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文檔簡(jiǎn)介
關(guān)于實(shí)變函數(shù)與泛函分析第1頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月微積分基本定理若f(x)在[a,b]上連續(xù),則若F`(x)在[a,b]上連續(xù),則導(dǎo)數(shù)(切線斜率)xi-1xi定積分(面積)第2頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月微積分發(fā)展的三個(gè)階段創(chuàng)立(17世紀(jì)):Newton(力學(xué))Leibniz(幾何)(無(wú)窮小)嚴(yán)格化(19世紀(jì)):Cauchy,Riemann,Weierstrass(極限理論(ε-N,ε-δ語(yǔ)言),實(shí)數(shù)理論)外微分形式(20世紀(jì)初):Grassmann,Poincare,Cartan(微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn))第3頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月微積分繼續(xù)發(fā)展的三個(gè)方向外微分形式(整體微分幾何)(微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn))復(fù)數(shù)域上的微積分(復(fù)變函數(shù))微積分的深化和拓展(實(shí)變函數(shù))第4頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月1.Riemann積分回顧
(1)Riemann積分的定義積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān)幾何意義(非負(fù)函數(shù)):函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi其中第5頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(2)Riemann可積的充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積其中:xi-1xixi-1xi第6頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(2)Riemann可積的充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積其中:xi-1xi第7頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(2)Riemann可積的充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積
注:連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)和閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)Riemann可積xi-1xi第8頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例:Dirichlet函數(shù)不Riemann可積。注:D(x)的下方圖形可看成由[0,1]中每個(gè)有理點(diǎn)長(zhǎng)出的單位線段組成。上積分下積分01第9頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(3)Riemann積分的局限性a.微積分基本定理
定理:若f(x)在[a,b]上可微且f`(x)在[a,b]上Riemann連續(xù),則注:推薦大家看看龔升寫的《話說(shuō)微積分》,《簡(jiǎn)明微積分》,數(shù)學(xué)歷史的啟示(《數(shù)學(xué)教學(xué)》,2001.1),微積分嚴(yán)格化后(《高等數(shù)學(xué)研究》,2002,1-3)1881年Volterra作出一可微函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有界但不Riemann可積;第10頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月b.積分與極限交換次序(一般要求一致收斂)
例:設(shè){rn}為[0,1]中全體有理數(shù)(因?yàn)槠錇榭蓴?shù)集,故可把它排成序列),作[0,1]上的函數(shù)列
故對(duì)一般收斂函數(shù)列,在Riemann積分意義下極限運(yùn)算與積分運(yùn)算不一定可交換次序,即:不一定成立。則{fn(x)}在[a,b]上Riemann可積,但不Riemann可積。第11頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月Riemann積分xi-1xi為使f(x)在[a,b]上Riemann可積,按Riemann積分思想,必須使得分劃后在多數(shù)小區(qū)間上的振幅足夠小,這迫使在較多地方振動(dòng)的函數(shù)不可積。Lebesgue提出,不從分割定義域入手,而從分割值域入手;(積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān))第12頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2.Lebesgue積分思想簡(jiǎn)介1902年Lebesgue在其論文“積分、長(zhǎng)度與面積”中提出(參見:Lebesgue積分的產(chǎn)生及其影響,數(shù)學(xué)進(jìn)展,2002.1)yiyi-1用mEi表示Ei的“長(zhǎng)度”第13頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月Lebesgue積分思想yiyi-1f(x)在Ei上的振幅不會(huì)大于δ其中mEi表示Ei的“長(zhǎng)度”,即:第14頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月對(duì)此Lebesgue自己曾經(jīng)作過(guò)一個(gè)比喻,他說(shuō):假如我欠人家一筆錢,現(xiàn)在要還,此時(shí)按鈔票的面值的大小分類,然后計(jì)算每一類的面額總值,再相加,這就是Lebesgue積分思想;如不按面額大小分類,而是按從錢袋取出的先后次序來(lái)計(jì)算總數(shù),那就是Riemann積分思想(參見:周性偉,實(shí)變函數(shù)教學(xué)的點(diǎn)滴體會(huì),《高等理科教學(xué)》,2000.1)即采取對(duì)值域作分劃,相應(yīng)得到對(duì)定義域的分劃(每一塊不一定是區(qū)間),使得在每一塊上的振幅都很小,即按函數(shù)值的大小對(duì)定義域的點(diǎn)加以歸類yiyi-101第15頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月3.Lebesgue積分構(gòu)思產(chǎn)生的問(wèn)題(1)集合Ei
的“長(zhǎng)度”如何定義(第三章測(cè)度論);(2)怎樣的函數(shù)可使Ei都有“長(zhǎng)度”(第四章可測(cè)函數(shù));(3)定義Lebesgue積分并研究其性質(zhì)(第五章積分論);第一章集合,第二章點(diǎn)集,第六章微分與不定積分yiyi-1第16頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月4.集合論中的一些例子(1)Achilles追龜
問(wèn)題:時(shí)間由時(shí)刻組成,每一時(shí)刻,甲、乙都在一確定點(diǎn)上由于甲、乙跑完相應(yīng)路程所用時(shí)間一樣,故甲、乙所用“時(shí)刻數(shù)”一樣,從而跑過(guò)的點(diǎn)的“個(gè)數(shù)”也一樣。0(甲)?(乙)3/4
7/8
15/161甲的速度為1,乙的速度為1/2第17頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月(2)Hilbert旅館問(wèn)題1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…問(wèn)下列情況是否能把新來(lái)的人安排下:1又來(lái)了有限個(gè)人{(lán)b1,b2,b3,…
,bn}3每個(gè)人帶無(wú)限多個(gè)親戚(親戚可排個(gè)隊(duì))4又來(lái)了[0,1]個(gè)人2每個(gè)人帶一個(gè)親戚{b1,b2,b3,…,bn,…}第18頁(yè),課件共20頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月Hilbert旅館問(wèn)題解答1b1,b2,b3,
…,bn,a1,a2,a3,…1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…4不能安排進(jìn)去([0,1]是不可數(shù)集)2b1,a1,b2,a2,b3,a3,…3a1,a2,a3,a4,…a11,a12
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