柱體與錐體的體積公式第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六瞧，這么宏偉壯觀的金字塔呀！

——你們能求出它的體積嗎？看，這不是不復(fù)存在的世貿(mào)大廈嗎？

——這兩個(gè)棱柱的體積怎么求？想知道吧？讓我們一起來學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容吧！引入第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

教學(xué)流程祖暅原理柱體的體積公式錐體的體積公式隨堂練習(xí)小結(jié)第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。

（一）祖暅原理祖暅夾在平行平面α、β間的兩個(gè)幾何體，被平行于α、β的任何一個(gè)平面所截，如果截面（陰影部分）的面積S1=S2，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等。截面過程第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之在計(jì)算圓周率等問題方面有光輝的成就。祖沖之的兒子祖暅也在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)。祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了這個(gè)體積計(jì)算原理。祖暅提出這個(gè)原理，要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年。在歐洲知道17世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年~1647年）提出上述結(jié)論。（429年~500年）

（一）祖暅原理：第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例如：取一摞書放在桌面上，將它如圖那樣改變一下形狀，這時(shí)高度沒有改變，每頁(yè)紙的面積也沒有改變，因而這摞書的體積與變形前相等。引例：第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一個(gè)平面α內(nèi)（右圖）（二）柱體的體積公式

根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等。由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘于高，于是我們得到柱體的體積公式V柱體=S?h其中S是柱體的底面積，h是柱體的高第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1：有一堆相同規(guī)格的六角螺毛坯5.8k，已知底面六邊形的邊長(zhǎng)是12mm,高是10mm，內(nèi)孔直徑是10mm,問約有毛坯多少個(gè)(鐵的比重是7.8g/cm3)

解：六角螺帽毛坯的體積是一個(gè)正六棱柱的體積與一個(gè)圓柱的體積的差.V正六棱柱=[(1.732/2×12×12)×6]×10≈3.74×103(mm3)V圓柱=3.14×25×10≈0.785×103(mm3)毛坯的體積V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)∴5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(個(gè))答:這堆毛坯約有250個(gè)。ONP鞏固知識(shí)，靈活運(yùn)用第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（三）錐體的體積公式設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的兩個(gè)錐體，使它們的底面在同一個(gè)平面α內(nèi)。根據(jù)祖暅原理，可推導(dǎo)出定理。

定理：等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。為了求錐體的體積公式,我們先研究等底等高的任意兩個(gè)錐體體積之間的關(guān)系!截面過程第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、深入探究，揭示新知設(shè)三棱柱ABC-A′B′C′的底面積,即△ABC的面積為S,高即點(diǎn)A′到平面ABC的距離為h，則它的體積為S·h。沿平面A′BC和平面A′B′C，將這個(gè)三棱柱分割為3個(gè)三棱錐。割補(bǔ)過程第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其中三棱錐1、2的底面積相等（SΔA′AB=SΔA′B′B），高也相等（點(diǎn)C到AB′B′A的距離）；三棱錐2、3也有相等的底面（SΔB′BC=SΔA′B′B）和相等的高（點(diǎn)A到平面BCC′B′）的距離。因此，這三個(gè)三棱錐的體積相等，每個(gè)三棱錐的體積是:V三棱錐＝??S?h1、深入探究，揭示新知第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

對(duì)于一個(gè)任意的錐體，設(shè)它的底面積為S，高為h，那么它的體積應(yīng)等于一個(gè)底面積為S，高為h的三棱錐的體積。1、深入探究，揭示新知V三棱錐=?

?S?hV圓錐=?

?S?hhshs定理：如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是:V錐體=?

?S?h第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例2如圖,已知:三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD,側(cè)面ABC與底面所成的角θ.求證:V三棱錐=?SΔABC·ADcosθ.證明:在平面BCD內(nèi)，作DE⊥BC,垂足為E,連結(jié)AE,DE就是AE在平面BCD上的射影.根據(jù)三垂線定理，AE⊥BC.∴∠AED=∠θV三棱錐=?SΔBCD?AD=?×?×BC?ED?AD=?×?×BC?AE?cosθ?AD=?SΔABC?ADcosθ2、鞏固新知、靈活運(yùn)用ADCEBθ第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（四）隨堂練習(xí)：1、選擇：三棱錐A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，且ΔACD和ΔBCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么它的體積是（）A、a3/8B、3a3/8C、a3/16D、a3/42、判斷：底面是梯形的直棱柱的體積，等于兩個(gè)平行側(cè)面面積的和與這兩個(gè)側(cè)面間距離的積的一半。答案：正確。第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（五）小結(jié)：

知識(shí)點(diǎn)：1、理解掌握錐體體積公式和柱體體積公式。2、了解例題中有關(guān)的面積與其投影面積的關(guān)系。方法點(diǎn)和思想點(diǎn)：1、研究三棱柱與三棱錐體積公式關(guān)系時(shí)所用的割以及反面補(bǔ)的方法。2、研究過程中體現(xiàn)出從一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话愕乃枷敕椒ā?/p>

教育點(diǎn)：實(shí)際問題提醒把我們應(yīng)注意聯(lián)系實(shí)際生活。第15頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（五）作業(yè)：1、三棱錐的底面是ΔABC，AB=13cm，BC=5cm，C