§平行線分線段成比例定理（二）本節(jié)知識(shí)點(diǎn)：1．了解三角形一邊的平行線的判定定理的內(nèi)容.2．利用平行線分線段成比例定理分線段成已知比.

3．掌握平行于三角形一邊的直線性質(zhì).4．會(huì)運(yùn)用比例證明兩條直線平行、兩條線段相等.重、難點(diǎn)歸納：三角形一邊的平行線的性質(zhì)和判定定理的內(nèi)容及相關(guān)應(yīng)用.利用平行線證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例及利用對(duì)應(yīng)線的成比例證兩線平行.在性質(zhì)定理證明中，添加輔助線達(dá)到平移的目的，是不易想到的.考點(diǎn)：三角形中一邊平行線的判定和性質(zhì)定理.學(xué)習(xí)內(nèi)容說明：要注意平行于三角形一邊的平行線截得三角形與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.與平行線分線段成比例定理推論中平行于三角形一邊截得其他兩邊對(duì)應(yīng)線段成比例的區(qū)別.判定兩直線平行又多了一種新的方法：即一條直線截三角形兩邊所得線段對(duì)應(yīng)成比例，則它平行于三角形第三邊，注意與中間線段比無關(guān).學(xué)習(xí)過程在前面我們學(xué)習(xí)了三角形中位線定理，知道△ABC中，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，∴EF∥BC，，同時(shí)還學(xué)習(xí)了平行線分線段成比例定理和推論.定理符號(hào)語言：∵l1∥l2∥l3,∴.(三種形式中一種即可)

推論符號(hào)語言：∵DE∥BC∴.（試說出平行線分線段成比例定理推論的逆命題，并猜想這個(gè)命題是否成立？）由上述推論符號(hào)語言敘述可得其逆命題為若則DE∥BC.當(dāng)點(diǎn)D和E恰好為AB、AC中點(diǎn)時(shí)，顯然有，由剛剛回顧的三角形中位線定理，DE∥BC是成立的.但是否可以推廣到一般的情況呢？即當(dāng)時(shí)，是否可得DE證明：過D作交AC于，則有，又∵，∴，∴E和重合，∴DE與D重合，則DE（1）于是有一、三角形一邊平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.※1．此定理為判定兩直線平行的新方法.2．定理證明中∴，可得到：在一個(gè)比例式中，如果第三項(xiàng)與第四項(xiàng)相等，那么第一項(xiàng)與第三項(xiàng)也相等，由此可用來證明兩線段相等.3．符號(hào)語言表述及變式圖形：∵，∴DE∥BC.∵，∴DE∥BC.∵，∴DE∥BC.

4．在（3）中，是不能判定DE∥BC的.同步練習(xí)1：P217—1一、判斷：如圖，當(dāng)時(shí)，那么AD×原因：“三角形一邊平行線的判定定理”中，只注意到所得線段對(duì)應(yīng)成比例，但忽視了“三角形”這個(gè)前提條件.反例：如圖，，便AD、BE、CF并不平行.二、填空如圖，（1）若；（2）若，則_____（1）（2）（3）

