第三章課程內容§3-1概述§3-2單自由度彈性體系的地震反應§3-3單自由度彈性體系的水平地震作用——地震反應譜法§3-4多自由度彈性體系的地震反應§3-5多自由度彈性體系的水平地震作用——振型分解反應譜法§3-6底部剪力法和時程分析法§3-7水平地震作用下的扭轉效應§3-8結構的豎向地震作用§3-9結構自振周期的近似計算§3-10地震作用計算的一般規(guī)定§3-11結構抗震驗算第一頁，共54頁。第一頁，共54頁。第三章重點、難點和基本要求重點和難點：1、重要術語、概念、定義2、單（多）自由度體系地震反應和地震作用計算3、底部剪力法4、結構抗震驗算基本要求：掌握結構抗震驗算基本方法第二頁，共54頁。第二頁，共54頁。§3-5多自由度彈性體系的水平地震作用

----振型分解反應譜法振型分解反應譜法是在振型分解法的基礎上，結合運用單自由度體系反應譜理論得出的一種計算方法。一、基本方法簡介二、簡化計算步驟1、振型的最大地震作用2．振型組合和地震作用效應組合第三頁，共54頁。第三頁，共54頁。一、基本方法簡介多自由度彈性體系在地震時的水平地震作用就是質點所受的慣性力，故質點i上的地震作用為：式中mi——質點i的質量；——地面運動加速度；——質點i的相對加速度。根據振型分解法，這樣，其中為與j振型相應振子的絕對加速度。為作用在第j振型質點i上的水平地震作用。根據上式可以作出隨時間變化的曲線，以求出供設計用的最大地震作用。但計算太繁，一般采用簡化方法。

第四頁，共54頁。第四頁，共54頁。二、簡化計算步驟利用單自由度體系的設計反應譜，按先求出對應于每一振型各質點的最大水平地震作用(同時達到最大值)及相應的地震作用效應，然后對這些效應進行振型組合，以求得結構的最大地震作用效應。具體步驟如下：1、振型的最大地震作用由，作用在第j振型第i質點上的地震作用絕對最大值Fji為：令，

則

(i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)為為對應于j振型i

質點水平地震作用標準值計算公式

第五頁，共54頁。第五頁，共54頁。j振型i質點水平地震作用標準值計算公式

(i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)

為對應于j振型i質點水平地震作用標準值計算公式。式中：Fji—j振型i質點的水平地震作用標準值；rj—j振型的振型參與系數；Xji—j振型i質點的振型位移幅值；Gi—集中于i質點的重力荷載代表值；αj—相應于j振型自振周期Tj的地震影響系數。

是第j振型對應的振子(單質點體系)的最大絕對加速度與重力加速度之比，故αj是相應第j振型的地震影響系數，而這時的自振周期為與第j振型相對應的振子的周期Tj，即為第j振型的自振周期。第六頁，共54頁。第六頁，共54頁。2．振型組合

由式可求得某一振型各質點的最大水平地震作用Fji

(i=，1，2，…，n)，再按照一般結構力學方法可求得結構對應于該振型的最大地震作用效應Sj

(Fji→Sj)

。根據結構在任一時刻所受的地震作用為該時刻各振型地震作用之和。但是，各振型的地震作用(從而相應的地震作用效應)不會同時達到最大值。如何組合各振型的最大地震作用效應，合理地確定結構總的地震作用效應？第七頁，共54頁。第七頁，共54頁。地震作用效應組合根據隨機振動理論，如假定地震時地面運動為平穩(wěn)隨機過程，則對于各平動振型產生的地震作用效應可近似地采用“平方和開方”法確定，即式中S——結構水平地震作用效應，

