第八節(jié) 綜合例題線面積分的計(jì)算一、曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法第九章一、曲線積分的計(jì)算法曲線積分1.

基本方法第一類(對弧長))(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分第二類(對坐標(biāo)用參數(shù)方程(2)確定積分上下限用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程第一類:

下小上大第二類:

下始上終練習(xí)1、計(jì)算其中L為圓周提示:利用極坐標(biāo),ds

=原式

=

LOa

xyrr

2

+

r￠2

dq

=

a

dqax

dst說明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則x

2

+

y

2

d

td

s

=練習(xí)2

計(jì)算其中L為擺線上對應(yīng)t

從0

到2p

的一段弧.提示:2

π02t

sin

td

t\

原式=a0=

a2

[-

t

cos

t

-

sin

t

]2

πzx1

yO練習(xí)3

計(jì)算提示:因在G

上有故原式==

2

2

4

2 2

2

1 π

-

3

1 π

其中G

由平面y=z截球面從z

軸正向看沿逆時(shí)針方向.2.

基本技巧利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算;利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;利用格林公式(注意加輔助線的技巧);利用斯托克斯公式;利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.例1.計(jì)算其中G

為曲線解:

利用輪換對稱性

,

有z

ds22

2

GG

Gx

ds

=

y

ds

=利用重心公式知232(x

+

y2

+

z2

)

ds\

I

=G3=

4

π

a3zyGOx(G

的重心在原點(diǎn))CLB

O

A

x例2.計(jì)算其中L

是沿逆這說明積分與路徑無關(guān),故ABI

=

(x2

-

y)

d

x

+

(

y2

-

x)dy=-aax

d

x2時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心、a

為半徑的上半圓周.解法1

令

P

=

x2

-

y,

Q

=

y2

-

x,

則y解法2D0 d

x

d

yBA-

(x2

-

y)

d

x

+

(

y

2

-

x)

d

ya-aD=

思考:(2)若L

同例2,如何計(jì)算下述積分:I2

=

L

(x

-

y

+

y

)

d

x

+

(

y

-

x)

d

y2

2

2LI

=2

21(x

-

3

y)

d

x

+

(

y

-

x)

d

y2

332-

x

dx

=

-

a(1)若L

改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:LBAI

=

(x2

-

y)

d

x

+

(

y

2

-

x)

d

y添加輔助線段BA,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,則CyLB

O

A

x(利用格林公式)思考題解答:LI

=-

x)

d

yy)

d

x

+

(

y(x221-

3(1)=

-

L+

AB

ABD=

-2L(x2

-

y

+

y

2

)

d

x

+

(

y

2

-

x)

d

y(2)I2

=

=2

2(x

-

y)

d

x

+

(y

-

x)d

y+L

Ly

dx2a

sin

t

d

tπ03

3-333

3=

-

a

-

2a2

1=

-2a3L

:

x

=

a

cos

t,

y

=

a

sin

t,

t

:

0

fi

π2d

x

d

y

+

2

a3

=

a2

(2

a

-

π

)3

3=

IDCyLB

O

A

x證:把例3.

設(shè)在上半平面D

={(x,

y)

y

>

0}內(nèi)函數(shù)

f

(x,

y)

具有證明連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意t

>0

都有對D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L,都有兩邊對t求導(dǎo),得:則有因此結(jié)論成立.DayLB

xOA?x?Q

=

e

x

cos

y?P

=

e

x

cos

y

-

2,=

D

2d

x

d

y

+

0=

π

a2沿逆時(shí)針方向.Q

=

ex

cos

y

-

2I

=

-

L

AB

AB練習(xí)1

計(jì)算其中L為上半圓周提示:

P

=

ex

sin

y

-

2

y,?y用格林公式:練習(xí)2.設(shè)在右半平面x>0

內(nèi),力證明在此力場中令

P

=

-

k

x

,

Q

=

-

k

yr3

r3易證構(gòu)成力場,其中k

為常數(shù),場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:

F

沿右半平面內(nèi)任意有向路徑

L

所作的功為練習(xí)3.

求力沿有向閉曲線G

所作的提示:zByAxCOAB=

3

y

d

x

+

z

d

y

+

xdz=

3AB

x

d

z1=

30

(1

-

z)dz方法1利用對稱性功,其中

G

為平面

x+y+z=1被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三角形的整個(gè)邊界,

從

z

軸正向看去沿順時(shí)針方向.OBzyAx設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?/p>

,方向向上,則=

-S??dS

1

1

1

333??

x

?

y

?

zy

zxS

:

x

+

y

+

z

=1=

-S(-3)

d

S313n

=

1

(1,

1,

1)=

32方法2

利用nC斯托克斯公式y(tǒng)D

OxzS例4.

