第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯Ⅰ引言看下面的問(wèn)題：學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，那么兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？如果回答有20名同學(xué)參賽，不一定對(duì)，因?yàn)榭赡苡行┩瑢W(xué)既參加了田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，又參加了球類(lèi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，只有在所有參賽的同學(xué)都只有參加了一次運(yùn)動(dòng)會(huì)的情況下，回答有20名同學(xué)參賽才是正確的.描述、解決上述問(wèn)題，就涉及到本章里我們將要學(xué)習(xí)的集合與簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí).Ⅱ教材分析⒈教材的地位和作用本章主要講述集合的初步知識(shí)和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)兩部分內(nèi)容.集合的初步知識(shí)包括集合的有關(guān)概念、集合的表示法及集合與集合之間的關(guān)系；簡(jiǎn)易邏輯主要介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞的意義，四種命題及其相互關(guān)系和充要條件的有關(guān)知識(shí).集合概念及其基本理論稱(chēng)為集合論，它的創(chuàng)始人是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor1845-1918）.它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ).一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)鋵W(xué)等都建立在集合理論的基礎(chǔ)上；另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來(lái)越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要全面地理解概念，正確地進(jìn)行表述、判斷和推理，這就離不開(kāi)對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用.更廣泛地說(shuō)，在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，基本的邏輯知識(shí)也是認(rèn)識(shí)問(wèn)題、研究問(wèn)題不可缺少的工具.在高中數(shù)學(xué)中，集合的初步知識(shí)和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，與其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ).因此，我們盡早接觸集合與簡(jiǎn)易邏輯的初步知識(shí)，可以對(duì)初等數(shù)學(xué)中的一些基本概念理解得更深刻，表現(xiàn)得更明確，同時(shí)也可以為以后學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).⒉教學(xué)要求⑴理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.⑵理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充要條件.⒊重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：有關(guān)集合的基本概念；邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件.難點(diǎn)：有關(guān)集合的各個(gè)概念的涵義以及這些概念相互之間的區(qū)別與聯(lián)系；對(duì)一些代數(shù)命題真假的判斷.⒋教學(xué)設(shè)想利用實(shí)例幫助學(xué)生正確掌握集合的基本概念；突出一種數(shù)學(xué)方法——元素分析法；滲透兩種數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想；掌握三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言——自然語(yǔ)言、符合語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯.5.課時(shí)安排本章教學(xué)時(shí)間約需20課時(shí)，具體分配約是：集合2課時(shí)；子集、全集、補(bǔ)集2課時(shí)；交集、并集2課時(shí)；絕對(duì)值不等式的解法2課時(shí)；一元二次不等式的解法2課時(shí)；邏輯聯(lián)結(jié)詞2課時(shí)；四種命題3課時(shí)；充分條件與必要條件2課時(shí)；小結(jié)復(fù)習(xí)3課時(shí).