Sj——j振型水平地震作用產生的作用效應(彎矩、剪力、軸力和變形等)m——參與組合的振型的個數，可只取前2～3個振型(因為高階振型隨著其自振頻率ωj的增加，Sj在S中的貢獻迅速減少)，當基本自振周期大于1.5s或房屋高寬比大于5時，振型個數可適當增加。必須注意，不能先將各振型的地震作用Fji采用“平方和開方”法進行組合，求出總的地震作用，再求地震作用效應。因為高階振型中的地震作用有正有負，經平方后，全為正值，這樣將夸大結構所受的地震作用效應。第八頁，共54頁。第八頁，共54頁?！?-6底部剪力法和時程分析法一、底部剪力法1、底部剪力法示意圖2、結構底部剪力的計算（FEk）3、各質點水平地震作用標準值的計算（Fi）4、頂部附加地震作用的計算（△Fn）二、時程分析法第九頁，共54頁。第九頁，共54頁。一、底部剪力法按振型分解反應譜法計算房屋結構的水平地震作用時，運算過程較繁。為了簡化計算，《抗震規(guī)范》規(guī)定，當房屋結構滿足下列條件時，可采用近似計算法----底部剪力法：(1)房屋結構的質量和剛度沿高度分布比較均勻；(2)房屋的總高度不超過40m；(3)房屋結構在地震作用時的變形以剪切變形為主(房屋高寬比小于4時)；(4)房屋結構在地震作用時的扭轉效應可忽略不計。滿足上述條件的結構，在水平地震作用下振動時，其位移反應通常以基本振型為主，且基本振型近似于直線。

第十頁，共54頁。第十頁，共54頁。1、底部剪力法示意圖底部剪力法是先計算出作用于結構的總水平地震作用，也就是作用于結構底部的剪力，然后將總水平地震作用按一定的規(guī)律分配給各質點。關鍵是求出FEK、Fi、△Fn第十一頁，共54頁。第十一頁，共54頁。2、結構底部剪力的計算（FEk）1、結構底部剪力的計算根據靜力平衡條件，相應于j振型的結構底部剪力應等于j振型下結構的總水平地震作用，即應等于j振型各質點水平地震作用Fji之和。故由式可得j振型下結構底部剪力標準值：式中——結構總重力荷載代表值，

Gi----為i質點重力荷載代表值；

α1---相應于結構基本周期的水平地震影響系數。（結構底部剪力是一種地震作用效應）

第十二頁，共54頁。第十二頁，共54頁。根據“平方和開方”的振型組合原則，結構底部總剪力的標準值FEk(也就是結構總水平地震作用)應為

或：式中，FEk----結構總水平地震作用標準值，即結構底部剪力標準值；

----相應于結構基本周期的水平地震影響系數，----結構等效總重力荷載代表值ξ----為高振型影響系數，也稱等效重力荷載系數，即把多質點體系視為等效的單質點體系時的轉換系數。對單質點體系，ξ＝1；如為無窮多質點體系，ξ＝0.75；對單質點體系，即ξ＝0.85第十三頁，共54頁。第十三頁，共54頁。3、各質點水平地震作用標準值的計算（Fi）由于結構在水平地震作用下的位移反應以基本振型為主，故各質點的水平地震作用Fi近似取等于Fi1(對應于基本振型的各質點水平地震作用)，則由得到：Fi=F1i=α1γ1X1iGi

而且，基本振型近似為直線，故質點的水平相對位移幅值X1i，與質點的計算高度Hi成正比，即X1i=ηHi，其中η為比例常數。于是上式可寫為：Fi=F1i=α1γ1ηHiGi

則結構總水平地震作用可表示為：而質點i的水平地震作用標準值

Gi、Gj——分別為集中于質點i、j的重力荷載代表值；

Hi、Hj——分別為質點i、j的計算高度。

第十四頁，共54頁。第十四頁，共54頁。4、頂部附加地震作用的計算（△Fn）

1）、頂部附加地震作用系數δn當結構基本周期較長，特征周期Tg較小時，由于高階振型的影響增大，且主要影響在結構上部，按質點i的水平地震作用標準值計算式計算時，結構頂部的地震剪力偏小，故須按頂部附加地震作用系數δn進行調整。頂部附加地震作用系數δnTg(s)T1>1.4TgT1≤1.4Tg≤0.350.08T1+0.070<0.3～0.550.08T1+0.010>0.550.08T1—0.020第十五頁，共54頁。第十五頁，共54頁。2）、T1>1.4Tg

