第一部分教材知識梳理?系統(tǒng)復習

第一單元數(shù)與式

第1講實數(shù)

知識點一：實數(shù)的概念及分類關鍵點撥及對應舉例

(1)按定義分(2)按正、負性(1)2既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).

分(2)無理數(shù)的幾種常見形式判斷：①含”的

r正有理弭式子；②構造型:如3.010010001...(每兩

’有理數(shù)，有限小數(shù)或(正實數(shù)

個1之間多個0)就是一個無限不循環(huán)小

負有理數(shù)J無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)J0

1.實數(shù)數(shù)；③開方開不盡的數(shù)：如，；④三角函數(shù)

實數(shù)《'

型：如sin60°,tan25°.

”正無理數(shù)］負實數(shù)

1(3)失分點警示：開得盡方的含根號的數(shù)屬

、無理數(shù)《卜無限不循環(huán)小數(shù)

于有理數(shù)，如=2,=-3,它們都屬于有理數(shù).

〔負無理數(shù)J

知識點二：實數(shù)的相關概念

(1)三要素：原點、正方向、單位長度例：

2.數(shù)軸(2)特征：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；數(shù)軸右邊的點表示數(shù)軸上-2.5表示的點到原點的距離是

的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大25.

(1)概念：只有符號不同的兩個數(shù)a的相反數(shù)為-a,特別的0的絕對值是

(2)代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)0a+b=O0.

3.相反數(shù)

(3)幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距

離相等例：3的相反數(shù)是-1的相反數(shù)是1.

(1)幾何意義：數(shù)軸上表示的點到原點的距離(1)若|x|=a(a)0),則x=±a.

(2)運算性質：|a|=fa(a^O)；|a-b|=fa?b(a2b)(2)對絕對值等于它本身的數(shù)是非負

4,絕對值Lza(a<0).1b-a(a<b)數(shù).

(3)非負性：|a|20,若|a|+b2=0,則a=b=Q.例：5的絕對值是￡；|-2|=2；絕對值等

于3的是±3:11-1=1

(1)概念：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為購(aWO)例：

5.倒數(shù)(2)代數(shù)意義：ab=10a,b互為倒數(shù)-2的倒數(shù)是立2；倒數(shù)等于它本身的數(shù)

有±1.

知識點三：；科學記數(shù)法、近似數(shù)

(1)形式：aXIOn,其中iw|a|<10,n為整數(shù)例：

(2)確定n的方法：對于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)21000用科學記數(shù)法表示為2JA

6.科學記

為減去！；對于小數(shù)，寫成aX107iW|a|<10,n等于原數(shù)中104:

數(shù)法左起至第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)(含小數(shù)點前面的一19萬用科學記數(shù)法表示為1.9X105；

個)0.0007用科學記數(shù)法表示為7X10〃

(1)定義：一個與實際數(shù)值很接近的數(shù).例：

7.近似數(shù)(2)精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪3.14159精確到百分位是工精確

一位.到0.001是3.142.

知識點四：實數(shù)的大小比較

(1)數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.例：

(2)性質比較法：正數(shù)>0>負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對把1,-2,0,-2.3按從大到小的順序

&實數(shù)的

值大的反而小.排列結果為1>0>-2>-2.3.

大小比較(3)作差比較法：a-b>O?a>b；a-b=O<?a=b；a-b<O<=>a<b.

(4)平方法：a>b>00a2>b2.

知識點五：實數(shù)的1運算

乘方幾個相同因數(shù)的積；負數(shù)的偶(奇)次方為正(負)例：

9.

零次基a0=1(a7￡0)(1)計算：1-2-6=-7:(-2)2=4;

常p

負指數(shù)基a"=lZa￡(aWO,p為整數(shù))3」=1/3:n°=_1_;

見平方根、

若x2=a(a20),則x=±J?「其中《'是算術平方根.⑵64的平方根是±8.算術平方根

運算術平方根

是_8」立方根是4.

算

立方根

若x3=a,則x=Va失分點警示：類似“的算術平方根”

計算錯誤.例：相互對比填一填：16

先乘方、開方，再乘除，最后加減；同級運算，從左

10.混合運算向右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、的算術平方根是」_，的算術平方根

中括號、大括號一次進行.計算時，可以結合運算律，是_2_.

使問題簡單化

第2講整式與因式分解

一、知識清單梳理

知識點一：代數(shù)式及相關概念關鍵點撥及對應舉例

(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的

，代數(shù)字母連接而成的式子,單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.求代數(shù)式的值常運用整體代入法計算.

(2)求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算得出的結果，叫例：a-b=3,貝ij3b—3a=q.

式

做求代數(shù)式的值.