三、1．已知：.求證：.2．已知：如圖，在△ABC中，DE求證：EF1．證明：∵，∴①∵，∴②（平行線分線段成比例定理推論2）由①、②得，∴.（三有形一邊平行線的判定定理）2．證明：∵DE∥BC，∴，(平行線分線段成比例定理推論2)又∵，∴，∴EF∥CD.（三角形一邊平行線的判定定理）例1已知：線段PQ，在PQ上求作點(diǎn)D，使PD：DQ=2：1.分析：在已學(xué)過的知識(shí)中，顯然需要用平行線分線段成比例定理的推論.作法：1．以點(diǎn)P為端點(diǎn)，作射線PN；2．在PN上順次截取PB=2a,BC=a（a為任意長）；3．連結(jié)CQ，過點(diǎn)B作BD變式1：若想使得PD：DQ=m:n，又應(yīng)如何進(jìn)行？（m,n表示已知線段）如圖所示：變式2：已知線段a,b,c，求作：a,b,c的第四比例項(xiàng)D.如圖所示：二、三角形一邊平行線的性質(zhì)定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.已知：DE分析：從已知DE過D作DF∥AC交BC于F，此時(shí)易得DE=CF，且有.證明略.※1．此性質(zhì)定理與平行線分線段成比例定理推論2不能混淆.2．且.例2如圖，△ABC中，D、E分別是AB和AC上的點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC延長線于F.求證：證明：過E作EG∥AB交BC于G，在△FBD中，則有，∵BD=CE，∴.∵EG∥AB，在△ABC中，有，∴.變式：在△ABC中，AD=AE.求證：提示：過C作CG∥AB交DF于G，同步練習(xí)2P219—1、2、3一、填空1．已知DE2．梯形ABCD，腰BA和CD延長線交于F，F(xiàn)B：AB=8：5，DC=,那么FC=_______.3．△ABC中，AF：FD=1：5，BD=DC，則AE：EC=______.4．菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，M在AD上，AM：MD=3：4，BM交AC于N，則MN：BN=________.1．2．3．提示：過A作AG4．提示：過M作MG∥BD交AC于G，則有，∵OD=OB，∴例3如圖，在△ABC中，BD：CD=3：2，AE：ED=2：3.求：AF：FC.解法一：過D作DG∥AC交BF于G，∴，，∴AF：FC=2：5.解法二：過D作DG∥BF交AC于G，∴，，∴CG：GF：FA=2：3：2，∴AF：FC=2：5.解法三：過A作AG∥BC交BF延長線于G，∴，，∵BD：DC=3：2，∴AG：BD：DC=2：3：2，∴AG：BC=2：5，即AF：FC=2：5.※1．平行線是比例線段重要手段，當(dāng)沒有平行線這個(gè)條件時(shí)要適當(dāng)添加平行線，.2．添加平行線時(shí)應(yīng)注意從分點(diǎn)出發(fā).本題還可添加平行線①過點(diǎn)F作BC或AD平行線；②過點(diǎn)E作BC或AC平行線；③過點(diǎn)C作BF或AD平行線.3．梅內(nèi)勞斯定理：一條直線與△ABC三邊AB、BC、AC或延長線分別相交

于X、Y、Z，則.過D作DA利用此定理，例3的解法會(huì)更加簡便.由題意得△ADC被BF所截，，∴，∴AF：FC=2：5.例4如圖，在梯形ABCD中，AD求證：①OE=OF；②.分析：①利用比例證明兩條線段相等，需將證明相等的兩線段去比相等的線段（或同一條線段），通過證明這兩個(gè)比相等來證明，即“

”.②證明兩個(gè)比之和等于1時(shí)，常將比例式中兩個(gè)比進(jìn)行代換，并使分母相同或相等，再運(yùn)算而得.證明：①∵AD∥EF，∴，∵AD∥EF∥BC，∴，∴，∴OE=OF.②∵AD∥EF，∴∵EF∥BC，∴，∴，∴.※本題若將EF上下平移，都不失一般性.變式：已知：AD求證：EG=FH.證明：∵EG∥AD，∴，∵HF∥AD，∴，∵AD∥EF∥BC，∴，∴，∴EG=HF.小結(jié)：1．“三角形一邊平行線的判定定理”是平行線分線段成比例定理推論2的逆命題，要注意“對(duì)應(yīng)線段”及“三角形”前提條件.2．“三角形一邊平行線的性質(zhì)定理”與平行線分線段成比例定理推論2不同，要注意是“三邊”對(duì)應(yīng)成比例.作業(yè)：P218—5、6、7、8課后練習(xí)：1．如圖，AD∥EF∥BC，AD=12，BC=18，AE：EB=2：3，求EF.2．如圖，D為△ABC邊AB上一點(diǎn)，過D作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H.求證：GH∥AB.3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，P點(diǎn)在BC上，PE∥CD，PF∥AB，設(shè)PE=m,PF=n,x=m+n，問P在BC上移動(dòng)時(shí)，x的值是否變化？并說明理由.1．解：過D作DN∥AB交EF于M，交BC于N，∵AD∥EF∥BC，∴，

∴，∴，∵EM=AD=12，∴cm.另解：①延長BA、CD于G.②過E作CD平行線交AD于M，交BC于N.③連結(jié)AC交EF于G。請(qǐng)同學(xué)