時各質點水平地震作用《抗震規(guī)范》規(guī)定，當結構基本周期T1>1．4Tg時，將結構總地震作用的一部分作為集中力△Fn作用于結構頂部，頂部附加的水平地震作用可取為：△Fn=δnFEk；再將余下的部分(1一δn)FEk按質點進行分配。在考慮頂部附加水平地震作用影響，調整后，各質點水平地震作用可表示為1、頂點的水平地震作用為：2、其余各質點的水平地震作用為：第十六頁，共54頁。第十六頁，共54頁。3）、鞭端效應震害表明，局部突出屋面的小建筑如電梯機房、水箱間、女兒墻、煙囪等，它們的震害比下面主體結構嚴重。這是由于出屋面的這些建筑的質量和剛度突然變小，地震反應隨之急劇增大的緣故。這種現象在地震工程中稱為“鞭端效應”。這類小建筑地震反應強烈的程度取決于其與下面主體建筑物的質量比與剛度比，以及場地條件。為了簡化計算，《抗震規(guī)范》提出，當房屋屋面有局部突出的小屋時，可將小屋上半部分的質量集中于其頂面，成為一個質點，用底部剪力法計算結構各質點的水平地震作用。但當計算這小屋的地震作用效應時，宜乘以增大系數3，但增大部分不應往下傳遞（計算以下各層地震剪力時不考慮）。當房屋頂部有突出屋面的小屋時，上述附加的集中水平地震作用△Fn應置于主體房屋的頂層而不應置于小屋的頂部，主體房屋頂層處質點的地震作用按調整后(考慮δn影響)的頂點計算。小屋頂部處質點的地震作用按調整后的一般質點計算后，再乘以增大系數3。第十七頁，共54頁。第十七頁，共54頁。二、時程分析法1、簡介反應譜法，是將地震對結構的作用用等效荷載來表示，并利用靜力學分析的方法分析結構的地震作用及其效應。優(yōu)點：計算簡便，缺點：不能反映地震作用下的反應過程，尤其是在強烈地震作用下結構進入塑性狀態(tài)時，基于彈性分析的反應譜法就不能得到真正的地震反應。

時程分析法：直接對結構的運動微分方程進行積分，當確定了地震時的地面運動加速度曲線時，可以求得地震過程中每一時刻的結構地震反應。時程分析法可以跟蹤結構在地震時的整個反應過程，并能適用于結構的彈塑性地震反應分析。第十八頁，共54頁。第十八頁，共54頁。2、時程分析法的基本思路方法的基本思路：將地震作用的整個過程劃分為很多個小的微時段，對每一時段中結構的特性(如結構是處于彈性、彈塑性或塑性階段)可以通過前面時段的結果來確定，并對結構在這一時段中的反應規(guī)律作數值上的假設，從而使計算簡化，并求出該時段末時的結構反應，作為下一時段結構反應計算的基礎。較常用的時程分析法有：線性加速度法、威爾遜(Wilson)法和紐馬克(Newmark)法。第十九頁，共54頁。第十九頁，共54頁。3、時程分析法（線性加速度法）簡介

首先將整個地震時程劃分為一系列的微小時段，每一時段的長度稱為步長，記為。在線性加速度法中，假設質點的加速度在任一時段內的變化為線性關系，如左圖所示。設巳求了第i+1時段以前的各時段始末端時刻(也同時為第i+1時段的始端)質點的位移、速度和加速度。在時刻質點的位移、速度和加速度分別記為。

第二十頁，共54頁。第二十頁，共54頁。因為在第i+1時段內加速度是線性變化的，這一時段內任一時刻的加速度可寫成：將上式對積分，得：令則得到：和由單自由度體系的運動微分方程得：上述三式給出了時刻地震反應（）和時刻的地震反應（）之間的關系。當已知時，上述三式也可看作是求解的方程組。

