高等數(shù)學第四章不定積分第一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二4.1不定積分的概念與性質(zhì)定義1：設(shè)F(x)與f(x)是定義在某區(qū)間上的函數(shù)，

如果在該區(qū)間上有

或，則稱F(x)是f(x)

在這個區(qū)間上的一個原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)第二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二定理.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即第四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二定義2.在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數(shù);—被積表達式.—積分變量;若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作4.1.2不定積分的概念第五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二4.1.3不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的積分曲線

.第六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例1.

設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例2.

質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.解:

取質(zhì)點運動軌跡為坐標軸,原點在地面,指向朝上,質(zhì)點拋出時刻為此時質(zhì)點位置為初速為設(shè)時刻

t

質(zhì)點所在位置為則(運動速度)(加速度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束垂直上拋,不計阻

先由此求

再由此求第八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故第九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)1一個函數(shù)積分后導數(shù)或微分等于這個函數(shù)。性質(zhì)2一個函數(shù)微分后積分，等于這個函數(shù)加上任意常數(shù)。4.1.4不定積分的簡單性質(zhì)第十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)3積分形式不變性

如果u為x

的任何

可微函數(shù)，則有性質(zhì)4函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和第十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)5常數(shù)因子可從積分號中提出k

是常數(shù)且k≠0第十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二4.2不定積分的基本公式(k

為常數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二或或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例1

第十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例2第十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=第十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例5.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例6.

求解:

原式

=第二十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例7.

求解:

原式=注意方法第二十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意方法第二十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例1

第二十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例2第二十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=第二十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例5.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例6.

求解:

原式

=第二十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例7.

求解:

原式=注意方法第二十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意方法第二十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二思考與練習1.

若提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2.

若是的原函數(shù),則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二3.

若的導函數(shù)為則的一個原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二4.

求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二5.求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二6.

已知求A,B.解:

等式兩邊對x

求導,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二二、第二類換元法一、第一類換元法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.3兩種積分法

第四章第三十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二4.3.1.換元積分法

復合函數(shù)的微分法大大拓展了求導數(shù)（或求積分）的范圍。同樣，將復合函數(shù)的微分法用于求積分即得復合函數(shù)得積分法—換元積分法，按其應用方法得不同可分為兩種換元法。第三十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二1第一換元積分法

如果不定積分用基本積分法不易求得，但被積表達式可分解為作變量代換，得到則而可以求出，不妨設(shè)第三十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二這一步常稱為“湊積分”，第二步就是求不定積分。

定理（第一類換元積分法）設(shè)，且在區(qū)間I可微，則

用第一換元積分法求不定積分，分為兩步完成，第一步從f(x)中分出一個因子，使與dx湊成u的微分du，并把被積函數(shù)剩下的部分寫成的u函數(shù)，即例第四十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二第二類換元法第一類換元法基本思路機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)可導,則有第四十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例1.

求解:原式

=注:

當時機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例2.

求解:想到公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例3.

求想到解:(直接配元)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例4.

求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似第四十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例5.

求解:∴原式

=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二常用的幾種配元形式:萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例6.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例10.

求解法1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二解法2同樣可證或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例11答案的另一種形式第五十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例12.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例13.

求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例14.

求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例15.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:

第五十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例16.

求解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如第六十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二思考與練習1.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

由例子看出，要想熟練運用湊積分法，記為一些常見函數(shù)的微分是很重要的，例如等等。

例1求

解把被積式中l(wèi)n2x看成lnx的函數(shù)，剩下的因式恰好是lnx的微分dlnx

，令lnx＝u

，則，于是第六十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

把u

＝lnx代入上式右端，得到

例2求

解把被積式中看成的函數(shù)，剩下部分乘上可以湊成的微分，令＝u

，則，于是

把

代入上式右端，得到第六十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例3求

解

解利用三角函數(shù)積化和差公式，我們有于是

例4求第六十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例5求

解第六十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2第二類換元法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，第六十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二定理2.設(shè)是單調(diào)可導函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有換元公式第六十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

定理（第二換元積分法）

則

設(shè)函數(shù)，在區(qū)間I可微且存在反函數(shù)，如果第六十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例1求

解被積函數(shù)中含有根式，令x=t2(t>0)，則dx＝dt2＝2tdt于是第七十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例2求

解令u=ex

，或x=lnu，，于是此題也可用“加減項法”。得到的結(jié)果是一樣的。第七十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例3求

解

例4求

解第七十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例5求

解

例6求

解第七十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二

例7求

解第七十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例8.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例9.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例10.

求解:令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二令于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二說明:被積函數(shù)含有時,除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.或或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三角代換外,還可利用公式第七十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二原式例11.

求解:

令則原式當

x<0時,類似可得同樣結(jié)果.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補充(7)

倒數(shù)代換

令第八十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二解:

原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.

求例13.

求解:第八十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例14.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.

求解:

原式第八十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例16.

求解:

令得原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例17.

求解:

原式令例16目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二思考與練習1.下列積分應如何換元才使積分簡便?令令令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2.已知求解:

兩邊求導,得則(代回原變量)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二備用題1.求下列積分:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二分子分母同除以3.求不定積分解:令原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束分部積分法

第四章第九十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例2.

求解:

令則原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例3.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)第九十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例6.

求解:

令,則原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例7.

求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令第一百零一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例8.

求解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例9.

求解:

令則得遞推公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例10.

證明遞推公式證:注:或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加C)例4目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例11.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復雜.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例12.

求解法1

先換元后分部令即則故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二解法2

用分部積分法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百零九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u

后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百一十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二例13.

求解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百一十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二思考與練習1.下述運算錯在哪里?應如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應為0.求此積分的正確作法是用換元法.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百一十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2.

求提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一百一十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期二2.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束