工程數(shù)學(xué)

第7講本文件可從網(wǎng)址(單擊ppt講義后選擇'工程數(shù)學(xué)'子目錄)123由此,當(dāng)zz0時(shí),得而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn). [證畢]這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.4565.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)如果函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,稱(chēng)點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn).78規(guī)定,如果t=0是j(t)的可去奇點(diǎn),m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則稱(chēng)點(diǎn)z=是f(z)的可去奇點(diǎn),m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).

由于f(z)在R<|z|<+內(nèi)解析,所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù),根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R<|z|<+內(nèi)繞原點(diǎn)任何一條簡(jiǎn)單正向閉曲線9如果在級(jí)數(shù)(5.1.6)中i)不含負(fù)冪項(xiàng),ii)含有有限多的負(fù)冪項(xiàng),且t-m為最高冪,iii)含有無(wú)窮多的負(fù)冪項(xiàng),則t=0是j(t)的i)可去奇點(diǎn),ii)m級(jí)極點(diǎn),iii)本性奇點(diǎn).10因此,在級(jí)數(shù)(5.1.5)中,

i)不含正冪項(xiàng);

ii)含有限多的正冪項(xiàng),且zm為最高冪;

iii)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng);

則z=是f(z)的

i)可去奇點(diǎn);

ii)m級(jí)極點(diǎn);

iii)本性奇點(diǎn).11121314§2留數(shù)151.留數(shù)的定義及留數(shù)定理如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,那末根據(jù)柯西-古薩基本定理但是,如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C的積分一般就不等于零.16因此將f(z)在此鄰域內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)

f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...

后,兩端沿C逐項(xiàng)積分,右端各項(xiàng)積分除留下

c-1(z-z0)-1的一項(xiàng)等于2pic-1外,其余各項(xiàng)積分都等于零,所以其中c-1就稱(chēng)為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即17定理一(留數(shù)定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC18[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡(jiǎn)單閉曲線Ck圍繞起來(lái),則根據(jù)復(fù)合閉路定理有19求函數(shù)在奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)中c-1(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)即可.但如果知道奇點(diǎn)的類(lèi)型,對(duì)求留數(shù)可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0,因?yàn)榇藭r(shí)f(z)在z0的展開(kāi)式是泰勒展開(kāi)式.如果z0是本性奇點(diǎn),則沒(méi)有太好的辦法,只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi).如果z0是極點(diǎn),則有一些對(duì)求c-1有用的規(guī)則.202.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則

規(guī)則1如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則規(guī)則2如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則21事實(shí)上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...

+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],因此即得(5.2.5),當(dāng)m=1時(shí)就是(5.2.4)222324由規(guī)則1,得25我們也可以用規(guī)則III來(lái)求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡(jiǎn)單些.26272829303.在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,則積分的值與C無(wú)關(guān),稱(chēng)其為f(z)在點(diǎn)的留數(shù),記作積分路線的方向是負(fù)的.31定理二如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零.

[證]除點(diǎn)外,設(shè)f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為zk(k=1,2,...,n).又設(shè)C為一條繞原點(diǎn)的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義,有323334§3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用351.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù).令z=eiq,則dz=ieiqdq,36其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為零,根據(jù)留數(shù)定理有其中zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).37例1計(jì)算的值.[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0qp內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此38在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級(jí)極點(diǎn),z=p為一級(jí)極點(diǎn).394041取積分路線如圖所示,其中CR是以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線內(nèi).z1z2z3yCR-RROx42此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.434445463.形如的積分當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí),積分