第二十一頁，共54頁。第二十一頁，共54頁。4、多自由度體系的時程分析

對于多自由度體系的時程分析，其原理與單自由度體系基本相同。根據要求計算的結果和采用運動微分方程形式的不同，對多自由度體系進行時程分析可采用以下兩種方法。（1）、振型分解時程分析法：當只需計算前幾個振型的地震反應的影響時，采用此法比較經濟。這種方法先將運動微分方程組按振型分解成n個單自由度振子的運動微分方程，并按上述的時程分析方法來解。最后對各振型的地震作用效應進行組合，得到體系的地震作用效應。（2）、直接對運動微分方程組進行逐步積分求解，主要用于求解非線性體系的地震作用效應。由于時程分析法的計算工作量很大，因此必須采用計算機來進行數值計算。

第二十二頁，共54頁。第二十二頁，共54頁?！?-7水平地震作用下的扭轉效應《抗震規(guī)范》規(guī)定，結構考慮水平地震作用的扭轉影響時，可采用下列方法：1．規(guī)則結構不進行扭轉耦連計算時，平行于地震作用方向的兩個邊榀，其地震作用效應宜乘以增大系數。一般情況下，短邊可按1.15采用，長邊可按1.05采用；當扭轉剛度較小時，按不小于1.13采用。2．按扭轉藕連振型分解法計算時，各樓層可取兩個正交的水平位移和一個轉角共三個自由度，并應按公式計算地震作用和作用效應。3．確有依據時，尚可采用簡化計算方法確定地震作用效應。

第二十三頁，共54頁。第二十三頁，共54頁。一、第j振型第i層的水平地震作用標準值第j振型第i層水平地震作用標準值，按下列公式確定：分別表示第j振型第i層的x方向、y方向和轉角t方向的地震作用標準值。第二十四頁，共54頁。第二十四頁，共54頁。二、考慮單向水平地震作用下的扭轉效應考慮單向水平地震作用下的扭轉效應，可按下列公式確定：

第二十五頁，共54頁。第二十五頁，共54頁。三、考慮雙向水平地震作用下的扭轉效應考慮雙向水平地震作用下的扭轉效應，可按下列公式的較大值確定

第二十六頁，共54頁。第二十六頁，共54頁?！?-8結構的豎向地震作用各國現行抗震設計規(guī)范對豎向地震作用都有所反映。我國《抗震規(guī)范》規(guī)定，8度和9度時的大跨結構、長懸臂結構、煙囪和類似高聳結構，9度時的高層建筑，應考慮豎向地震作用。

對于豎向地震作用的計算，我國《抗震規(guī)范》根據建筑類別不同，分別采用豎向反應譜法和靜力法：1、9度時的高層建筑，其豎向地震作用標準值可按反應譜法計算。2、對平板型網架屋蓋、跨度大于24m屋架、長懸臂結構及其他大跨度結構的豎向地震作用標準值，可按靜力法計算。

第二十七頁，共54頁。第二十七頁，共54頁。一、豎向反應譜法1、豎向反應譜由統(tǒng)計分析結果表明，各類場地的豎向反應譜βv與水平反應譜βH相差不大。因此，在豎向地震作用計算中，可近似采用水平反應譜。另據統(tǒng)計，地面豎向最大加速度與地面水平最大加速度比值為1／2～2／3。對震中距較小地區(qū)宜采用較大數值。所以，豎向地震系數與水平地震系數之比取kV／kH=2／3。因此，豎向地震影響系數

其kV、kH分別為豎向和水平地震系數；βV、βH分別為豎向和水平動力系數；αV、αH分別為豎向、水平地震影響系數。豎向地震影響系數，可取水平地震影響系數的0.65。