(1)單項式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫單

例：

2整式項式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項式

(1)下列式子：?-2a2;@3a-5b：③x/2;④

的次數(shù).

(單2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x?y：⑦2017.其中屬

(2)多項式：幾個單項式的和.多項式中的每一項叫做多項式的項，次數(shù)最高

項于單項式的是①③⑤⑦;多項式是②

的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).

式、⑥；同類項是①和⑤.

(3)整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

多項(2)多項式7m5n?11mn2+1是六次三項

(4)同類項：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.所有

式)式，常數(shù)項是1.

的常數(shù)項都是同類項.

知識點二：整式的運算

⑴合并同類項法則:同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的

3整式失分警示：去括號時，如果括號外面是符

指數(shù)不變.

號，一定要變號，且與括號內每一項相

的加(2)去括號法則：若括號外是“+”，則括號里的各項都不變號；若括號外是

乘，不要有漏項.

減運“一”，則括號里的各項都查號.

例：一2(3a—2b—1)=-6a+4b+2.

算(3)整式的加減運算法則：先去括號，再合并同類項.

mnn,+n

(I)同底數(shù)塞的乘法：a-a=a：(1)計算時，注意觀察，善于運用它們的

4.累運(2)幕的乘方：5尸=型；其中m,n逆運算解決問題.例：已知2m+n=2,則

(3)積的乘方：(")”=史必都在整數(shù)3X2mX2F

算法

(4)同底數(shù)基的除法：m+?！?。川〃(。于0).(2)在解決慕的運算時，有時需要先化

則

成同底數(shù).例：2m?4m=23m.

(1)單項式x單項式：①系數(shù)和同底數(shù)塞分別相乘；②只有一個字國的照抄.

(2)單項式x多項式：m(a+b)=ma+mb.失分警示：計算多項式乘以多項式時，注

(3)多項式義多項式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.意不能漏乘，不能丟項，不能出現(xiàn)變號錯.

5整式

(4)單項式+單項式：將系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相除.例：(2a—1)(b+2)=2ab+4a—b—2.

的乘(5)多項式一單項式：①多項式的每一項除以單項式；②商相加.

除運

(6)平方差公式：(a+bYa-h^a2-^.注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的

算

乘法完全平方公式：S土卯=涼±2。式+批變形公式：運用

公式a2+b2=(a±b)2+2ab,ab=[(a+b)2-(a2+b2)]/2

6.混合注意計算順序，應先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、

彳列:(a-1)2-(a+3)(a-3)-10=-2a,

運算代入替換、計算.

知識點五：因式分解

(1)定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式.

(1)因式分解要分解到最后結果不能再分

7.因式(2)常用方法：①提公因式法：ma+mb+me=Ma+/>+c).

②公式法：a2—b2=(a-\-h)(g—b)：a2±2ab+Z>2=(a±b)2.解為止，相同因式寫成事的形式；

分解(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式(2)因式分解與整式的乘法互為逆運算.

法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.

第3講分式

二、知識清單梳理

知識點一：分式的相關概念關鍵點撥及對應舉例

在判斷某個式子是否為分式時，應注意：(1)

A

(1)分式：形如萬(A,B是整式，且8中含式字母,瓊0)判斷化簡之間的式子；(2)“是常數(shù)，不是字

1.分式的

母.例：下列分式：①;②；③;④與土2,其中

概念的式子.

(2)最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.是分式是②③④;最簡分式③.

A

(1)無意義的條件：當5=0時,分式一無意義；

B失分點警示：在解決分式的值為0,求

A值的問題時，一定要注意所求得的值滿

2分式的(2)有意義的條件：當BW0時,分式￡有意義；

B足分母不為0.

意義r2_1

A例：當-~-的值為0時，則X=」.

(3)值為零的條件：當/三0,8芒0時，分式萬=0.X—1

,,..AA,CA-rC

(1)基本性質：==(C/)).

BBCB+C

由分式的基本性質可將分式進行化簡：

基本性(2)由基本性質可推理出變號法則為：

3.Y~—1Y一1

例：化簡：2c

質A_-A_/一-Zx+2x+1x+1

B~-B~B'B~B~-B

知識點三：分式的運算

(1)約分(可化簡分式)：把分式的分子和分母中的公因式約

分式通分的關鍵步驟是找出分式的最

去，

簡公分母，然后根據(jù)分式的性質通分.

即絲，；

4分式的

bmb例：分式一一和丁二的最簡公分

約分和(2)通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質，把異分母的x+xx(x-l)

通分

分式化為同分母的分式，即竺，㈣

母為x(d—i).

babehe

(1)同分母：分母不變，分子相加減.即4=3;

CCC

例：——+=—1.

