平面向量的線性運(yùn)算【知識(shí)梳理】1.向量的有關(guān)概念(1)向量的定義:既有_____,又有_____的量叫向量,常用a或表示.(2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向線段的_____叫做向量的模,記作|a|或||.大小方向長(zhǎng)度(3)幾個(gè)特殊向量特點(diǎn)名稱長(zhǎng)度(模)方向零向量0_____單位向量__任意相等向量相等_____相反向量__________平行向量___________任意1相同相等相反相同或相反2.向量的加法、減法與數(shù)乘定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算_______法則___________法則(1)交換律:a+b=____(2)結(jié)合律:(a+b)+c=________三角形平行四邊形b+aa+(b+c)定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法向量a加上向量b的__________叫做a與b的差,即a+(-b)=a-b_______法則a-b=a+(-b)相反向量三角形定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)_____,記作λa(1)模:|λa|=|λ||a|(2)方向:當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向_____當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向_____當(dāng)λ=0時(shí),λa=0設(shè)λ,μ是實(shí)數(shù).(1)________=(λμ)a(2)(λ+μ)a=________(3)λ(a+b)=________向量相同相反λ(μa)λa+μaλa+λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使______.b=λa【特別提醒】1.三個(gè)常用的結(jié)論(1)零向量與任何向量共線.(2)平行向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)若存在非零實(shí)數(shù)λ,使得或或,則A,B,C三點(diǎn)共線.2.兩個(gè)注意點(diǎn)(1)作兩個(gè)向量的差時(shí),要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn).(2)在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè).例1.如圖所示，求作向量和a+b+c.【小題快練】鏈接教材練一練1.(必修4P78習(xí)題2.1A組T5改編)已知△ABC,設(shè)D是BC邊的中點(diǎn),用與表示向量,則=

.【解析】如圖,=答案:2.(必修4P92習(xí)題2.2B組T5改編)在平行四邊形ABCD中,若||=||,則四邊形ABCD的形狀為

.【解析】如圖,因?yàn)樗詜|=||.由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知,四邊形ABCD是矩形.答案:矩形感悟考題試一試3.(2016·濰坊模擬)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

則(

)【解析】選B.如圖,根據(jù)向量加法的幾何意義,?P是AC的中點(diǎn),故例2(1)設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使成立的充分條件是(

)A.|a|=|b|且a∥bB.a=-bC.a∥bD.a=2b(2)已知下列結(jié)論:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②非零向量a與b同向是a=b的必要不充分條件;③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是④λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中正確的序號(hào)為

.【解題導(dǎo)引】(1)利用單位向量與向量相等的概念求解.(2)利用共線向量定理及向量相等的概念逐一判斷.【規(guī)范解答】(1)選D.由表示與a同向的單位向量,

表示與b同向的單位向量,故只要a與b同向即可,觀察可知D滿足題意.(2)對(duì)于①,當(dāng)b=0時(shí),條件滿足但結(jié)論不成立;對(duì)于②,因?yàn)橄蛄縜與b都是非零向量,所以該命題是正確的;對(duì)于③,四邊形是大前提,當(dāng)時(shí),即AB∥DC,且AB=DC,所以四邊形ABCD是平行四邊形,反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則,所以③正確;對(duì)于④,當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可為任意向量,不一定共線,所以④不正確.答案:②③【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò).(1)不清楚表示何種向量,不知道是a方向上的單位向量.(2)求解時(shí)易忽視兩向量是同向還是反向,是共線還是相等.【規(guī)律方法】把握向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)定義:方向和長(zhǎng)度.(2)非零共線向量:方向相同或相反,長(zhǎng)度沒(méi)有限制.(3)相等向量:方向相同且長(zhǎng)度相等.(4)單位向量:方向沒(méi)有限制,但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.(5)零向量:方向沒(méi)有限制,長(zhǎng)度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線.【變式訓(xùn)練】設(shè)a0為單位向量,下述命題中:①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|·a0;②若a與a0平行,則a=|a|·a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是(

)A.0B.1C.2D.3【解析】選D.向量是既有大小又有方向的量,a與|a|·a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反向時(shí)a=-|a|·a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.【加固訓(xùn)練】1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)為(

