關于隨機決策分析方法第一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月

第十六章隨機性決策分析方法22022年9月16日隨機性決策問題的基本概念；

效用函數(shù)的概念；

效用與風險的關系；

隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)的關系；案例分析：彩票中的數(shù)學問題。第二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月

一、問題的引入－彩票與數(shù)學32022年9月16日

彩票中的數(shù)學知多少？你們了解彩票嗎？你們買過彩票嗎？你們了解彩票的規(guī)則嗎？No,Idon’tknow!請問幾個問題：（1）博彩有規(guī)律可尋嗎？（2）現(xiàn)行的各種彩票方案中獎的可能性有多大？（3）現(xiàn)行的彩票方案合理嗎？哪種方案“好”？（4）我們應該如何看待彩票？中國的彩票業(yè)還有多大的發(fā)展空間？我想應該有規(guī)律吧！??！有這么懸乎嗎？第三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月42022年9月16日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學

“彩票中的數(shù)學”問題（CUMCM2002-B）

近年來“彩票颶風”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型?！皞鹘y(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef

選7中（6）三等獎abcdeXXbcdef

選7中（5）四等獎abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）第四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月52022年9月16日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學

“彩票中的數(shù)學”問題（CUMCM2002-B）“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案和“36選6+1”的方案，中獎等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）第五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月62022年9月16日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學“彩票中的數(shù)學”問題（CUMCM2002-B）要解決的問題：（1）根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。第六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月72022年9月16日

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題包含兩個方面：決策人所采取的行動方案(決策);問題的自然狀態(tài)(狀態(tài))；

基本特點：后果的不確定性和后果的效用。

后果的不確定性：由問題的隨機性，使問題會出現(xiàn)什么狀態(tài)的不確定性，決策人做出決策后會出現(xiàn)后果的不確定性。后果的效用：后果價值的量化。由后果的不確定性，對于不同決策后果的效用是不同的。第七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月82022年9月16日

1、主觀概率

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題后果的不確定性是由狀態(tài)的不確定性引起的，狀態(tài)的不確定性不能通過在相同條件下的大量重復試驗來確定其概率分布。實際中只能由決策人主觀地做出估計，稱其為主觀概率。

主觀概率遵循客觀概率應該遵循的假設、公理、性質等，客觀概率的所有邏輯推理方法均適用于主觀概率。

設定主觀概率的方法：主觀先驗分布法、無信息先驗分布法、極大熵先驗分布法和利用過去數(shù)據(jù)設定先驗分布法等。第八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月客觀(Objective)概率：上述三種定義的概率是在多次重復試驗（隨機試驗）中，隨機事件A發(fā)生的可能性的大小的度量，稱為客觀概率。主觀(Subjective)概率：在實際管理決策中，許多事件的發(fā)生概率是無法通過隨機試驗獲得的，或條件不允許，或事件本身不允許。因此需要一種方法來人為設定事件發(fā)生的概率，稱為主觀概率。主觀概率是人們根據(jù)經(jīng)驗、各方面的知識以及了解到的客觀情況進行分析、推理、綜合判斷，對特定事件發(fā)生的可能性的信念（或意見、看法）的度量(Savage,1954)。公理化定義：E是隨機事件，S是E的樣本空間，對E的每一事件A，對應有確定的實數(shù)p(A)，若p(A)滿足：①非負性：p(A)≥0；②規(guī)范性：p(S)=1；③列可加性：對兩兩不相容事件Ak，有p(∪kAk)=Σkp(Ak)。(Ai∩Aj=Φ,i≠j)第九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布與先驗假設先驗分布(PriorDistribution)：根據(jù)先驗信息所確定的概率分布叫先驗分布，獲得先驗分布是貝葉斯分析的基礎。決策中先驗分布的獲得具有高度的主觀性。先驗假設：為使先驗分布估計規(guī)范化，需要做一定的假設。連通性假設：指事件A和事件B發(fā)生的可能性是可比的，即p(A)>p(B),p(A)~p(B),p(A)<p(B)必有一個成立。傳遞性假設：若對事件A、B、C，有p(A)>p(B),p(B)>p(C),則p(A)>p(C)。（滿足連通性和傳遞性的二元關系才能構成完全序）部分與全體關系假設：若事件A是事件B的一部分，則p(B)≥p(A)。第十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計:比較法比較法1-離散型（對事件發(fā)生的各種狀態(tài)加以比較確定相對似然率）某氣象專家對當年的氣候狀況進行評估，認為當年氣候正常(1)與受災的可能性之比約為3:2；如果受災，則水災(2)、旱災(3)的可能性相當。據(jù)此，我們可推算出當年氣候狀況的先驗分布：(1)+(2)+(3)=1;(1)/((2)+(3))=3/2;(2)=(3)解得：(1)=0.6，(2)=0.2，(3)=0.2第十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：比較法比較法2-連續(xù)型離散化：同直方圖法比較賦值選擇一個似然率最大的子區(qū)間k作為基準，設其相對似然率為Rk，然后給出其他各區(qū)間i相對于k的似然率Ri，則(i)=Ri/ΣRi由決策者給出每兩個子區(qū)間似然率的比例關系：rij=(i)/(j)，然后計算出每個狀態(tài)i的似然率(i)。變換擬合：同直方圖法第十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：打賭法打賭法（離散型）設打賭者(A)的個人財產為W。設事件E發(fā)生時A獲得收入為p，(p<<W，0<p<1)，不發(fā)生時A獲得的收入為1-p。調整p值使A感覺無論事件E是否發(fā)生，其收入基本相同。則事件E發(fā)生的可能性(E)=1-p。第十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：直方圖法直方圖法（適合于自然狀態(tài)在實軸某個區(qū)間連續(xù)取值）區(qū)間離散化：把的取值范圍劃分為若干子區(qū)間1…n賦值：估計每個區(qū)間的似然率(i)，據(jù)此作出直方圖變換：將直方圖擬合為概率分布函數(shù)F(x)=Σ≤x

