17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題.（重點(diǎn)）2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課問題

前面的學(xué)習(xí)讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認(rèn)識，你能說出它們的內(nèi)容嗎?回顧與思考a2+b2=c2(a,b為直角邊，c斜邊）Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長邊）Rt△ABC，且∠C是直角.(2)等腰△

ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC

邊上的高是

cm.8(1)已知△

ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為

三角形，

是最大角.

直角∠A快速填一填：思考

前面我們已經(jīng)學(xué)會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實(shí)際問題呢？你能舉舉例嗎？在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知識和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會被用到，這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)吧.講授新課12勾股定理的逆定理的應(yīng)用一例1

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16海里,“海天”號每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR問題1

認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航”號的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離已知，如圖.問題2

由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12

解決實(shí)際問題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解.歸納【變式題】

如圖，南北方向PQ以東為我國領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B處巡邏的103號艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北PABCQD分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時(shí)，6.4÷12.8=0.5（小時(shí)）=30（分鐘），∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.東北PABCQD例2一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示,這個(gè)零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖圖在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個(gè)零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖

1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．練一練2.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運(yùn)用所學(xué)知識幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．例3如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用二解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.歸納【變式題1】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA例4如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想1.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,公園到醫(yī)院的距離為400m.若公園到超市的距離為500m,則公園在醫(yī)院的北偏東

的方向.東醫(yī)院公園超市北65°當(dāng)堂練習(xí)2.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的是（）A.B.C.D.D3.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來，這時(shí)A，B兩組相距30km．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請說明理由.解：∵出發(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且有242+182=302，∴A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．4.如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，試說明：AB=AC.解：∵BC=16，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.5.在尋找某墜毀飛機(jī)的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，同時(shí)，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向著目標(biāo)B出發(fā)，1.5小時(shí)后，他們同時(shí)分別到達(dá)目標(biāo)A、B．此時(shí)，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根據(jù)題意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O(如圖)沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得6.如圖，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周長為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過3s時(shí)，求PQ的長．課堂小結(jié)勾股定理的逆定理的應(yīng)用應(yīng)用航海問題方法認(rèn)真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理來解決問題與勾股定理結(jié)合解決不規(guī)則圖形等問題導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度第二十章數(shù)據(jù)的分析第2課時(shí)根據(jù)方差做決策情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差；（重點(diǎn)）2.能用樣本的方差估計(jì)總體的方差及根據(jù)方差做決策.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課方差的計(jì)算公式，請舉例說明方差的意義．方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，才利用方差來判斷它們的波動(dòng)情況．方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小．復(fù)習(xí)引入講授新課根據(jù)方差做決策每個(gè)雞腿的質(zhì)量；雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性．抽樣調(diào)查．問題1某快餐公司的香辣雞腿很受消費(fèi)者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價(jià)格相同，品質(zhì)相近．快餐公司決定通過檢查雞腿的質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．（1）可通過哪些統(tǒng)計(jì)量來關(guān)注雞腿的質(zhì)量？（2）如何獲取數(shù)據(jù)？例1在問題1中，檢查人員從兩家的雞腿中各隨機(jī)抽取15個(gè)，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為快餐公司應(yīng)該選購哪家加工廠的雞腿？

解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：

樣本平均數(shù)相同，估計(jì)這批雞腿的平均質(zhì)量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：樣本數(shù)據(jù)的方差分別是：

由

可知，兩家加工廠的雞腿質(zhì)量大致相等；由

＜

可知，甲加工廠的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應(yīng)該選購甲加工廠生產(chǎn)的雞腿．例2在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)高低不等的臺階.如圖是其中的甲、乙兩段臺階路的示意圖(圖中數(shù)字表示每一階的高度，單位：cm).哪段臺階路走起來更舒服？為什么？212021191920172420171923甲乙分析：通過計(jì)算兩段臺階的方差，比較波動(dòng)性大小.

∴走甲臺階的波動(dòng)性更，走起來更舒適.解：∵隊(duì)員平均成績方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射擊隊(duì)員考核賽的平均成績（環(huán)）及方差統(tǒng)計(jì)如表，現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)，從中選出一人參加比賽，如果你是教練員，你的選擇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C練一練議一議（1）在解決實(shí)際問題時(shí)，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。讲钤酱?數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，可用樣本方差估計(jì)總體方差．（2）運(yùn)用方差解決實(shí)際問題的一般步驟是怎樣的？

