數(shù)值求積公式及代數(shù)精度數(shù)值求導(dǎo)方法與截?cái)嗾`差一階常微分方程數(shù)值法局部截?cái)嗾`差與精度《數(shù)值分析》典型例題

IV典型例題與習(xí)題4插值型求積公式:求積系數(shù)求積余項(xiàng)等距結(jié)點(diǎn)插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式,偶數(shù)階Newton-Cotes公式至少有(n+1)階代數(shù)精度2/16求積結(jié)點(diǎn)典型例題與習(xí)題41.梯形公式復(fù)合梯形求積公式

令h=(b-a)/n求積余項(xiàng)3/162.辛卜生公式典型例題與習(xí)題4求積余項(xiàng):

兩點(diǎn)高斯型數(shù)值求積公式4/16練習(xí):復(fù)合辛卜生公式求積余項(xiàng)?典型例題與習(xí)題4一階向前差商一階向后差商二階中心差商一階中心差商5/16典型例題與習(xí)題4外推算法練習(xí)：二階中心差商的外推公式？6/16典型例題與習(xí)題41.Euler方法

常微分方程初值問題2.梯形公式:

7/16典型例題與習(xí)題4預(yù)測-校正公式局部截?cái)嗾`差設(shè)

yn=y(xn),稱Rn+1=y(xn+1)-yn+1為局部截?cái)嗾`差常表示為:O(hp+1)，

p稱為單步法的精度階數(shù)又稱為修正的Euler公式

yn+1=yn+0.5h[k1+k2]k1=f(xn,yn),k2=f(xn+h,yn+hk1)8/16典型例題與習(xí)題4Ex1.推導(dǎo)左矩形求積公式

令F(u)=F(a)+(u-a)F’(a)+0.5(u-a)2F”()練習(xí):9/16典型例題與習(xí)題4Ex3.求復(fù)合中矩形公式的求積誤差?Ex2.復(fù)合左矩形求積公式的求積誤差設(shè)被積函數(shù)在積分區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),由連續(xù)函數(shù)介值定理10/16典型例題與習(xí)題4Ex4.利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分使其截?cái)嗾`差不超過

0.5×10-3,應(yīng)算多少次函數(shù)值？提示：練習(xí):

給定積分當(dāng)要求誤差小于10-3時(shí)用復(fù)合梯形公式和Simpson公式計(jì)算時(shí),需要計(jì)算多少次函數(shù)值？11/16典型例題與習(xí)題4Ex5.驗(yàn)證，復(fù)合梯形公式與復(fù)合Simpson

公式之間有如下關(guān)系12/16典型例題與習(xí)題4Ex6.定積分的計(jì)算問題可化為初值問題

y’=f(t),y(a)=0試證明用Euler公式計(jì)算結(jié)果為其中,h=(b–a)/N,

tn=a+nh(n=0,1,2,···,N)Ex7.試證明4階Range-Kutta公式解[a,b]內(nèi)初值問題

y’=f(x),y(a)=0結(jié)果有:其中,h=(b–a)/N,

xn=a+nh(n=0,1,2,···,N)13/16典型例題與習(xí)題4Ex8.將線性常系數(shù)非齊次高階常微分方程初值問題:y(n)+a1

y(n-1)+a2y(n-2)+·······+any=f(x,y,····,y(n-1))

y(x0)=y00,y’(x0)=y01,y”(x0)=y02,···y(n-1)(x0)=y0,n-1轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程組問題,并成出矩陣形式解:令

y1(x)=y(x),y2(x)=y’(x),y3(x)=y”(x),····,yn(x)=y(n-1)(x),

14/16典型例題與習(xí)題4Ex9.

初值問題有解y(x)=0.5ax2+bx

。若取

xn=nh，yn為歐拉方法得到的數(shù)值解，試證明y(xn)–yn=0.5ahxn若取

xn=nh，yn為用梯形公式計(jì)算所得的數(shù)值解，記y(xn)為初值問題的在x=xn處的解析解。試證明:

y(xn)=yn

Ex10.

初值問題15/16典型例題與習(xí)題4寫出梯形