5分式的(2)異分母:先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.即祥=x-11-x—

112a

加減法-----1----=-----.

ad±beQ+1a-\a2-1

bd-

⑴乘法：甘=詈;(2)除法：.+,=

7_121

bdbdbdbe例：K----；—；------2y；

6.分式的12xxy

(3)乘方：U(〃為正整數(shù)).

乘除法丫=27

）衛(wèi)

(1)僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要失分點警示：分式化簡求值問題，要先將分式

Z分式的先分解后約分.化簡到最簡分式或整式的形式,再代入求值.代

(2)含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應用.一般先算乘入數(shù)值時注意要使原分式有意義.有時也需運用

混合運算

方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號里面的.到整體代入.

第4講二次根式

三、知識清單梳理

知識點一：二次根式關鍵點撥及對應舉例

(1)二次根式的概念：形如而(e0)的式子.失分點警示：當判斷分式、二次根式組成的

復合代數(shù)式有意義的條件時，注意確保各部

(2)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.

分都有意義，即分母不為0,被開方數(shù)大于等

1.有關概念(3)最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

于0等.例：若代數(shù)式」」一有意義,則X

式(分母中不含根號)；②被開方數(shù)中不含能開得盡方Vx-1

的因數(shù)或因式的取值范圍是x>L

(1)雙重非負性：利用二次根式的雙重非負性解題：

①被開方數(shù)是非負數(shù)，即介0：(1)值非負:當多個非負數(shù)的和為0時，可得

②二次根式的值是非負數(shù)，即&K).各個非負數(shù)均為0.如JH+Je

2二次根式

=0,則a=J.,b=l，

的性質

注意：初中階段學過的非負數(shù)有：絕對值、偶幕、算式平(2)被開方數(shù)非負:當互為相反數(shù)的兩個數(shù)同

時出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時，可得

方根、二次根式.

這一對相反數(shù)的數(shù)均為0.如己知b=

Ja-1+Jl-a，貝ija=l,b=0.

(2)兩個重要性質：

例：計算：

廠…r-(a>0)

①(而尸=《(介0)；②亞=回=；AM=3.14：J(-2)2=2；

-a(a<0)

(3)積的算術平方根：4ab=4a.y/b(a>0,后0)；

@=.=2.、3半二

(4)商的算術平方根：(壯°，6>0).

知識點二：二次根式的運算

3二次根式的先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二

例：計算：72-^+732=372.

次根式.

加減法

(1)乘法：Va.\fb=y[ab(6T>0,Z?>0);

注意：將運算結果化為最簡二次根式.

4二次根式的

例：計算：圖|=L等序備

乘除法(2)除法：(”K),b>0).

運算時，注意觀察，有時運用乘法公式

5二次根式的運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，會使運算簡便.

最后算加減，有括號的先算括號里面的(或先去括號).

混合運算例:計算：(3+1)(O-1)=1_.

第二單元方程(組)與不等式(組)

第5講一次方程(組)

四、知識清單梳理

知識點一：方程及其相關概念關鍵點撥及對應舉例

(1)性質1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式，所得結果

仍是等式.即若。=6,則tz±c=b吐.失分點警示：在等式的兩邊同除以

(2)性質2：等式兩邊同乘(或除)同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),一個數(shù)時，這個數(shù)必須不為0.

1.等式的基

例：判斷正誤.

所得結果仍是等式.即若。=6,則ac=",-=-(c#0).

本性質cc⑴若a=b,則a/c=b/c.(X)

(3)性質3：(對稱性)若a=b,則b=a.(2)若a/c=b/c,貝Ua=b.(J)

(4)性質4：(傳遞性)若a=b,b=c,則a=c.

(1)一元一次方程：只含有二個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是

2.關于方程在運用一元一次方程的定義解題

1,且等式兩邊都是整式的方程.

時，注意一次項系數(shù)不等于0.

的基本概念(2)二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次

數(shù)都是1的整式方程.

例：若(a-2)x""+a=0是關于x的

(3)二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的

一組方程.

一元一次方程，則a的值為。.

(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共

解.

知識點二：解一元一次方程和二元一次方程組

(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)

項；

失分點警示：方程去分母時，應該

3.解一元一(2)去括號：括號外若為負號，去括號后括號內各項均要變號；

將分子用括號括起來，然后再去括

(3)移項：移項要變號；

次方程的步驟號，防止出現(xiàn)變號錯誤.

(4)合并同類項：把方程化成ax=-b(a/O)；

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.

思路：消元，將二元一次方程轉化為一元一次方程.已知方程組，求相關代數(shù)式的值

方法：時，需注意觀察，有時不需解出方

4.二元一次(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再程組，利用整體思想解決解方程組.