先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

相等或相近時(shí)，再利用樣本方差來估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況．例3某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績（單位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）這兩名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)成績各有何特點(diǎn)？分析：分別計(jì)算出平均數(shù)和方差；根據(jù)平均數(shù)判斷出誰的成績好，根據(jù)方差判斷出誰的成績波動(dòng)大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601．6，s2甲≈65.84；(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599．3，s2乙≈284.21．由上面計(jì)算結(jié)果可知：甲隊(duì)員的平均成績較好，也比較穩(wěn)定，乙隊(duì)員的成績相對不穩(wěn)定．但甲隊(duì)員的成績不突出，乙隊(duì)員和甲隊(duì)員相比比較突出．（2）歷屆比賽表明，成績達(dá)到5.96m就很可能奪冠，你認(rèn)為為了奪冠應(yīng)選誰參加這項(xiàng)比賽？如果歷屆比賽成績表明，成績達(dá)到6.10m就能打破紀(jì)錄，那么你認(rèn)為為了打破紀(jì)錄應(yīng)選誰參加這項(xiàng)比賽．解：從平均數(shù)分析可知，甲、乙兩隊(duì)員都有奪冠的可能．但由方差分析可知，甲成績比較平穩(wěn)，奪冠的可能性比乙大．但要打破紀(jì)錄，成績要比較突出，因此乙隊(duì)員打破紀(jì)錄的可能性大，我認(rèn)為為了打破紀(jì)錄，應(yīng)選乙隊(duì)員參加這項(xiàng)比賽．做一做甲、乙兩班各有8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，成績?nèi)缦卤恚杭?574708065666971乙6075786180626579請比較兩班學(xué)生成績的優(yōu)劣.當(dāng)堂練習(xí)1.學(xué)校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選擇一名同學(xué)代表學(xué)校參加市里舉辦的“漢字聽寫”大賽，四名同學(xué)平時(shí)成績的平均數(shù)（單位：分）及方差s2如下表所示：如果要選出一個(gè)成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參賽，那么應(yīng)該選擇的同學(xué)是

.甲乙丙丁94989896

s211.211.8丙2.某籃球隊(duì)對運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3分球投籃成績測試，每人每天投3分球10次，對甲、乙兩名隊(duì)員在五天中進(jìn)球的個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

經(jīng)過計(jì)算，甲進(jìn)球的平均數(shù)為=8，方差為．隊(duì)員每人每天進(jìn)球數(shù)甲1061068乙79789（1）求乙進(jìn)球的平均數(shù)和方差；（2）現(xiàn)在需要根據(jù)以上結(jié)果，從甲、乙兩名隊(duì)員中選出一人去參加3分球投籃大賽，你認(rèn)為應(yīng)該選哪名隊(duì)員去？為什么？3.在學(xué)校，小明本學(xué)期五次測驗(yàn)的數(shù)學(xué)成績和英語成績分別如下（單位：分）數(shù)學(xué)7095759590英語8085908585通過對小明的兩科成績進(jìn)行分析，你有何看法？對小明的學(xué)習(xí)你有什么建議？解：數(shù)學(xué)、英語的平均分都是85分.數(shù)學(xué)成績的方差為110，英語成績的方差為10.建議：英語較穩(wěn)定但要提高;數(shù)學(xué)不夠穩(wěn)定有待努力進(jìn)步!課堂小結(jié)根據(jù)方差做決策方差方差的作用：比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性利用樣本方差估計(jì)總體方差導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度第二十章數(shù)據(jù)的分析第2課時(shí)根據(jù)方差做決策情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差；（重點(diǎn)）2.能用樣本的方差估計(jì)總體的方差及根據(jù)方差做決策.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課方差的計(jì)算公式，請舉例說明方差的意義．方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，才利用方差來判斷它們的波動(dòng)情況．方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越?。畯?fù)習(xí)引入講授新課根據(jù)方差做決策每個(gè)雞腿的質(zhì)量；雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性．抽樣調(diào)查．問題1某快餐公司的香辣雞腿很受消費(fèi)者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價(jià)格相同，品質(zhì)相近．快餐公司決定通過檢查雞腿的質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．（1）可通過哪些統(tǒng)計(jì)量來關(guān)注雞腿的質(zhì)量？（2）如何獲取數(shù)據(jù)？例1在問題1中，檢查人員從兩家的雞腿中各隨機(jī)抽取15個(gè)，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為快餐公司應(yīng)該選購哪家加工廠的雞腿？

解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：

樣本平均數(shù)相同，估計(jì)這批雞腿的平均質(zhì)量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：樣本數(shù)據(jù)的方差分別是：

由

可知，兩家加工廠的雞腿質(zhì)量大致相等；由

＜

可知，甲加工廠的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應(yīng)該選購甲加工廠生產(chǎn)的雞腿．例2在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)高低不等的臺階.如圖是其中的甲、乙兩段臺階路的示意圖(圖中數(shù)字表示每一階的高度，單位：cm).哪段臺階路走起來更舒服？為什么？212021191920172420171923甲乙分析：通過計(jì)算兩段臺階的方差，比較波動(dòng)性大小.

∴走甲臺階的波動(dòng)性更，走起來更舒適.解：∵隊(duì)員平均成績方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射擊隊(duì)員考核賽的平均成績（環(huán)）及方差統(tǒng)計(jì)如表，現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)，從中選出一人參加比賽，如果你是教練員，你的選擇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C練一練議一議（1）在解決實(shí)際問題時(shí)，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。讲钤酱?數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，可用樣本方差估計(jì)總體方差．（2）運(yùn)用方差解決實(shí)際問題的一般步驟是怎樣的？

先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

相等或相近時(shí)，再利用樣本方差來估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況．例3某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績（單位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）這兩名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)成績各有何特點(diǎn)？分析：分別計(jì)算出平均數(shù)和方差；根據(jù)平均數(shù)判斷出誰的成績好，根據(jù)方差判斷出誰的成績波動(dòng)大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601．6，s2甲≈65.84；(61