方差分析統(tǒng)計學課件演示文稿當前第1頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析統(tǒng)計學課件當前第2頁\共有82頁\編于星期三\6點10.1方差分析引論10.2單因素方差分析10.3雙因素方差分析第10章方差分析當前第3頁\共有82頁\編于星期三\6點學習目標解釋方差分析的概念解釋方差分析的基本思想和原理掌握單因素方差分析的方法及應用理解多重比較的意義掌握雙因素方差分析的方法及應用當前第4頁\共有82頁\編于星期三\6點10.1方差分析引論10.1.1方差分析及其有關術語10.1.2方差分析的基本思想和原理10.1.3方差分析的基本假定10.1.4問題的一般提法當前第5頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析及其有關術語當前第6頁\共有82頁\編于星期三\6點什么是方差分析(ANOVA)?

(analysisofvariance)檢驗多個總體均值是否相等通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等研究分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響一個或多個分類型自變量兩個或多個(k個)處理水平或分類一個數(shù)值型因變量有單因素方差分析和雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個分類的自變量當前第7頁\共有82頁\編于星期三\6點什么是方差分析?

(例題分析)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】為了對幾個行業(yè)的服務質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表當前第8頁\共有82頁\編于星期三\6點什么是方差分析?

(例題分析)分析4個行業(yè)之間的服務質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對“投訴次數(shù)”是否有顯著影響作出這種判斷最終被歸結為檢驗這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務質(zhì)量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務質(zhì)量有顯著差異當前第9頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的有關術語因素或因子(factor)所要檢驗的對象分析行業(yè)對投訴次數(shù)的影響，行業(yè)是要檢驗的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個行業(yè)被投訴的次數(shù)當前第10頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的有關術語試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素4水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個總體樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這4個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)當前第11頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本思想和原理當前第12頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本思想和原理

(圖形分析—散點圖)

零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造當前第13頁\共有82頁\編于星期三\6點從散點圖上可以看出不同行業(yè)被投訴的次數(shù)有明顯差異同一個行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被投訴的次數(shù)較低行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關系如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒有關系，那么它們被投訴的次數(shù)應該差不多相同，在散點圖上所呈現(xiàn)的模式也就應該很接近方差分析的基本思想和原理

(圖形分析)當前第14頁\共有82頁\編于星期三\6點散點圖觀察不能提供充分的證據(jù)證明不同行業(yè)被投訴的次數(shù)之間有顯著差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的需要有更準確的方法來檢驗這種差異是否顯著，也就是進行方差分析所以叫方差分析，因為雖然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時則需要借助于方差這個名字也表示：它是通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進行方差分析時，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源方差分析的基本思想和原理當前第15頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本思想和原理

(兩類誤差)隨機誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)之間的差異這種差異可以看成是隨機因素的影響，稱為隨機誤差

系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)之間觀察值的差異比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差當前第16頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本思想和原理

(誤差平方和—SS)數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sumofsquares)表示組內(nèi)平方和(withingroups)因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，零售業(yè)被投訴次數(shù)的誤差平方和只包含隨機誤差組間平方和(betweengroups)因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)之間的誤差平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差當前第17頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本思想和原理

(均方—MS)平方和除以相應的自由度若原假設成立，組間均方與組內(nèi)均方的數(shù)值就應該很接近，它們的比值就會接近1若原假設不成立，組間均方會大于組內(nèi)均方，它們之間的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異，即自變量對因變量有影響判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，也就是檢驗被投訴次數(shù)的差異主要是由于什么原因所引起的。如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對投訴次數(shù)有顯著影響當前第18頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本假定當前第19頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析的基本假定每個總體都應服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等觀察值是獨立的比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨立當前第20頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的4個正態(tài)總體的均值是否相等如果4個總體的均值相等，可以期望4個樣本的均值也會很接近4個樣本的均值越接近，推斷4個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分當前第21頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中基本假定如果原假設成立，即H0：

m1=m2=m3=m44個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值都相等意味著每個樣本都來自均值為、方差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

當前第22頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中基本假定若備擇假設成立，即H1：

mi(i=1,2,3,4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的4個樣本分別來自均值不同的4個正態(tài)總體

Xf(X)3

1

2

4

當前第23頁\共有82頁\編于星期三\6點問題的一般提法當前第24頁\共有82頁\編于星期三\6點問題的一般提法設因素有k個水平，每個水平的均值分別用1,2,,k

表示要檢驗k個水平(總體)的均值是否相等，需要提出如下假設：H0：

12…k

H1：

1,2,，k

不全相等設1為零售業(yè)被投訴次數(shù)的均值，2為旅游業(yè)被投訴次數(shù)的均值，3為航空公司被投訴次數(shù)的均值，4為家電制造業(yè)被投訴次數(shù)的均值，提出的假設為H0：

