第五節(jié)數(shù)列(shùliè)的求和第五章數(shù)列第一頁(yè)，共41頁(yè)?？季V要求掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能把某些不是等差和等比數(shù)列的求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來(lái)解決；掌握裂項(xiàng)求和的思想方法，掌握錯(cuò)位相減法求和的思想方法，并能靈活地運(yùn)用這些(zhèxiē)方法解決相應(yīng)問(wèn)題.第二頁(yè)，共41頁(yè)。課前自修知識(shí)(zhīshi)梳理第三頁(yè)，共41頁(yè)。二、錯(cuò)位相減法求和例如是等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)，是等比數(shù)列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就適用此法．做法是先將和的形式寫(xiě)出，再給式子兩邊同乘或同除以公比q，然后將兩式相減，相減后以“qn”為同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行合并得到一個(gè)可求和的數(shù)列(注意合并后有兩項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列中的項(xiàng)，不要遺漏掉)．三、分組求和把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和．四、并項(xiàng)求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法．第四頁(yè)，共41頁(yè)。第五頁(yè)，共41頁(yè)。七、倒序相加法求和如果(rúguǒ)一個(gè)數(shù)列{an}的與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．八、其他方法求和如歸納猜想法，奇偶分拆法等．第六頁(yè)，共41頁(yè)。基礎(chǔ)(jīchǔ)自測(cè)1．(2012·南陽(yáng)一中考試(kǎoshì))設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)(xìngzhì)知，S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，∴9,36－9，S9－36成等差數(shù)列，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故選B.答案：B第七頁(yè)，共41頁(yè)。2．(2012·福州市模擬)在數(shù)列{an}中，如果存在非零的常數(shù)T，使得an＋T＝an對(duì)于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱(chēng)數(shù)列{an}為周期(zhōuqī)數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期(zhōuqī)．已知數(shù)列{xn}滿(mǎn)足xn＋2＝|xn＋1－xn|(x∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，當(dāng)數(shù)列{xn}的周期(zhōuqī)為3時(shí)，則數(shù)列{xn}的前2012項(xiàng)的和S2012為()A．670B．1338C．1339D．1342答案(dáàn)：D第八頁(yè)，共41頁(yè)。3．(2012·山西(shānxī)四校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，a3＝8，a7＝20，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則n的值為_(kāi)___________．第九頁(yè)，共41頁(yè)。4．(2011·巢湖市模擬)如圖所示，一條螺旋線(xiàn)是用以下方法畫(huà)成：△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線(xiàn)(qūxiàn)CA1，A1A2，A2A3分別以A，B，C為圓心，AC，BA1，CA2為半徑畫(huà)的弧，曲線(xiàn)(qūxiàn)CA1A2A3稱(chēng)為螺旋線(xiàn)．旋轉(zhuǎn)一圈．然后又以A為圓心AA3為半徑畫(huà)弧……這樣畫(huà)到第n圈，則所得螺旋線(xiàn)的長(zhǎng)度ln＝_______(用π表示即可).第十頁(yè)，共41頁(yè)。第十一頁(yè)，共41頁(yè)?？键c(diǎn)探究考點(diǎn)(kǎodiǎn)一分組后，可用公式(gōngshì)求和︸n個(gè)1思路點(diǎn)撥：通過(guò)分組，直接(zhíjiē)用公式求和．第十二頁(yè)，共41頁(yè)。k個(gè)1第十三頁(yè)，共41頁(yè)。第十四頁(yè)，共41頁(yè)。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意按公比q＝1或q≠1進(jìn)行(jìnxíng)討論．第十五頁(yè)，共41頁(yè)。變式探究(tànjiū)1．(2012·北京市朝陽(yáng)區(qū)期中)在遞增(dìzēng)數(shù)列{an}中，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，an＋1＝an＋c(c為常數(shù)，n∈N*)，且a1，a2，S3成等比數(shù)列．(1)求c的值；(2)若bn＋an＝，n∈N*，求b2＋b4＋…＋b2n.解析(jiěxī)：(1)∵an＋1＝an＋c，a1＝1，c為常數(shù)，∴an＝1＋(n－1)c，則a2＝1＋c，S3＝1＋(1＋c)＋(1＋2c)＝3＋3c.又a1，a2，S3成等比數(shù)列，所以(1＋c)2＝3＋3c，解得c＝－1或c＝2.由于{an}是遞增數(shù)列，舍去c＝－1，故c＝2.第十六頁(yè)，共41頁(yè)。第十七頁(yè)，共41頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)二錯(cuò)位(cuòwèi)相減法求和【例2】已知數(shù)列(shùliè)1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n項(xiàng)和．思路點(diǎn)撥：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1,3,5，…，2n－1與等比數(shù)列a0，a，a2，…，an－1對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積，可用錯(cuò)位相減法求和．