流體力學(xué)1的資料第1頁/共69頁B1

流體及物理性質(zhì)B2

流動(dòng)分析基礎(chǔ)B3微分形式的基本方程B4量綱分析與相似原理B5積分形式的基本方程B基礎(chǔ)篇第2頁/共69頁B2流動(dòng)分析基礎(chǔ)本章討論流體力學(xué)三要素中第二要素“運(yùn)動(dòng)”。

由于流體的易變形性，流體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)比剛體和固體更為復(fù)雜，描述的方法也有所不同。主要內(nèi)容：流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)和幾何描述；流場(chǎng)的概念；通過分析一點(diǎn)鄰域的流動(dòng)細(xì)節(jié)認(rèn)識(shí)流場(chǎng)；流動(dòng)分類；常用的流動(dòng)分析方法。重點(diǎn)：（1）建立流場(chǎng)的概念；

（2）用歐拉坐標(biāo)表示流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；

（3）拋棄剛體運(yùn)動(dòng)模式，建立質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流動(dòng)模型；

（4）用簡(jiǎn)化模型表示實(shí)際流動(dòng)，并明確其局限性。第3頁/共69頁B2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

為方便大家對(duì)流體運(yùn)動(dòng)兩種描述方法的理解，先介紹一下城市公共交通部門統(tǒng)計(jì)客流量的兩種方法：

在每一輛公交車上設(shè)安排記錄員，記錄每輛車在不同時(shí)刻（站點(diǎn)）上下車人數(shù)，此法稱為隨體法；

在每一站點(diǎn)設(shè)記錄員，記錄不同時(shí)刻經(jīng)過該站點(diǎn)的車輛上下車人數(shù)，此法稱為當(dāng)?shù)胤āＴ诹黧w力學(xué)中，我們用相似的方法來描述流體運(yùn)動(dòng)。第4頁/共69頁

拉格朗日法

拉格朗日法又稱隨體法：跟隨流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，記錄該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中物理量隨時(shí)間變化規(guī)律。設(shè)某質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為（a,b,c），該質(zhì)點(diǎn)的物理量B的拉格朗日表示式為式中(a,b,c)稱為拉格朗日坐標(biāo)，可用某特征時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置的空間坐標(biāo)定義，不同的（a,b,c）代表不同質(zhì)點(diǎn)。任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量（矢徑）的拉格朗日表示式為

上式代表任意流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

B2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第5頁/共69頁思考題:請(qǐng)判斷拉格朗日法適合于描述下列哪一類流動(dòng)：（A）研究一污染粒子在水中運(yùn)動(dòng)的軌跡；（B）研究無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)群的運(yùn)動(dòng)；（C）研究一個(gè)流動(dòng)空間的速度分布。A，對(duì)；B,雖適合，但描述無數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方程十分復(fù)雜，難以求解。C,錯(cuò)。拉格朗日法不能給出流體速度的空間分布。B2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第6頁/共69頁歐拉法歐拉法又稱當(dāng)?shù)胤ǎ簩⒛乘矔r(shí)占據(jù)某空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)物理量作為該空間點(diǎn)的物理量，物理量隨空間點(diǎn)位置和時(shí)間而變化。設(shè)空間點(diǎn)坐標(biāo)為，物理量B的歐拉表示式為式中稱為歐拉坐標(biāo)，不同的

代表不同的空間點(diǎn)。在流體力學(xué)中最重要的物理量是速度

和壓強(qiáng)，其歐拉表示式分別為物理量的歐拉表示式代表了該物理量的空間分布，稱為該物理量場(chǎng)，例如速度場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)等。因此歐拉觀點(diǎn)是場(chǎng)的觀點(diǎn)，可運(yùn)用數(shù)學(xué)上“場(chǎng)論”知識(shí)作為理論分析工具。歐拉法適用于描述空間固定域上的流動(dòng)，是流體力學(xué)中最常用的描述方法。第7頁/共69頁思考題:某人坐在勻速運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)上測(cè)量和記錄周圍各點(diǎn)空氣的速度和壓強(qiáng)，請(qǐng)問它采用的研究方法是：（A）拉格朗日法；（B）歐拉法；（C）兩者均不是。A,C錯(cuò)；B,對(duì)。參照系是飛機(jī)，固結(jié)于飛機(jī)上的坐標(biāo)系也是歐拉坐標(biāo)系。B2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第8頁/共69頁B2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第9頁/共69頁第10頁/共69頁第11頁/共69頁B2.2速度場(chǎng)的基本概念

速度場(chǎng)（速度分布）：任一瞬時(shí)由空間點(diǎn)上速度矢量構(gòu)成的場(chǎng).