一集合集合[教學(xué)目的]⒈使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集及其記法；⒉初步了解“屬于”關(guān)系的意義；3.初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.[重點(diǎn)難點(diǎn)]重點(diǎn)：集合的基本概念與表示方法.難點(diǎn)：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法—列舉法與描述法，正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.[教學(xué)設(shè)想]1.教法2.學(xué)法3.課時(shí)§1.1.1集合的基本概念教學(xué)目的使學(xué)生初步理解集合的基本概念，了解“屬于”關(guān)系的意義、常用數(shù)集的記法和集合中元素的特性.[教學(xué)過(guò)程]一、復(fù)習(xí)引入集合概念及其基本理論稱(chēng)為集合論，它的創(chuàng)始人是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor1845-1918）.它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ).一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)鋵W(xué)等，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上；另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來(lái)越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.因此，我們盡早接觸集合的簡(jiǎn)單知識(shí)，可以對(duì)初等數(shù)學(xué)中的一些基本概念理解得更深刻，表現(xiàn)得更明確，同時(shí)也可以為以后學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).“集合”一詞，在初中數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)接觸過(guò)，如在學(xué)習(xí)數(shù)的分類(lèi)時(shí)，就用到“正數(shù)的集合”，“負(fù)數(shù)的集合”；在學(xué)習(xí)圓時(shí)，說(shuō)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，幾何圖形都可以看成點(diǎn)的集合等.因此，集合的思想我們已經(jīng)有了一點(diǎn)，下面我們正式引入集合的概念.二、學(xué)習(xí)、講解新課⒈集合與集合的元素先考察下面幾組對(duì)象：⑴1，2，3，4，5；⑵與一個(gè)角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)；⑶所有的直角三角形；⑷x2，3x+2，5y3-x，x2+y2；⑸某農(nóng)場(chǎng)所有的拖拉機(jī)；⑹高142班教室里的所有桌子；⑺昌寧一中的所有學(xué)生.它們分別是由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說(shuō)，每一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合，或者說(shuō)，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.例如⑴是由1，2，3，4，5組成的集合，其中的對(duì)象1，2，3，4，5都是這個(gè)集合的元素，而其他的對(duì)象則不是此集合的元素.注意：①組成集合的可以是任何事物、東西等，例如⑴是一些數(shù)，⑵是一些點(diǎn)、⑶是一些圖形、⑷是一些整式、⑸⑹是一些物體、⑺是一些人等等；②在集合里的對(duì)象才能叫做該集合的元素，如⑴中，不能說(shuō)“元素2是這個(gè)集合的元素”，而應(yīng)該說(shuō)“2是這個(gè)集合的元素”，或者說(shuō)“對(duì)象2是這個(gè)集合的元素”.⒉表示集合的符號(hào)：大括號(hào)與大寫(xiě)的拉丁字母.我們一般用大括號(hào)表示集合.例如上述的⑴⑺可以分別表示成{1，2，3，4，5}與{昌寧一中的學(xué)生}（注意不能寫(xiě)成{昌寧一中的所有學(xué)生}，因?yàn)檫@里大括號(hào)就表示著“所有”的意思）.為了方便起見(jiàn)，還常用大寫(xiě)的拉丁字母表示集合，如A，B，M，E等；用小寫(xiě)的拉丁字母表示集合里的元素，如a,b,m,e等.例如M={a,b,c,d},A={直角三角形}，B={x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，C={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}等.⒊常用數(shù)集及其記法一些常用的數(shù)集我們常用下列記號(hào)：全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N，非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱(chēng)正整數(shù)集，表示成N*或N+；全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為實(shí)數(shù)集，記作R.