把“它”代入另一個方程，進行求解；例：已知px-y=9則x_y的值為

方程組的解法

(2)加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個[x-2y=3

未知數(shù)的方法.x-y=4.

知識點三：一次方程(組)的實際應用

(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；(1)設未知數(shù)時，一般求什么設什么，

(2)設未知數(shù)；但有時為了方便，也可間接設未知數(shù).如題

5.列方程(組)

(3)列方程(組)：找出等量關系，列方程(組)；目中涉及到比值，可以設每一份為X.

解應用題的(4)解方程(組)：(2)列方程(組)時，注意抓住題目中

一般步驟(5)檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；的關鍵詞語，如共是、等于、大(多)多

(6)作答：規(guī)范作答，注意單位名稱.少、小(少)多少、幾倍、幾分之幾等.

(1)利潤問題：售價=標價X折扣，銷售額=售價X銷量，利潤=售價-進價，利潤率=利潤/進價X

100%.

(2)利息問題：利息=本金X利率X期數(shù)，本息和=本金+利息.

6常見題型

(3)工程問題：工作量=工作效率X工作時間.

及關系式(4)行程問題：路程=速度義時間.①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及問題：a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發(fā)：前者走的路

程+兩地間距離=追者走的路程.

第6講一元二次方程

五、知識清單梳理

知識點一：一元二次方程及其解法關鍵點撥及對應舉例

(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.

1.一元二例：方程""+2=0是關于x的

(2)一般形式：ax2-\-bx-￥c—0(<#0).其中加、bx、c分別叫做二次項、

一元二次方程，則方程的根為二L.

次方程的一次項、常數(shù)項，6、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)

相關概念項.

(1)直接開平方法：形如(x+加)2=〃(〃20)的方程，可直接開平方求解一元二次方程時，注意觀

2一元二

次方程解.察，先特殊后一般，即先考

的解法(2)因式分解法：可化為(辦+用)(反+〃尸0的方程，用因式分解法求解.慮能否用直接開平方法和因

(3)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式為x=式分解法，不能用這兩種方

心blacgacNO),法解時，再用公式法.

2a例：把方程x2+6x+3=0變形

(4)配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)時，為(x+h)2=k的形式后，h=二

也可以考慮用配方法.3,k=6.

知識點二：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系

例：方程V+2工-1=0的判別

⑴當A=/一4?？?時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

式等于8,故該方程有兩個不相等

3根的判(2)當/=/—4“c：0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根.

的實數(shù)根；方程/+2x+3=0

別式

(3)當/=〃-4死人時，原方程沒有實數(shù)根.

的判別式等于二^故該方程沒直

實數(shù)根.

(1)基本關系：若關于x的一元二次方程ax2+6x+c=0(aW0)有兩個根與一元二次方程兩根相關代數(shù)式的

分別為XI、M,則X1+X2=2地內檢氣②注意運用根與系數(shù)關系的前提條常見變形：

(X|+1)(X+1)=X|x+(x|+X)+1,X|2+X2

*4.根與系件是00.2222

=(X|+X)2-2X]X2,11再+X2等.

(2)解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數(shù)式的值2+=

數(shù)的關X[與X{x2

時，先把所求代數(shù)式變形為含有XI+X2、X1X2的式子，再運用根與系

系失分點警示

數(shù)的關系求解.在運用根與系數(shù)關系解題時，注意

前提條件時Z\=b2~4ac20.

知識點三：一元二次方程的應用

(1)解題步驟：①審題；②設未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一

元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答.

(2)應用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應

用.

4.列一元①平均增長率(降低率)問題：公式：b=a(\±x)",a表示基數(shù)，X表運用一元二次方程解決實際

示平均增長率(降低率)，〃表示變化的次數(shù)，6表示變化〃次后的問題時，方程一般有兩個實

二次方

里；數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢

程解應

②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本XI()0%；驗根是否有意義.

用題

③傳播、比賽問題：

④面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形

通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關系列方程.

第7講分式方程

六、知識清單梳理

知識點一：分式方程及其解法關關鍵鍵點點撥撥及及對對應應舉舉例例

例：在下列方程中，①X?+1=0；②

1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.x+y=-4；③」_=》，其中是分式方程的

X—1

是③.

方程兩邊同乘以

最簡公分母

基本思路：分式方程A整式方程

約去分母12

例：將方程」_+，_=2轉化為整式方程

2.解分式方程X—11-X

解法步驟：

可得：1—2=2(x—1).

(1)去分母，將分式方程化為整式方程；

(2)解所得的整式方程；

(3)檢驗：把所求得的x的值代入最簡公分母中，若

最簡公分母為0,則應舍去.

例：若分式方程」-=0有增根，則增根為

3.增根使分式方程中的分母為0的根即為增根.