)①有向線段就是向量,向量就是有向線段;②向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;③向量與向量共線,則A,B,C,D四點(diǎn)共線;④如果a=b,b=c,那么a=c.A.1

B.2

C.3

D.0【解析】選A.①不正確,向量可以用有向線段表示,但向量不是有向線段,有向線段也不是向量;②不正確,若a與b中有一個(gè)為零向量,零向量的方向是不確定的,故兩向量方向不一定相同或相反;③不正確,共線向量所在的直線可以重合,也可以平行;④正確,因?yàn)閍=b,b=c,由相等向量的概念可知a與c方向相同,大小相等,故a=c.2.(2016·南昌模擬)下列關(guān)于向量的敘述不正確的是(

)A.向量的相反向量是B.模長(zhǎng)為1的向量是單位向量,其方向是任意的C.若A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,且AB=CD,則D.若向量a與b滿足關(guān)系a+b=0,則a與b共線【解析】選C.A,B顯然正確;對(duì)于C,如圖,A,B,C,D四點(diǎn)滿足條件,但,所以C不正確;對(duì)于D,由a+b=0,得b=-a,由共線向量定理知,a與b共線,所以D正確.例3(1)(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則=(

)(2)(2015·北京高考)在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足若則x=

,y=

.【解題導(dǎo)引】(1)結(jié)合圖形和三角形法則求解.(2)結(jié)合圖形利用向量線性運(yùn)算的法則求解.【規(guī)范解答】(1)選A.如圖所示,(2)由得所以所以答案:

【規(guī)律方法】1.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況:可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解.2.利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形,確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.(3)比較,觀察可知所求.【變式訓(xùn)練】(2016·濟(jì)南模擬)已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P滿足則實(shí)數(shù)λ的值為

.【解析】因?yàn)樗运运砸驗(yàn)樗驭?-2.答案:-2【加固訓(xùn)練】1.(2016·樂(lè)山模擬)如圖,點(diǎn)M是△ABC的重心,=

則x+y=

(

)A.B.1C.D.2【解析】選D.由題意,得點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),所以因?yàn)辄c(diǎn)M是△ABC的重心,所以又，所以x=y=1.故x+y=2.2.(2016·廈門(mén)模擬)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則=

(

)【解析】選C.設(shè)a=,以O(shè)P,OQ為鄰邊作平行四邊形,則夾在OP,OQ之間的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量即為向量a=

因?yàn)閍和長(zhǎng)度相等,方向相同,所以a=,故選C.3.(2016·亳州模擬)下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是(

)【解析】選D.顯然由得不出所以不能化簡(jiǎn)為的式子是D.例4(1)(2016·東營(yíng)模擬)已知向量a與b不共線,若λa+b與a+λb共線,則λ=

.(2)如圖,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),①用a,b表示向量②求證:B,E,F三點(diǎn)共線.【解題導(dǎo)引】(1)利用共線向量定理及向量相等的概念求解.(2)①利用線性運(yùn)算幾何意義求解.②利用共線向量定理得出.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)棣薬+b與a+λb共線,所以存在實(shí)數(shù)x,使λa+b=x(a+λb),即λa+b=xa+xλb.因?yàn)閍與b不共線,所以即λ2=1,所以λ=±1.答案:±1(2)①由已知可得:(a+b),因?yàn)樗?·(a+b)=(a+b),②由得又有公共點(diǎn)B,故B,E,F三點(diǎn)共線.【規(guī)律方法】共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線:對(duì)于向量a,b,若存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,則a與b共線.(2)證明三點(diǎn)共線:若存在實(shí)數(shù)λ,使,則A,B,C三點(diǎn)共線.(3)求參數(shù)的值:利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.提醒:證明三點(diǎn)共線時(shí),需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).【變式訓(xùn)練】(2016·臨沂模擬)設(shè)e1,e2為兩不共線的向量,則a=e1+λe2與b=-(2e2-3e1)共線的條件是(

)【解析】選C.e1,e2為兩不共線的向量,a=e1+λe2與b=-(2e2-3e1)共線,可得e1+λe2