設(shè)L

是平面與柱面的交線從z

軸正向看去,L

為逆時(shí)針方向,計(jì)算解:記S

為平面上L

所圍部分的上側(cè),I

=

S

1

1

1

333S(4x

+

2

y

+

3z)

dS3=

-

2

d

S

??

z3x2

-

y2

??

y2z

2

-

x2

??

xy2

-

z

2LD為S

在xOy

面上的投影.由斯托克斯公式D

的形心x

=

y

=

0=

-2D

(x

-

y

+

6)

dxdy=

-12

D

dxdy=

-24S(4x

+

2

y

+

3z)dS3I

=

=

-

2

y

1DO

1

x二、曲面積分的計(jì)算法1.

基本方法曲面積分

第一類(對面積

第二類(對坐標(biāo)))轉(zhuǎn)化二重積分選擇積分變量—代入曲面方程

第一類:始終非負(fù)積分元素投影

第二類:有向投影確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面思考題1)二重積分是哪一類積分?答:第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問下列等式是否成立?不對

!

對坐標(biāo)的積分與

的側(cè)有關(guān)2.

基本技巧利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算注意公式使用條件利用高斯公式添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化SzyxO練習(xí):原式=3=

3

2

π

R3

-

0

=

2

π

R3S

003d

x

d

y

d

z

-

Sxdydz

+

ydzdx

+

zdxdy計(jì)算S

x

d

y

d

z

+y

d

z

d

x

+z

d

x

d

y,其中

為半球面的上側(cè).提示:以半球底面S

0為輔助面,且取下側(cè),記半球域?yàn)閃

,利用高斯公式有(常向量)則=

0=

S

(cosa

cosa

￠+

cos

b

cos

b

￠+

cosg

cosg￠)d

S=

S

cosa

dydz

+

cos

b

dzdx

+

cosg

dxdy例5.

設(shè)

為簡單閉曲面,

a

為任意固定向量,

n為

的單位外法向向量,

試證n a

dS證明:

設(shè)

n

=

(cosa

,

cos

b

,

cosg)S

Scos(

n

,a

)

d

S

=

例6.計(jì)算曲面積分x2

+y2

+z

2

,

S

:x2

+y

2

+z

2

=R2

取外側(cè).其中,

r

=解:3d

x

d

y

d

zRW=

13

x2

y2

z

2思考:

本題

改為橢球面

+

+

=1

時(shí),應(yīng)如何計(jì)算

a2

b2

c2?提示:

在橢球面內(nèi)作輔助小球面

x2

+

y

2

+

z

2

=

e2

取內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.S例7.設(shè)

是曲面S32(x2

+

y2

+

z

2

)解:取足夠小的正數(shù)e,作曲面取下側(cè)S1

:

z

=

e

2-

x2

-

y2使其包在S

內(nèi),為xOy

平面上夾于S1取上側(cè),計(jì)算I

=

x

d

y

d

z

+y

d

z

d

x

+zdx

d

y(z

?

0)

,S

與S1之間的部分,且取下側(cè),則O

S

2zyxe

3-

1

S1e

3x

d

y

d

z

+

y

d

z

d

x

+

z

d

x

d

yI

=

-

1

(-2

π

e

3

)

=

2

πSzS1O

S

2

yxS32(x2

+

y2

+

z

2

)I

=

x

d

y

d

z

+

y

d

z

d

x

+

zdx

d

yΣ1zyxO注意曲面的方向!第二項(xiàng)添加輔助面,

再用高斯公式,

得例8.計(jì)算曲面積分中

是球面

x2

+

y2

+

z

2

=

2x

+

2z

.解:I

=2

2

2S[(x

+

y

+

z

)

+2x

y

+

2

yz

]dS=

S

(2x

+

2z)

d

S

+

2S

(x

+

z)

y

dS=

2(x

+

z)

S

d

S

+

0利用對稱性用重心公式備用題

1.

已知平面區(qū)域

D

={(x,

y)

0

￡

x

￡

π,

0

￡

y

￡

π},L為D

的邊界,試證LLx

e d

x(1)x

e d

x

=sin

y

d

y

-

y

e-sin

x

-sin

yd

y

-

y

esin

x2(2)d

x

?

2

πx

esin

yd

y

-

y

e-sin

xL證:(1)根據(jù)格林公式DLx

esin

yd

y

-

y

e-sin

xL

Dd

x

=x

e d

y

-

y

e

d

x

=(

esin

y

+

e-sin

x

)

ds(

e-sin

y

+

esin

x

)

ds-sin

y

sin

xOyππ

x①②D因①、②兩式右端積分具有輪換對稱性,所以相等,從而左端相等,即(1)成立.D(2)由①式sin

yL-sin

x(

esin

y

+

e-sin

x

)

dsx

e d

y

-

y

e

d

x

=esin

xdsD

Desin

yds

=

?

D

2ds=

2

π2-sin

x

sin

x=

D

(

e

+

e

)

ds由輪換對稱性O(shè)yππ

xD(易證et

+e-t

?

2)2.

地球的一個(gè)偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R

,

衛(wèi)星距地球表面高度為

H

=0.25