1234

H1：

1,2,3,4

不全相等當前第25頁\共有82頁\編于星期三\6點10.2單因素方差分析10.2.1數(shù)據(jù)結構10.2.2分析步驟10.2.3關系強度的測量10.2.4方差分析中的多重比較當前第26頁\共有82頁\編于星期三\6點單因素方差分析的數(shù)據(jù)結構

(one-wayanalysisofvariance)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…水平Ak12::n

x11

x21

…

xk1x12

x22

…

xk2::

:

:::

:

:x1n

x2n

…

xkn當前第27頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟提出假設構造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策當前第28頁\共有82頁\編于星期三\6點提出假設一般提法H0

：m1=m2=…=

mk

自變量對因變量沒有顯著影響

H1：m1

，m2

，…

，mk不全相等自變量對因變量有顯著影響

注意：拒絕原假設，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等當前第29頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值誤差平方和均方(MS)

當前第30頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算水平的均值)假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)計算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij為第i個總體的第j個觀察值

當前第31頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計算公式為當前第32頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(例題分析)當前第33頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總誤差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為

前例的計算結果

SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295當前第34頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組間平方和SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為

前例的計算結果SSA=1456.608696當前第35頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組內(nèi)平方和SSE)每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映每個樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機誤差的大小計算公式為

前例的計算結果SSE=2708當前第36頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(三個平方和的關系)總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)之間的關系SST=SSA+SSE

前例的計算結果

4164.608696=1456.608696+2708當前第37頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差由誤差平方和除以相應的自由度求得三個平方和對應的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-k當前第38頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)組間方差：SSA的均方，記為MSA，計算公式為組內(nèi)方差：SSE的均方，記為MSE，計算公式為當前第39頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗統(tǒng)計量F)將MSA和MSE進行對比，即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量F當H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即當前第40頁\共有82頁\編于星期三\6點構造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F當前第41頁\共有82頁\編于星期三\6點統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出對原假設H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設H0

，無證據(jù)表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響當前第42頁\共有82頁\編于星期三\6點單因素方差分析表

(基本結構)誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1當前第43頁\共有82頁\編于星期三\6點單因素方差分析

(例題分析)當前第44頁\共有82頁\編于星期三\6點用Excel進行方差分析

(Excel分析步驟)第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】

，然后選擇【確定】第4步：當對話框出現(xiàn)時

在【輸入?yún)^(qū)域】方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域在【】方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定)

在【輸出選項】中選擇輸出區(qū)域當前第45頁\共有82頁\編于星期三\6點關系強度的測量當前第46頁\共有82頁\編于星期三\6點關系強度的測量

拒絕原假設表明因素(自變量)與觀測值之間有顯著關系組間平方和(SSA)度量了自變量(行業(yè))對因變量(投訴次數(shù))的影響效應只要組間平方和SSA不等于0，就表明兩個變量之間有關系(只是是否顯著的問題)當組間平方和比組內(nèi)平方和(SSE)大，而且大到一定程度時，就意味著兩個變量之間的關系顯著，大得越多，表明它們之間的關系就越強。反之，就意味著兩個變量之間的關系不顯著，小得越多，表明它們之間的關系就越弱當前第47頁\共有82頁\編于星期三\6點關系強度的測量

變量間關系的強度用自變量平方和(SSA)占總平方和(SST)的比例大小來反映自變量平方和占總平方和的比例記為R2,即其平方根R就可以用來測量兩個變量之間的關系強度

當前第48頁\共有82頁\編于星期三\6點關系強度的測量

(例題分析)

R=0.591404結論行業(yè)(自變量)對投訴次數(shù)(因變量)的影響效應占總效應的34.9759%，而殘差效應則占65.0241%。即行業(yè)對投訴次數(shù)差異解釋的比例達到近35%，而其他因素(殘差變量)所解釋的比例近為65%以上

R=0.591404，表明行業(yè)與投訴次數(shù)之間有中等以上的關系

當前第49頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的多重比較

(multiplecomparisonprocedures)當前第50頁\共有82頁\編于星期三\6點多重比較的意義通過對總體均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異可采用Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSDLSD方法是對檢驗兩個總體均值是否相等的t檢驗方法的總體方差估計加以修正(用MSE來代替)而得到的當前第51頁\共有82頁\編于星期三\6點多重比較的步驟提出假設H0:mi=mj(第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1:mimj(第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)計算檢驗的統(tǒng)計量:計算LSD決策：若，拒絕H0；若

，不拒絕H0當前第52頁\共有82頁\編于星期三\6點多重比較分析

(例題分析)第1步：提出假設檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：當前第53頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的多重比較

(例題分析)第2步：計算檢驗統(tǒng)計量檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：當前第54頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的多重比較

(例題分析)第3步：計算LSD檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：當前第55頁\共有82頁\編于星期三\6點方差分析中的多重比較