第二十八頁，共54頁。第二十八頁，共54頁。2、豎向地震作用計算研究表明，高層建筑和高聳結構取第一振型豎向地震作用作為結構的豎向地震作用時誤差不大，而第一振型接近于直線，于是，質點i上的豎向地震作用標準值可寫成結構總豎向地震作用標準值

或

Gi——第i質點重力荷載代表值；

Hi——第i質點的高度

第二十九頁，共54頁。第二十九頁，共54頁。二、靜力法《抗震規(guī)范》規(guī)定，對平板型網架屋蓋、跨度大于24m屋架、長懸臂結構及其他大跨度結構的豎向地震作用標準值，可靜力法計算：式中：λ——豎向地震作用系數

（取值見教材表3-10）Gi——結構、構件重力荷載代表值。

第三十頁，共54頁。第三十頁，共54頁。§3-9結構自振周期的近似計算按振型分解法計算多質點體系的地震作用時，需要確定體系的基頻和高頻以及相應的主振型。從理論上講，它們可通過解頻率方程………

得到。但是，當體系的質點數多于三個時，手算就感到困難。因此，在工程計算中，常常采用近似法。

一、瑞利（Rayleigh）法

二、折算質量法

三、頂點位移法

四、矩陣迭代法

第三十一頁，共54頁。第三十一頁，共54頁。一、瑞利（Rayleigh）法這個方法是根據多質點彈性體系在自由振動過程中，總能量保持不變即能量守恒原理導出的，是一種只能用于求解多質點彈性體系基本頻率或基本周期的近似方法。基本頻率的近似計算公式結構的基本周期為

Gi——質點i的重力荷載(kN)，Gi=mig；ui——在各假設水平荷載Gi共同作用下，質點i處的水平彈性位移(m)。

第三十二頁，共54頁。第三十二頁，共54頁。瑞利（Rayleigh）法示意圖Gi——質點i的重力荷載(kN)，Gi=mig；ui——在各假設水平荷載Gi共同作用下，質點i處的水平彈性位移(m)。第三十三頁，共54頁。第三十三頁，共54頁。三、頂點位移法頂點位移法是最常用的一種求結構體系基本周期的近似方法。基本原理：將結構按其質量分布情況化成有限個質點或無限個質點的懸臂直桿，以結構頂點位移來表達體系的基本周期。考慮一質量均勻的懸臂直桿(如左圖)，桿單位長度的質量為，相應重力荷載為。

第三十四頁，共54頁。第三十四頁，共54頁。1、桿按彎曲振動若桿按彎曲振動，則其基本周期可按下式計算懸臂直桿在均布重力荷載q水平作用下，彎曲變形時的頂點位移為這樣第三十五頁，共54頁。第三十五頁，共54頁。2、桿按剪切振動

若桿按剪切振動，則其基本周期為懸臂直桿在均布重力荷載q水平作用下，剪切變形時的頂點位移為

這樣，第三十六頁，共54頁。第三十六頁，共54頁。3、體系按彎剪振動若體系按彎剪振動，而相應彎剪變形時的頂點位移為△bＥ，則其基本周期可按下式計算

上式亦可用于計算一般多層框架結構的基本周期，只須求得框架在集中于樓(屋)蓋的重力荷載水平作用時的頂點位移即可。上述諸公式中，△的單位為m，Ｔ的單位為s。

第三十七頁，共54頁。第三十七頁，共54頁?！?-10地震作用計算的一般規(guī)定一、各類建筑結構地震作用的規(guī)定二、各類建筑結構的抗震計算第三十八頁，共54頁。第三十八頁，共54頁。一、各類建筑結構地震作用的規(guī)定(1)一般情況下，可在建筑結構的兩個主軸方向分別考慮水平地震作用并進行抗震驗算，各方向的水平地震作用應由該方向抗側力構件承擔。(2)有斜交抗側力構件的結構，當相交角度大于15°時，應分別考慮各抗側力構件方向的水平地震作用。(3)質量和剛度分布明顯不對稱的結構，應考慮雙向水平地震作用下的扭轉影響；其他情況，宜采用調整地震作用效應的方法考慮扭轉影響。(4)8度和9度時的大跨度結構、長懸臂結構，9度時的高層建筑，應考慮豎向地震作用。