⒋集合元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作aA（或aA）.例如，設(shè)D={1，2，3，4，5}，則5∈D，而3/2D.⒌集合元素的特性我們知道，集合可以看成是一些對(duì)象的全體，其中的每一個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.集合中的元素具有以下的特性：⑴確定性：集合中的元素必須是確定的,不能模棱兩可.這就是說(shuō)，給定一個(gè)集合,任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了.例如，給出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四個(gè)元素，其他對(duì)象都不是它的元素；而“個(gè)子高的人的全體”、“我國(guó)的所有小河流”就不能視為集合，因?yàn)榻M成它們的對(duì)象是不能確定的.⑵互異性：集合中的元素必須是互不相同的（即沒(méi)有重復(fù)現(xiàn)象），相同的元素在集合中只能算作一個(gè).例如，不能有{1，1，2}，而必須寫(xiě)成{1，2}.⑶無(wú)序性：集合中的元素間是無(wú)次序關(guān)系的.例如，{1，2，3}與{3，2，1}表示同一個(gè)集合.⑷任意性：集合中的元素可以是任意的具體確定的事物.例如，數(shù)、式、點(diǎn)、形、物等.求解有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，能緊緊抓住元素的特證進(jìn)行分析，將有利于問(wèn)題的解決.練習(xí)：課本P5練習(xí)1，2.答案：1.(略)；2.∈∈；∈∈∈；∈∈∈∈；∈∈∈∈∈.三、小結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)了集合的基本概念、表示符號(hào)；一些常用數(shù)集及其記法；集合的元素與集合之間的關(guān)系；以及集合元素具有的特征.四、布置作業(yè)（一）閱讀課本，進(jìn)一步熟悉鞏固有關(guān)概念；（二）書(shū)面：課本P7習(xí)題：1.補(bǔ)充題：⑴若，求實(shí)數(shù)x的值.⑵求數(shù)集{1,x,2x}中的元素x所應(yīng)滿足的條件.答案：課本⒈⑴；⑵；⑶∈；⑷.補(bǔ)充題：⑴分析：∵{x}是單元素集合，∴，由此解得.⑵分析：由集合中元素的互異性得，解得，∴x應(yīng)滿足的條件是:x0,,1.（三）思考題：已知1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3},求實(shí)數(shù)a的值.分析：若a+2=1，則得a=-1,但此時(shí)a2+3a+3=1，不合題意；若（a+1）2=1，則得a=0或a=-2，當(dāng)a=0時(shí)，a+2=2,a2+3a+3=3,適合題意；當(dāng)a=-2時(shí)，a2+3a+3=1，不合題意；若a2+3a+3=1，則得a=-1或a=-2，當(dāng)a=-1時(shí)，a2+3a+3=1,不適合題意；當(dāng)a=-2時(shí)，(a+1)2=1，不合題意.綜上知，a=0.說(shuō)明：本題利用分類(lèi)討論的思想，緊緊抓住集合元素的互異性，使問(wèn)題得以順利解決.（四）預(yù)習(xí)：課本P6的練習(xí).§1.1.2教學(xué)目的：使學(xué)生理解掌握集合常用的表示方法；了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)提問(wèn)⒈提問(wèn)：⑴什么叫集合？集合元素與集合的關(guān)系是什么？集合的元素具有哪些特性？常用數(shù)集的記法是什么？⑵a與{a}各是什么意思？答：a表示一個(gè)數(shù)，而{a}則表示一個(gè)集合，這個(gè)集合只有一個(gè)元素，就是a.如a表示張三，而{a}則表示僅由張三組成的代表團(tuán)，這是兩個(gè)不同的概念.⒉練習(xí)：⑴下列各對(duì)象不能形成集合的是（）Ａ.正三角形的全體Ｂ.《高中數(shù)學(xué)》中所有習(xí)題Ｃ.《高中數(shù)學(xué)》中所有好題Ｄ.所有無(wú)理數(shù)答案：Ｃ.⑵設(shè)集合｛a｝用Ａ表示，則下列各式中正確的是（）Ａ.０∈ＡＢ.aAＣ.a∈AＤ.a0答案：Ｃ.⑶給出下面四個(gè)關(guān)系式：，，，，其中正確的個(gè)數(shù)是（）Ａ.1個(gè)Ｂ.2個(gè)Ｃ.3個(gè)Ｄ.4個(gè)答案：B.⑷說(shuō)出下列集合里的元素是什么？①{小于10的奇數(shù)}；②{大于2小于10的偶數(shù)}；③{方程x2-5x+6=0的解}；④{太陽(yáng)系的九大行星}；⑤{一年中有31天的月份}.答案：①1,3,5,7,9；②4，6，8；③2，3；④水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星，冥王星；⑤1月，3月，5月7月，8月，10月，12月.二、學(xué)習(xí)、講解新課⒍集合的表示方法集合的表示方法，通常有列舉法、描述法和圖示法三種.