(例題分析)第4步：作出決策不能認為零售業(yè)與旅游業(yè)均值之間有顯著差異

不能認為零售業(yè)與航空公司均值之間有顯著差異不能認為零售業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異不能認為旅游業(yè)與航空業(yè)均值之間有顯著差異不能認為旅游業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異航空業(yè)與家電業(yè)均值有顯著差異當前第56頁\共有82頁\編于星期三\6點10.3雙因素方差分析10.3.1雙因素方差分析及其類型10.3.2無交互作用的雙因素方差分析10.3.3有交互作用的雙因素方差分析當前第57頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析

(two-wayanalysisofvariance)

分析兩個因素(行因素Row和列因素Column)對試驗結果的影響如果兩個因素對試驗結果的影響是相互獨立的，分別判斷行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復雙因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)如果除了行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外，兩個因素的搭配還會對結果產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復雙因素方差分析

(Two-factorwithreplication)當前第58頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析的基本假定每個總體都服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的觀察值是獨立的當前第59頁\共有82頁\編于星期三\6點無交互作用的雙因素方差分析

(無重復雙因素分析)當前第60頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析

(例題分析)不同品牌的彩電在5個地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌因素地區(qū)因素地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5品牌1品牌2品牌3品牌4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例】有4個品牌的彩電在5個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(品牌因素)和銷售地區(qū)(地區(qū)因素)對銷售量的影響，對每顯著個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？(=0.05)當前第61頁\共有82頁\編于星期三\6點數(shù)據(jù)結構

當前第62頁\共有82頁\編于星期三\6點數(shù)據(jù)結構

是行因素的第i個水平下各觀察值的平均值是列因素的第j個水平下各觀察值的平均值是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值當前第63頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(提出假設)提出假設對行因素提出的假設為H0：m1=m2

=

…=mi=…=

mk(mi為第i個水平的均值)H1：mi

(i=1,2,…,k)

不全相等對列因素提出的假設為H0：m1=m2

=

…=mj=…=

mr(mj為第j個水平的均值)H1：mj

(j=1,2,…,r)

不全相等當前第64頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)計算平方和(SS)總誤差平方和行因素誤差平方和列因素誤差平方和隨機誤差項平方和當前第65頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)

總誤差平方和(SST)、行因素平方和(SSR)、列因素平方和(SSC)、誤差項平方和(SSE)之間的關系SST=SSR+SSC+SSE當前第66頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)計算均方(MS)誤差平方和除以相應的自由度三個平方和的自由度分別是總誤差平方和SST的自由度為kr-1行因素平方和SSR的自由度為k-1列因素平方和SSC的自由度為r-1誤差項平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

當前第67頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)計算均方(MS)行因素的均方，記為MSR，計算公式為列因素的均方，記為MSC

，計算公式為誤差項的均方，記為MSE

，計算公式為當前第68頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(構造檢驗的統(tǒng)計量)

計算檢驗統(tǒng)計量(F)檢驗行因素的統(tǒng)計量檢驗列因素的統(tǒng)計量當前第69頁\共有82頁\編于星期三\6點分析步驟

(統(tǒng)計決策)將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出對原假設H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平在F分布表中查找相應的臨界值F

若FR>F

，拒絕原假設H0

，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗的行因素對觀察值有顯著影響若FC

>F

，拒絕原假設H0

，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗的列因素對觀察值有顯著影響當前第70頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析表

(基本結構)誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值行因素SSRk-1MSRMSRMSE列因素SSCr-1MSCMSCMSE誤差SSE(k-1)(r-1)MSE總和SSTkr-1當前第71頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析

(例題分析)提出假設對品牌因素提出的假設為H0：m1=m2=m3=m4(品牌對銷售量無顯著影響)H1：mi

(i=1,2,…,4)

不全相等(有顯著影響)對地區(qū)因素提出的假設為H0：m1=m2=m3=m4=m5(地區(qū)對銷售量無顯著影響)H1：mj

(j=1,2,…,5)

不全相等(有顯著影響)

當前第72頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析

(例題分析)

結論：

FR＝18.10777>F＝3.4903，拒絕原假設H0，說明彩電的品牌對銷售量有顯著影響

FC＝2.100846<F＝3.2592，不拒絕原假設H0，無證據(jù)表明銷售地區(qū)對彩電的銷售量有顯著影響當前第73頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析

(關系強度的測量)行平方和(SSR)度量了品牌這個自變量對因變量(銷售量)的影響效應列平方和(SSC)度量了地區(qū)這個自變量對因變量(銷售量)的影響效應這兩個平方和加在一起則度量了兩個自變量對因變量的聯(lián)合效應聯(lián)合效應與總平方和的比值定義為R2其平方根R反映了這兩個自變量合起來與因變量之間的關系強度當前第74頁\共有82頁\編于星期三\6點雙因素方差分析

(關系強度的測量)例題分析品牌因素和地區(qū)因素合起來總共解釋了銷售量差異的83.94%其他因素(殘差變量)只解釋了銷售量差異