第三十九頁，共54頁。第三十九頁，共54頁。二、各類建筑結構的抗震計算(1)高度不超過40m，以剪切變形為主且質量和剛度沿高度分布比較均勻的結構，以及近似于單質點體系的結構，宜采用底部剪力法等簡化方法。(2)除上述以外的建筑結構，宜采用振型分解反應譜法。(3)特別不規(guī)則的建筑、甲類建筑和表3—11（教材—）所列高度范圍的高層建筑，應采用時程分析法進行多遇地震下的補充計算，可取多條時程曲線計算結果的平均值與振型分解反應譜法計算結果的較大值。

第四十頁，共54頁。第四十頁，共54頁?！?-11結構抗震驗算一、二階段設計法二、截面抗震驗算

三、抗震變形驗算

第四十一頁，共54頁。第四十一頁，共54頁。一、二階段設計法如前所述，在進行建筑結構抗震驗算時，《抗震規(guī)范》采用二階段設計法，即：第一階段設計：按多遇地震作用效應和其他荷載效應的基本組合驗算構件截面抗震承載力，以及多遇地震作用下驗算結構的彈性變形；

第二階段設計：按罕遇地震作用下驗算結構的彈塑性變形。

第四十二頁，共54頁。第四十二頁，共54頁。二、截面抗震驗算1、結構構件的地震作用效應和其他荷載效應的基本組合，按下式計算：式中S——結構構件內力組合的設計值，包括組合的彎矩、軸向力和剪力設計值；

γG——重力荷載分項系數；γEh、γEv——分別為水平、豎向地震作用分項系數；γW——風荷載分項系數；SGE——重力荷載代表值的效應，有吊車時，尚應包括懸吊物重力標準值的效應；SEhk——水平地震作用標準值的效應，尚應乘以相應的增大系數或調整系數；SEvk——豎向地震作用標準值的效應，尚應乘以相應的增大系數或調整系數；Swk——風荷載標準值的效應；

ΨW——風荷載組合系數，一般結構可不考慮，風荷載起控制作用的高層建筑應采用0.2。

第四十三頁，共54頁。第四十三頁，共54頁。2、結構構件的截面抗震驗算

結構構件的截面抗震驗算，采用：式中：γRE——承載力抗震調整系數，除另有規(guī)定外，應按表3-14（承載力抗震調整系數）采用；當僅計算豎向地震作用時，各類結構構件承載力抗震承載力調整系數均宜采用1.0；

R——結構構件承載力設計值。

第四十四頁，共54頁。第四十四頁，共54頁。三、抗震變形驗算1、多遇地震作用下結構抗震變形驗算2、結構在罕遇地震作用下薄弱層的彈塑性變形驗算

第四十五頁，共54頁。第四十五頁，共54頁。1、多遇地震作用下結構抗震變形驗算（1）、計算范圍下表所列各類結構應進行多遇地震作用下的抗震變形驗算：第四十六頁，共54頁。第四十六頁，共54頁。（2）、計算方法樓層內最大彈性層間位移應符合下式要求：式中：——多遇地震作用標準值產生的樓層內最大的彈性層間位移；

——彈性層間位移角限值；

h——計算樓層層高。對于鋼筋混凝土框架結構，第i層的層間最大彈性位移可表示為：其中，為第i層水平地震剪力標準值為第i層所有柱的抗側移剛度之和第四十七頁，共54頁。第四十七頁，共54頁。2、結構在罕遇地震作用下薄弱層的彈塑性變形驗算（1）、計算范圍（2）、計算方法第四十八頁，共54頁。第四十八頁，共54頁。（1）、計算范圍1)、下列結構應進行彈塑性變形驗算：1)8度Ⅲ、Ⅳ類場地和9度