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2023年概率論考研真題與答案

1.（2023年數(shù)學一、三）設F1(x)和F2(x)為兩個分布函數(shù)，其相應的概率密度f1(x)與

f2(x)是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度函數(shù)的是_________.A.f1(x)f2(x)B.2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)解：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)0

[f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)]dxF1(x)F2(x)

1

2.（2023年數(shù)學一）設隨機變量X與Y相互獨立，且E(X)與E(Y)存在，記

UmaxX,Y，VminX,Y，則E(UV)_________.

A.E(U)E(V)B.E(X)E(Y)C.E(U)E(Y)D.E(X)E(V)解：由于當XY時，UX,VY；當XY時，UY,VX.

所以，UVXY，于是E(UV)E(XY)

根據(jù)X與Y相互獨立，所以E(UV)E(X)E(Y).

3.（2023年數(shù)學三）設總體X聽從參數(shù)為(0)的泊松分布，X1,X2,,Xn(n2)是

1n1n11

來自該總體的簡單隨機樣本，則對于統(tǒng)計量T1Xi和T2XXn，有i

n1i=1nni=1

__________.

A.E(T1)E(T2),C.E(T1)E(T2),解：

D(T1)D(T2)B.E(T1)E(T2),D(T1)D(T2)D(T1)D(T2)D.E(T1)E(T2),D(T1)D(T2)XP()

E(X),

D(X)

1n1n

E(T1)E(Xi)E(Xi)

ni=1ni=1

1n1111

E(T2)E(XX)(n1)innn1

n1i=1nn

E(T1)E(T2)

1

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1n1n1

D(T1)E(Xi)2D(Xi)2n

ni=1ni=1nn

1n111n11

D(T2)D(XX)D(X)D(Xn)inn(n1)2i2

n1i=1ni=1

11n1

(n1)()222

(n1)nn1nnn1n

D(T2)D(T1)

4.（2023年數(shù)學三）設(X,Y)聽從N(,,2,2,0)則E(XY2)____.

解：由于(X,Y)聽從二維正態(tài)分布，且相關(guān)系數(shù)為零，則X與Y相互獨立.

E(XY2)E(X)E(Y2)E(X)[D(Y)E2(Y)](22)

5.（2023年數(shù)學三）

22

且PXY1，求:(1)二維隨機變量(X,Y)的概率分布；(2)ZXY的概率分布；

(3)X與Y的相關(guān)系數(shù)XY.

2222

解：（1）由PXY1，可得：PXY0

PX0,Y1PX0,Y1PX1,Y00

因此，(X,Y)的概率分布為

2

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（2）顯然，ZXY的可能取值為-1,0,1，由(X,Y)的概率分布可得：

（3）E(X),D(X),E(Y)0,D(Y)

39

,E(XY)03

Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0

XY

0

6.（2023年數(shù)學一）設X1,X2,

,Xn是來自正態(tài)總體N(0,2)的簡單隨機樣本，其中0

222

已知，0，未知.（1）求參數(shù)的最大似然估計；（2）計算

E()和D().

22

解：總體的概率密度為:f(x;2)

(x)222

n

似然函數(shù)為

L()

2

i1

n

f(xi;)2

n

(xi0)2

i1

2

兩邊取對數(shù)，得lnL()n2

2

n

ln22

(x

i1

i

0)2

22

關(guān)于求導，得

dlnL()n

+22

d2

2

(x)

i

i1

n

2

2()

22

2dlnL(2)1n

0,解得的最大似然估計值(xi0)2令2

dni1

（2）

XiN(0,2)

Xi0

)

2

N(0,1)

n

(

i1

n

Xi0

1

2

(X

i1

i

0)22(n)

3

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2

E[

1

2

(X

i1

n

i0)]n,D[

2

1

2

(X

i1

n

2

)i0]2n

22nn

1122)E[于是，E((Xi0)]=E[2(Xi0)]=n=2ni1ni1n

21n41n42422D()D[(Xi0)]=2D[2(Xi0)]=22n=ni1ni1nn

7.（2023年數(shù)學三）設二維隨機變量(X,Y)聽從區(qū)域G上的均勻分布，其中G是由（1）X的概率密度fX(x)；（2）xy0,xy2以及y0所圍成的三角形區(qū)域.求：條件概率密度fX(xy).

解：（1）根據(jù)二維均勻分布的定義，(X,Y)的概率密度為

1,

f(x,y)

0,

X的概率密度為

(x,y)G其它

fX(x)

x1dy0x10x0x12-x

f(x,y)dy1dy1x2=2-x1x2

00其他0其他2-y1dx0y12(1-y)0y1

f(x,y