()不足之處：區(qū)間數(shù)n難以確定似然率(i)估計困難F(x)通常有較大的尾部誤差第十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：分位點法區(qū)間對分法（分位點法）-連續(xù)型確定事件不可能發(fā)生的臨界狀態(tài)取值（如某地區(qū)人口出生率不可能低于9‰，但也不可能超過18‰）；求中位數(shù)：當狀態(tài)取值為此值時，大于或小于此值的狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等（如某地區(qū)人口出生率的中位數(shù)為12.5‰）；確定上下四分位點；確定八分位點（一般僅取到八分位點）。第十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：分布函數(shù)法與給定形式的分布函數(shù)相匹配（最常用也容易濫用）[Matlab工具箱：StatisticsToolbox/ProbabilityDistributions]均勻分布（連續(xù)型）：如果隨機變量落在某個區(qū)間(a,b)中任意等長度的子區(qū)間內的可能性相等，則它服從均勻分布，均勻分布的概率密度函數(shù)為：[Matlab函數(shù)：unifpdf(x,a,b),unifit(DATA)]ab第十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：分布函數(shù)法二項分布：(離散型)每次隨機試驗中事件A出現(xiàn)的概率為p，n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率服從二項分布：[Matlab函數(shù)：binopdf(k,n,p),binofit(k,n)]泊松分布：(離散型)每次隨機試驗中事件A出現(xiàn)的概率為p，n次（n→∞，但n*p=

為常數(shù)）獨立試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率服從泊松分布：[Matlab函數(shù)：poisspdf(k,),poissfit(DATA)]第十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月主觀概率—先驗分布估計：分布函數(shù)法正態(tài)分布（高斯分布）：(連續(xù)型)若連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為:

則稱隨機變量服從參數(shù)為、2的正態(tài)分布[Matlab函數(shù)：normpdf(x,,),normfit(DATA)]

。參見相關統(tǒng)計學書籍，看看還有哪些分布函數(shù)可供選擇使用？第二十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月222022年9月16日

2、隨機性決策的效用函數(shù)

二.隨機性決策的基本概念第二十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月232022年9月16日

2、隨機性決策的效用函數(shù)第二十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月242022年9月16日效用函數(shù)的定義：

2、隨機性決策的效用函數(shù)第二十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月252022年9月16日

2、隨機性決策的效用函數(shù)第二十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月262022年9月16日

2、隨機性決策的效用函數(shù)第二十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月272022年9月16日

實際中的決策問題對決策人的決策往往是效益和風險并存。不同的決策人對待風險的態(tài)度可分為厭惡型、中立型和喜好型。

3、效用與風險的關系

二.隨機性決策的基本概念問題：決策人對待這一風險的態(tài)度是什么呢？第二十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月282022年9月16日

3、效用與風險的關系厭惡型:

決策人認為冒此風險的期望盈利只等價于比它低的不冒風險的盈利。喜好型:

對待風險的態(tài)度與厭惡型相反的。中立型：介于二者之間的，即決策人認為這和不冒任何風險的另一行為盈利a元等價。這三種不同的態(tài)度可以反映在效用函數(shù)上就是凹函數(shù)，線性函數(shù)和凸函數(shù)。第二十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月292022年9月16日

3、效用與風險的關系第二十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月302022年9月16日

實際中，有的效用函數(shù)曲線呈S型，即在后果的范圍內，決策人會從厭惡風險變?yōu)橄埠蔑L險。

3、效用與風險的關系

(1)反映了決策人的財產從小到大，對待風險的態(tài)度從喜好到厭惡的改變。(2)反映了決策人的財產從損失到盈利的增加，對待風險的態(tài)度從喜好到厭惡的變化。第三十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月312022年9月16日

4、損失函數(shù)與風險函數(shù)的關系

二.隨機性決策的基本概念第三十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月322022年9月16日4、損失函數(shù)與風險函數(shù)的關系第三十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月332022年9月16日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

二.隨機性決策的基本概念

隨機優(yōu)勢法:在有價證券問題的研究中常用的一種在一定風險的情況下確定決策的方法。隨機優(yōu)勢法常用的效用函數(shù)有三種：第三十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月342022年9月16日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（１）遞增的效用函數(shù)

第三十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月352022年9月16日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（１）遞增的效用函數(shù)

這種類型的效用函數(shù)僅能反映出財富與風險的關系，但不能反映出決策人對待風險的態(tài)度。第三十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月362022年9月16日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（２）遞增的凹效用函數(shù)

第三十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月372022年9月16日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（２）遞增的凹效用函數(shù)

事實上，可以證明：第三十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月

（3）遞減的厭惡風險的效用函數(shù)382022年9月16日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

第三十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月392022年9月16日

（3）遞減的厭惡風險的效用函數(shù)

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

第三十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月402022年9月16日1、問題的提出三、案例分析：彩票中的數(shù)學問題要解決的問題：（1）根據(jù)所給方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。第四十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月412022年9月16日

２、問題的分析三、案例分析：彩票中的數(shù)學問題

評價一個方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和彩民兩方面的利益。事實上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？

第四十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月422022年9月16日

問題涉及到一個方案的設置使彩民獲獎的可能性有多大、獎金額有多少、中獎面怎樣、各獎項的設置是否合理等因素，這些都對彩民的購買彩票的吸引力有產生一定的影響，在這里可用彩民的心理曲線來描述一個方案對彩民的吸引力。另外，一個方案對彩民的影響程度可能與區(qū)域有關，即與彩民所在地