⑴列舉法：就是把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法.例如上述⑴、⑷組成的集合可分別表示為{1，2，3，4，5}與{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}.注意：用列舉法表示集合時(shí)，不管元素的排列順序如何，只要所列的元素完全相同，它們表達(dá)的就是同一個(gè)集合.例如{1，2，3}與{3，1，2}表示同一個(gè)集合.另外，集合中的元素是沒(méi)有重復(fù)現(xiàn)象的，即任何兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素.例如記號(hào){1，1，2}不能作為集合的正確表示，應(yīng)寫(xiě)成{1，2}.但如果它表示的是方程（x-1）2(x-2)=0的解集，其中1是二重根，那么后一種寫(xiě)法{1，2}又是不妥的，此時(shí)又應(yīng)寫(xiě)成{1⑴，2}，其中元素1的右下角括號(hào)內(nèi)的2，表明1是方程的一個(gè)二重根，但在解集內(nèi)只算作一個(gè)元素.練習(xí)：用列舉法表示下列集合：⑴方程x2-5x+6=0的解集；⑵絕對(duì)值小于5的偶數(shù)；⑶中心在原點(diǎn)，邊與坐標(biāo)軸平行，且邊長(zhǎng)為2a答案：⑴{2，3}；⑵{-2，-4，0，2，4}；⑶{（a,a）,(-a,a),(-a,-a),(a,-a)}.請(qǐng)同學(xué)們思考如何表示一個(gè)平面上的所有直角三角形組成的集合？能否用剛才的列舉法來(lái)表示？⑵描述法：就是把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法.這時(shí)往往在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上這個(gè)集合的元素的一般形式，再畫(huà)一條豎線，在豎線右邊寫(xiě)上這個(gè)集合的元素的公共屬性.例如，由不等式x-3>2的所有的解組成的集合（即不等式x-3>2的解集），可以表示為{x∈R|x-3>2}；由拋物線y=x2+1上所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合，可以表示為{（x,y）|y=x2+1}.注：有時(shí)也可以用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線，寫(xiě)成{x∈R：x-3>2}或{x∈R；x-3>2}.在不引起混淆的情況下，為了簡(jiǎn)便，有些集合用描述法表示時(shí)，可以省去豎線及其左邊的部分,例如，由所有直角三角形組成的集合，可以表示為{直角三角形}；由昌寧一中所有學(xué)生組成的集合，可以表示為{昌寧一中的學(xué)生}等.練習(xí)：用列舉法或描述法表示下列集合：①小于100的自然數(shù)；②不等式x2-x+4<0的解集；③代數(shù)式的允許值范圍；④所有與A、B兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)P（x,y）的全體.答案：①{1，2，3，…，100}或{小于100的自然數(shù)}；②{x∈R|x2-x+4<0}或{不等式x2-x+4<0的解}；③{x∈R|x≤2且x≠1}；⑷{P（x,y）||PA|=|PB|}.⑶圖示法：就是用一條封閉的曲線的內(nèi)部來(lái)表示集合的方法.例如，圖1-1表示任意一個(gè)集合A；圖1-2表示集合{1，2，3，4，5}.以上講了集合的三種表示方法，究竟用那種方法，要根據(jù)各表示法的優(yōu)點(diǎn)及具體問(wèn)題而定.有些結(jié)合，隨便用那種表示法均可，例如復(fù)習(xí)提問(wèn)中練習(xí)⑷的①—⑤；但也有些集合，只適宜用其中的一種，例如集合{-3，0，2，5}就不宜用描述法表示；而集合{x∈R|-1<x<2}則不能用列舉法表示.⒎集合的分類(lèi)：有限集與無(wú)限集從前面的例子我們看到，有些集合的元素有限，有些集合的元素?zé)o限，因此集合按元素有限與無(wú)限可分為有限集與無(wú)限集：⑴有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.如上節(jié)開(kāi)始所例舉的⑴⑷⑸⑹⑺組成的集合都是有限集.⑵無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.如上節(jié)開(kāi)始所例舉的⑵⑶組成的集合都是無(wú)限集.⒏什么叫空集？先看一個(gè)例子：由方程x2+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，可以表示為{x∈R|x2+1=0}，由于方程x2+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，所以此集合是沒(méi)有元素的.我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作φ.例如，{兩條平行線的公共交點(diǎn)}=φ，{兩邊之和小于第三邊的三角形}=φ等.注意：不要把數(shù)0或集合{0}與空集φ混淆，數(shù)0不是集合，{0}是含有一個(gè)元素的集合，而φ是不含任何元素的集合.練習(xí)：課本P6的練習(xí).答案：⒈⑴{x∈N|x>10}，無(wú)限集；⑵{