離散數(shù)學(xué)試卷及參考A題目一：判斷命題的真假性命題一：對于所有自然數(shù)n，n+3>n-1。命題二：存在整數(shù)x和y，使得x是3的倍數(shù)，y是4的倍數(shù)，且x+y=7。參考：命題一：真。把n+3和n-1兩邊同減去n，得到2>0，這是顯然成立的。命題二：假。假設(shè)存在整數(shù)x和y，滿足x是3的倍數(shù)，y是4的倍數(shù)，且x+y=7。由于3和4互質(zhì)，所以x和y必須都是12的倍數(shù)。但7不是12的倍數(shù)，所以不存在這樣的x和y。題目二：用歸納法證明命題：對于所有的自然數(shù)n，1+2+…+n=\\frac{n(n+1)}{2}。參考：基礎(chǔ)情形：當(dāng)n=1時(shí)，1=\\frac{1(1+1)}{2}成立。歸納假設(shè)：假設(shè)命題對于某個(gè)自然數(shù)k成立，即1+2+…+k=\\frac{k(k+1)}{2}。歸納步驟：考慮到當(dāng)n=k+1時(shí)，我們有：1+2+…+k+(k+1)=\\frac{(k+1)(k+2)}{2}我們可以把左邊的式子用歸納假設(shè)展開：\\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\\frac{(k+1)(k+2)}{2}將兩側(cè)都乘以2得：k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2)這個(gè)等式顯然成立，因此得證。題目三：用反證法證明命題：如果n^2+1是質(zhì)數(shù)，那么n是偶數(shù)。參考：假設(shè)n是奇數(shù)，即n=2k+1，其中k是自然數(shù)。將n代入n^2+1，我們得到：n^2+1=(2k+1)^2+1=4k^2+4k+2我們的命題是假設(shè)n^2+1是質(zhì)數(shù)，那么n是偶數(shù)。為了證明這是錯(cuò)誤的，只需要找到一個(gè)例子，使得n^2+1是質(zhì)數(shù)且n是奇數(shù)。我們可以取k=1，這時(shí)n=3，代入原命題得：n^2+1=10這是一個(gè)合數(shù)，因此證明了假設(shè)的命題是正確的。題目四：給出一個(gè)充分條件命題：對于一組正整數(shù)a、b、c，如果ax+by=c的最大公約數(shù)等于d，則對于所有的整數(shù)x與y，當(dāng)且僅當(dāng)dx'+dy'=c/d時(shí)，存在整數(shù)x'與y'。參考：我們需要證明的是：充分性。也就是如果ax+by=c的最大公約數(shù)等于d，并且對于所有的整數(shù)x與y，當(dāng)且僅當(dāng)dx'+dy'=c/d時(shí)，存在整數(shù)x'與y'。首先，可以證明ax'+by'=d。我們可以把第二個(gè)等式乘以d，得到dx'+dy'=c。然后把x'=x*(c/d)和y'=y*(c/d)代入ax+by=c，得到：a(x*(c/d))+b(y*(c/d))=c這是一個(gè)等價(jià)的形式，但這個(gè)等式的最大公約數(shù)是d，因?yàn)樗窃嫉仁降囊环N特殊情況。因此，對于所有的整數(shù)x'和y'，我們可以找到一個(gè)整數(shù)x和y，使得ax+by=d。這就證明了充分性。題目五：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：對于所有的自然數(shù)n，3^n>n。參考：基礎(chǔ)情形：當(dāng)n=1時(shí)，3^1>1，命題成立。歸納假設(shè)：假設(shè)命題對于某個(gè)自然數(shù)k成立，即3^k>k。歸納步驟：考慮到當(dāng)n=k+1時(shí)，我們有：3^{k+1}=3\\times3^k我們知道3^k>k，所以3^{k+1}=3\\times3^k>3k。因?yàn)?>1，所以當(dāng)3k>k+1時(shí)，有3k>k+1>1。所以我們可以說：3^