關(guān)于功動能定理機械能守恒第1頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三§

3-1功動能定理機械能守恒定律§3-2動量動量定理動量守恒定律§3-3角動量角動量定理角動量守恒定律§3-4質(zhì)心運動定理第2頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三一、功與能量物體在力的作用下發(fā)生一無限小的位移(元位移)時，此力對它做的功定義為可以寫成兩個矢量的標(biāo)積：功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率：單位：J/s(W)（為力與位移的夾角）§3-1功動能定理機械能守恒定律第3頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三能量是反映各種運動形式共性的物理量，各種運動形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運動形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。與機械運動直接相關(guān)的能量是機械能，它是物體機械運動狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動能和勢能。能量能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。第4頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三二、動能定理設(shè)質(zhì)點在變力的作用下沿曲線從a點移動到b點，變力所做的功為：由牛頓第二定律：第5頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三定義質(zhì)點的動能（kineticenergy）：則有動能定理（theoremofkineticenergy）：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。

3.功是一個過程量，而動能是一個狀態(tài)量。1.

與參考系有關(guān)，動能定理只在慣性系中成立。2.4.微分形式：第6頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三例3-1裝有貨物的木箱，重量G=980N，要把它運上汽車?，F(xiàn)將長l=3m的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成30°角，木箱與斜面間的滑動摩擦因數(shù)=0.20，繩的拉力與斜面成10°角，大小為700N。求：（1）木箱所受各力所做的功；（2）合外力對木箱所做的功；（3）如改用起重機把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？第7頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三木箱所受的力分析如圖所示。拉力F所做的功重力所做的功解：（1）每個力所做的功：正壓力所做的功第8頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三根據(jù)牛頓第二定律：摩擦力所做的功：（2）合力所做的功：第9頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三（3）如改用起重機把木箱吊上汽車。所用拉力F'至少要等于重力。這時拉力所做的功為等于重力所做的功，而符號相反，這時合外力所做的功為零。與（1）中F做的功相比較，用了起重機能夠少做功。（1）中推力F所多做的功：其中，435J的功用于克服摩擦力，轉(zhuǎn)變成熱量；余下165J的功將使木箱的動能增加。第10頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三例3-2柔軟均質(zhì)物體以初速v0送上平臺，物體前端在平臺上滑行s距離后停止。設(shè)滑道上無摩擦，物體與臺面間的摩擦因數(shù)為，且s＞Ｌ，求初速度v0。解：第11頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三由動能定理：第12頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三1、保守力與非保守力

根據(jù)各種力做功的特點，可將力分為保守力和非保守力。保守力（conservativeforce）：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力（non-conservativeforce）：如：摩擦力、回旋力等。做功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力。三、保守力成對力的功勢能第13頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三（1）重力的功重力做功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點沿任一曲線移動到b點。在元位移中，重力所做的元功為第14頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三如果物體沿閉合路徑abcda運動一周，容易計算重力所做的功為：討論表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或第15頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三（2）彈性力的功彈性力做功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點m，當(dāng)質(zhì)點由a點運動到b點的過程中：第16頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三（3）萬有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點在m'

的引力場中從a點運動到b點。萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無關(guān)，萬有引力是保守力！第17頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三（4）摩擦力的功摩擦力做功與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力！質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線路徑從a點運動到b點，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為，其中sab為物體經(jīng)過的路程，與物體的運動路徑有關(guān)。第18頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三2、成對力的功

設(shè)有兩個質(zhì)點m1和m2，存在一對相互作用力和。在dt時間內(nèi)分別經(jīng)過元位移和，這一對力所做的元功為相對元位移第19頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三成對力的功：討論(1)成對作用力和反作用力所做的總功只與作用力及相對位移有關(guān)，而與每個質(zhì)點各自的運動無關(guān)。(2)質(zhì)點間的相對位移和作用力都是不隨參考系而變化的，因此，任何一對作用力和反作用力所做的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。(3)可以由相對位移來分析系統(tǒng)中成對內(nèi)力的功。第20頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三3、勢能與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢能（potentialenergy），常用Ep表示。保守力的功是勢能變化的量度：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Epa、Epb之差等于質(zhì)點由a點移動到b點過程中保守力做的功Aab：

成對保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢能的減少。保守力的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與參照系無關(guān)。第21頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三彈性勢能重力勢能引力勢能如：若選勢能零點第22頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能零點而言。勢能零點可以任意選取。勢能差有絕對意義。勢能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。說明已知勢能函數(shù)，可以計算保守力。由又保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢能對此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。第23頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三勢能曲線（1）根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動。（2）利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。第24頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三解：例3-3已知雙原子分子的勢函數(shù)為，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖所示，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時的兩原子距離；(4)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。(1)當(dāng)動能Ek=0時，Ep為最大，兩原子之間有最小距離：第25頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時的兩原子距離第26頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三在位置x1處，保守力F為零。在勢能曲線的拐點位置x2處，保守力F有最小值。(4)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。第27頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三1、質(zhì)點系的動能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點m1和m2組成，對質(zhì)點1和2分別應(yīng)用動能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai四、質(zhì)點系的功能原理機械能守恒定律第28頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三質(zhì)點系的動能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。第29頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三2、質(zhì)點系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：質(zhì)點系的功能原理：當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時，它的機械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動能定理比較，運用功能原理時由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢能的變化所代替，因此不必再計算保守內(nèi)的功。第30頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三例3-4一汽車的速度v0=36km/h，駛至一斜率為0.010的斜坡時，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？解法一：取汽車為研究對象。受力分析如圖所示。解：設(shè)汽車能沖上斜坡的距離為s，此時汽車的末速度為0。根據(jù)動能定理：第31頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三解法二：取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對象，運用系統(tǒng)的功能原理：以下同解法一。第32頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三物體受力：重力的作用、摩擦力和正壓力。用功能原理進行計算，把物體和地球作為系統(tǒng)。例3-5

如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。第33頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三3、機械能守恒定律若由質(zhì)點系的功能原理：則機械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）：如果系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力與外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但機械能的總值保持不變。第34頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三4、能量守恒定律對孤立系統(tǒng)：能量守恒定律（lawofconservationofenergy）：一個孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個物體傳給另一個物體。它是自然界最普遍的定律之一。則由質(zhì)點系的功能原理：第35頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三例3-6起重機用鋼絲繩吊運一質(zhì)量為m的物體，以速度v0做勻速下降，如圖所示。當(dāng)起重機突然剎車時，物體因慣性進行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長？(設(shè)鋼絲繩的勁度系數(shù)為k，鋼絲繩的重力忽略不計。)這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？第36頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三研究物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的機械能守恒。解：首先討論起重機突然停止的瞬時位置處的機械能，設(shè)物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，并以這最低位置作為重力勢能的零點，則有設(shè)這時鋼絲繩的伸長量為x0，則有第37頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三再討論物體下降到最低位置時的機械能：機械能守恒：物體做勻速運動時，鋼絲繩的伸長量x0滿足第38頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三最低位置時相應(yīng)的伸長量x=x0+h是鋼絲繩的最大伸長量，所以鋼絲繩所受的最大拉力第39頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三1.第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為mE，人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球做勻速圓周運動，求其發(fā)射速度。設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運動速度為v。機械能守恒：萬有引力提供向心力：例3-7討論宇宙速度第40頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三得第一宇宙速度：第41頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三2.第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度。(1)脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或等于零。(2)脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。由機械能守恒：得第42頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三3.第三宇宙速度物體相對太陽的速度為物體脫離太陽引力所需的最小速度應(yīng)滿足地球相對太陽的速度：物體相對于地球的發(fā)射速度：第43頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三