關于向量及其線性運算第1頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運算

第八章第2頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或第3頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構成的向量.第4頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)定:零向量與任何向量平行

;平行向量：若向量

a與

b方向相同或相反,a與

b平行,

a∥b;記作則稱

向量共線：當兩個平行向量的起點放在同一

點時，它們的終點和公共起點應在一條直線上

.因此，兩向量平行又稱兩向量共線.時，如果個終點和公共起點在一個平面上

.

就稱這個向量共面.向量共面：當把個向量的起點放在同一

點第5頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律

:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加

.第6頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.向量的減法三角不等式一般地，任給向量及點第8頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結合律：（2）分配律：第9頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

設M

為解:ABCD對角線的交點,第10頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.兩個向量的平行關系第11頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得第12頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念Ⅰ第13頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,沿三個坐標軸方向的分向量.此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量

r可用向徑

OM表示.第14頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點

A,B,C點

M特殊點的坐標

:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點

O(0,0,0);第15頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月坐標軸:

坐標面:第16頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:第17頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.已知兩點在AB直線上求一點

M,

使解:

設

M

的坐標為如圖所示及實數(shù)得即第18頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:由得定比分點公式:點

M為

AB

的中點

,于是得中點公式:第19頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與第20頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.在

z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點

.第21頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例4.已知兩點和解:求第22頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或第23頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.方向角與方向余弦設有兩非零向量

任取空間一點

O,稱

=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角

.與三坐標軸方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.的夾角

,,為其方向角.第24頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月方向余弦的性質(zhì):第25頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.已知兩點和的模、方向余弦和方向角

.解:計算向量第26頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.設點

A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點

A

的坐標

.則因點

A

在第一卦限

,故于是故點

A

的坐標為

向徑

OA

與

x

軸

y軸的夾

第27頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解第28頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3.向量在軸上的投影空間一點在軸上的投影第30頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月空間向量在軸上的投影

稱為向量在軸上的分向量.設數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或第31頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月設則或記作向量投影的性質(zhì)性質(zhì)1其中為向量與軸的夾角性質(zhì)2性質(zhì)3第32頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例8一向量的終點在點，它在軸、

軸、軸上的投影依次為.求這向量的起點的坐標.解

設

的坐標為由已知可得所以即解例9已知，它與的夾角為，求.第33頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解第34頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別）向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量在軸上的投影與投影定理.第35頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題1已知平行四邊形ABCD的對角線試用表示平行四邊形四邊上對應的向量.解答第36頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題2解答對角線的長為第37頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2