第十八頁(yè)，共41頁(yè)。解析(jiěxī)：設(shè)Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1，①①×a，得aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an，②①－②，(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，當(dāng)a≠1時(shí)，點(diǎn)評(píng)：若數(shù)列{an}，{bn}分別是等差、等比數(shù)列，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和的方法(fāngfǎ)就用錯(cuò)位相減法．第十九頁(yè)，共41頁(yè)。變式探究(tànjiū)2．(2012·武漢市武昌區(qū)調(diào)研改編)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足(mǎnzú)a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n(n∈N*)．(1)設(shè)bn＝，證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.第二十頁(yè)，共41頁(yè)。第二十一頁(yè)，共41頁(yè)。第二十二頁(yè)，共41頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)三裂項(xiàng)相消法求和(qiúhé)第二十三頁(yè)，共41頁(yè)。第二十四頁(yè)，共41頁(yè)。變式探究(tànjiū)3．(2012·安徽江南十校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a1>0(n∈N*)，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得(shǐde)＋＋＋…＋<k對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整數(shù)k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第二十五頁(yè)，共41頁(yè)。第二十六頁(yè)，共41頁(yè)。考點(diǎn)(kǎodiǎn)四倒序(dǎoxù)相加法求和第二十七頁(yè)，共41頁(yè)。第二十八頁(yè)，共41頁(yè)。點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法叫做倒序(dǎoxù)求和法．如果一個(gè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＋an＝a2＋an－1＝…，其前n項(xiàng)和Sn就可以用倒序(dǎoxù)求和法求解．第二十九頁(yè)，共41頁(yè)。變式探究(tànjiū)4．求值：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°.解析(jiěxī)：設(shè)S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°，①倒序得S＝sin289°+sin288°+sin287°+…+sin22°+sin21°,即S＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos288°＋cos289°，②①＋②得2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，∴S＝＝44.5.第三十頁(yè)，共41頁(yè)。課時(shí)升華1．求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是抽取出其通項(xiàng)來(lái)加以分析，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去選擇適當(dāng)?shù)姆椒?fāngfǎ)．2．等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想方法(fāngfǎ)，它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題來(lái)解決．3．?dāng)?shù)列求和是數(shù)列的一個(gè)重要內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是將多項(xiàng)式的和化簡(jiǎn)，等差、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)掌握一些特殊數(shù)列的求和．第三十一頁(yè)，共41頁(yè)。4．解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要(zhǔyào)有兩種思路．(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成．(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和．5．“錯(cuò)位相減”、“裂項(xiàng)相消”等是數(shù)列求和最重要的方法，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，應(yīng)熟練掌握.第三十二頁(yè)，共41頁(yè)。感悟高考品味(pǐnwèi)高考第三十三頁(yè)，共41頁(yè)。第三十四頁(yè)，共41頁(yè)。2．(2012·天津卷)已知{an}是等差數(shù)列(shùliè)，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列(shùliè)，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求數(shù)列(shùliè){an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記Tn＝anb1＋an－1b2＋an－2b3＋…＋a1bn，n∈N*，證明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．第三十五頁(yè)，共41頁(yè)。第三十六頁(yè)，共41頁(yè)。(法二)由(1)得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①∴2Tn＝22an＋23an－1＋24an－2＋…＋2na2＋2n＋1a1.②由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n