shù)一起寫在積的因式里.(2)單項式的乘法法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用.(3)單項式乘單項式的結(jié)果仍是一個單項式.1.計算-3a2×a3的結(jié)果為 ()A.-3a5 B.3a6C.-3a6 D.3a5解析:單項式與單項式相乘,把系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘,對于只在一個因式中出現(xiàn)的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.原式=-3a2+3=-3a5.故選A.2.下列計算中正確的是 ()A.(9a3)·(2a2)=18a5B.(2x5)·(3x4)=5x9C.(3y3)·(5y3)=15y9D.(3x3)·(4x3)=12x3解析:A選項的結(jié)果為18a5;B選項的結(jié)果為6x9;C選項的結(jié)果為15y6;D選項的結(jié)果為12x6.故選A.3.計算(-6a4b)(-2a)2的結(jié)果是.

解析:按照單項式乘單項式的法則進行運算.(-6a4b)(-2a)2=(-6a4b)(4a2)=-24a6b.故填-24a6b.4.計