高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第1頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第1頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析新課標高中數學教材上就函數的性質著重講解了單調性、奇偶性、周期性，但在考試測驗甚至高考中不乏對函數對稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對稱性，因為教材上對它有零散的介紹，例如二次函數的對稱軸，反比例函數的對稱性，三角函數的對稱性，因而考查的頻率一直比較高。一、對稱性的概念及常見函數的對稱性1、對稱性的概念：①函數軸對稱：如果一個函數的圖像沿一條直線對折，直線兩側的圖像能夠完全重合，則稱該函數具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數的對稱軸。②中心對稱：如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心。2、常見函數的對稱性（所有函數自變量可取有意義的所有值）①常數函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。②一次函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。③二次函數：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為abx2-=。④反比例函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。⑤指數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。⑥對數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。⑦冪函數：顯然冪函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點；冪函數中的偶函數是軸對稱，對稱軸是y軸；而其他的冪函數不具備對稱性。⑧正弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中（kπ，0）是它的高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第2頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第2頁。2ππ+=kx是它的對稱軸。⑨正弦型函數：正弦型函數y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫坐標，縱坐標當然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸；需要注意的是如果圖像向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱坐標會跟著變化。⑩余弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，)0,2(ππ+k是它的對稱中心。（11）正切函數：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中)0,2(πk是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是（kπ,0）。（12）對號函數：對號函數y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函數所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸。（13）三次函數：顯然三次函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數是否具備對稱性得因題而異。（14）絕對值函數：這里主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函數，它會關于y軸對稱;后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。二、函數的對稱性猜測：1、具體函數特殊的對稱性猜測①一個函數一般是不會關于x軸對稱，這是由函數定義決定的，因為一個x不會對應兩個y的值。但一個曲線是可能關于x軸對稱的。例1、判斷曲線xy42=的對稱性。②函數關于y軸對稱例2、判斷函數y=cos(sinx)的對稱性。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第3頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第3頁。例3、判斷函數xxysin3?=的對稱性。④函數關于y=x對稱例4、判斷函數xy1=的對稱性。⑤函數關于y=-x對稱例5、判斷函數xy4-=的對稱性?？偨Y為：設（x,y）為原曲線圖像上任一點，如果（x,-y）也在圖像上，則該曲線關于x軸對稱；如果（-x,y）也在圖像上，則該曲線關于y軸對稱；如果（-x,-y）也在圖像上，則該曲線關于原點對稱；如果（y,x）也在圖像上，則該曲線關于y=x對稱；如果（-y,-x）也在圖像上，則該曲線關于y=-x軸對稱。2、抽象函數的對稱性猜測①軸對稱例6、如果函數y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函數的所有對稱軸。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函數關于x=2.5對稱）例7、如果函數y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函數的所有對稱軸。（按上例一樣的方法可以猜出對稱軸為x=0，可見偶函數是特殊的軸對稱）例8、如果f(x)為偶函數，并且f(x+1)=f(x+3)，求該函數的所有對稱軸。（因為f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對稱軸x=-1，又因為它以2為周期，所以x=k是它所有的對稱軸，k∈Z）②中心對稱例9、如果函數y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函數的對稱中心。（因為自變量加起來為7時函數值的和始終為6，所以中點固定為（3.5，3），這就是它的對稱中心）例10、如果函數y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函數的所有對稱中心。（按上例一樣的方法可以猜出對稱中心為（0，0），可見奇函數是特殊的中心對稱）例11、如果f(x)為奇函數，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函數的所有對稱中心和對稱軸。（由周期性高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第4頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第4頁?？偨Y為：①當括號里面x前面的符號一正一負時就是對稱性,其中的對稱軸為多少可以用特殊值代入來猜測,這里并不主張記結論，因為很容易與后面的結論相混淆。②而當x前面的符號相同時就是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告訴我們它以6為周期。③當x前面的符號相同，同時告訴奇偶性時也可以推出對稱性，因為奇偶性有制造負號的能力。3、兩個抽象函數之間的對稱性猜測例12、求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對稱軸方程。（當第一個函數的x取0時，值為f(2),這時第二個函數的x必須取-1才也對應那么多，他們的正中間為-1.5，因而猜測對稱軸為x=-1.5）總結為：①當括號里面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性，其中的對稱為多少仍然可以用特殊值代入來猜測,仍然不主張記結論，因為很容易與前面的結論相混淆。②而當x前面的符號相同時告訴的是圖像平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)，前者是由后者向左移三個單位得到。三、對稱性的證明如果在解答大題時僅僅猜測出結論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。1、一個函數的對稱性證明例13、證明若函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函數關于直線2bax+=對稱。證明：在y=f(x)上任取點（m，n），則n=f(m)，而點（m，n）關于2bax+=的對稱點為（a+b-m，n）,又因為f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,這正表明（a+b-m，n）也在原函數圖像上，從而原高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第5頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第5頁。bax+=對稱?？偨Y為：核心是相關點法，即在函數上任取一點，對稱點如果仍在函數圖像上，就可以下結論該函數關于它對稱。2、兩個函數之間的對稱性的證明例14、證明函數y=f(a+x)與函數y=f(b-x)關于直線2abx-=對稱。（注意不是2bax-=,證明的方法類似于上例方法）總結為：仍是相關點法，但是多一次，需在函數上任取一點，對稱點如果在對方函數圖像上，同時在對方函數上任取一點，對稱點又在該函數圖像上，才可以下結論該函數關于它對稱。取兩次的原因是以免兩個圖像一個只是另一個對稱過來圖像的一部分。3、特別地關于y=x對稱性的證明例15、證明2312-+=xxy關于y=x對稱。（只需求出它的反函數是自己即可）總結為：①一個函數自身關于y=x對稱不需要用上面的相關點法，只需要證明它的反函數是自己就可以了。②兩個函數關于y=x對稱性證明也不需要用上面那么繁瑣的方法，只需證明兩個函數互為反函數，即求一個的反函數為另外一個就可以了。③反過來這句話也成立，如果需要證明兩個函數互為反函數，只需要證明它們的圖像關于y=x對稱即可。四、對稱性的運用1、求值例16、已知144)(+=xxxf,f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。（只需要考慮當兩個自變量加起來為0時函數值的和是否為定值，驗證果然。而這里顯然隱含的是函數的對稱性）高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第6頁。高中數學函數的對稱性知識點講解及典型習題分析全文共6頁，當前為第6頁。2、“對稱性+對稱性”可以推導出周期性例17、如果函數y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函數的最小正周期。（因為f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期為4）總結為：兩個對稱性拼起來就可以將里面的符號化為同號，從而得出周期性。3、“奇偶性+對稱性”可以推導出周期性這在前面已經提到，還是因為奇偶性有制造負號的能力。4、三角函數的奇偶性例18、如果函數)42sin(3πθ++=xy（其中0<θ<π）是奇函數，求θ的值。(2x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以θ+π/4=kπ，在要求的范圍上只有θ=3π/4)總結為：幾乎所有的三角函數的奇偶性都是當對稱性來使用，先求出所有的對稱軸，然后y軸是其中的一條（或者先求出所有的對稱中心，然后原點是其中的一個）。5、關于y=x對稱的應用例19、求函數1)(+=xexf與函數g(x)=ln(x+1)的對稱軸方程。（因為f(x)=e^x與g(x)=lnx互為反函數，關于y=x對稱，而f(