直角坐標(biāo)系下三個(gè)方向的速度分量為：

速度廓線：某空間面或線上所有速度矢量的包絡(luò)線。

平面廓線：直圓管內(nèi)相同流量，不同流態(tài)下的兩種速度廓線三維廓線第12頁/共69頁B2.2.1

流量與平均速度

體積流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過一假想曲面的流體體積。

流過一面元

dA的體積流量

dQ為：

表示速度矢量在面元單位外法矢量方向的投影第13頁/共69頁

平均速度定義為：式中A為曲面的面積。則通過曲面A

的體積流量可以表示為

質(zhì)量流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過一假想曲面的流體質(zhì)量。

對(duì)于均質(zhì)流體，為常數(shù)，質(zhì)量流量為單位時(shí)間流過曲面A的體積流量為：

B2.2.1

流量與平均速度第14頁/共69頁例題B2.2.1：直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度已知：粘性流體在半徑為R的直圓管中做定常流動(dòng)。設(shè)管截面上有兩種速度分布，分別為拋物線分布和1/7指數(shù)分布：式中：

分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。求：兩種速度分布的:①

流量Q

的表達(dá)式；

②

截面平均速度V。B2.2.1

流量與平均速度第15頁/共69頁解：流量由單位時(shí)間流過曲面A的體積流量公式計(jì)算，注意到

dA=2πrdr拋物線分布1/7指數(shù)分布B2.2.1

流量與平均速度第16頁/共69頁平均速度由式計(jì)算拋物線分布1/7指數(shù)分布討論：由上可見，拋物線分布截面上的平均速度為最大速度的一半，而1/7指數(shù)分布截面上的平均速度為最大速度的0.8167倍，這是由于后者的速度廓線中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。B2.2.1

流量與平均速度第17頁/共69頁思考題：圖中A為流場(chǎng)中一封閉曲面，流量

代表:

A.流量為零；

B.與單個(gè)曲面一樣；

C.凈流入A的流量；D.凈流出A的流量。B2.2.1

流量與平均速度圖中n為曲面外法線方向矢量，其正負(fù)號(hào)代表流量的出與入第18頁/共69頁B2.2.1

流量與平均速度第19頁/共69頁二維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)只需要表示為二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)（另一個(gè)方向的參數(shù)保持不變或近似不變），二維流動(dòng)可分為平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng)等。B2.2.2一維、二維與三維流動(dòng)三維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)表示為三個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。平面流動(dòng)：無限長二維機(jī)翼的流動(dòng)

y方向的速度分量為零，在垂直于y方向的所有xz平面上的流動(dòng)均相同。

對(duì)翼展（y方向）遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于翼弦（x方向）的有限長機(jī)翼也可按二維流動(dòng)處理（僅需對(duì)翼端作三維修正）。第20頁/共69頁B2.2.2一維、二維與三維流動(dòng)一維流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)只需表示為一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。

例如，(1)質(zhì)點(diǎn)沿曲線S

的流動(dòng):(2)對(duì)于圓管截面上的流動(dòng)，可以引入平均速度，將其化為一維流動(dòng)（即圓管截面上均勻分布的平均速度代替實(shí)際速度分布）。如上圖中管截面上的虛線。軸對(duì)稱流動(dòng)：變截面直圓管內(nèi)的粘性流動(dòng)。第21頁/共69頁思考題:潤滑油在圓柱形旋轉(zhuǎn)滑動(dòng)軸承的間隙中被軸承帶動(dòng)，設(shè)間隙高度遠(yuǎn)小于軸承直徑和寬度，潤滑油的流動(dòng)可簡(jiǎn)化為：（A）圓柱形空間的三維流動(dòng)；（B）圓環(huán)形空間的三維流動(dòng)；（C）垂直于軸線的狹縫中的平面流動(dòng)。B2.2.2一維、二維與三維流動(dòng)第22頁/共69頁直圓管一維流動(dòng)修正因子B2.2.2一維、二維與三維流動(dòng)用平均速度描述圓管一維流動(dòng)簡(jiǎn)化了流量和壓強(qiáng)計(jì)算。但對(duì)截面上動(dòng)能和動(dòng)量計(jì)算造成偏差，引入動(dòng)能修正因子和動(dòng)量修正因子。表B2.2.1：圓管粘性一維定常流動(dòng)修正因子第23頁/共69頁第24頁/共69頁第25頁/共69頁第26頁/共69頁定常流動(dòng)：流動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。

定常流動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：在直角坐標(biāo)系中，B2.2.3定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)固定點(diǎn)速度值隨時(shí)間變化的典型波形第27頁/共69頁例如，圓球在靜止大氣中以勻速U

運(yùn)動(dòng)時(shí)，在靜止的坐標(biāo)系中觀察圓球?qū)Υ髿獾臄_動(dòng)是不定常的；但如果將坐標(biāo)系固定在圓球上，在與圓球一起前進(jìn)的坐標(biāo)系中觀察，靜止的大氣變成以勻速U對(duì)圓球的定常繞流。B2.2.3定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)

經(jīng)過坐標(biāo)變換，有的不定常流場(chǎng)可變換成定常流場(chǎng)。第28頁/共69頁B2.2.3定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)思考題:在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中，將飛機(jī)或汽車模型固定在洞壁上，讓空氣勻速地流過模型。請(qǐng)問這種流動(dòng)屬于：（A）定常流動(dòng)；（B）不定常流動(dòng)。第29頁/共69頁跡線：流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（下圖中曲線P）跡線方程

跡線的拉格拉日表示式：

B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述跡線的歐拉表示式為：或式中,t為自變量,x,y,z均為t的函數(shù)第30頁/共69頁跡線的特點(diǎn)：（1）跡線是流場(chǎng)中實(shí)際存在的（動(dòng)畫中藍(lán)色虛線為跡線）（2）跡線具有持續(xù)性。（3）在非定常流場(chǎng)中，過流場(chǎng)中的一點(diǎn)可以有多條跡線。

思考題:請(qǐng)判斷下列說法是否正確：過流場(chǎng)中的一點(diǎn)可以有多條跡線。（A）根本不可能；（B）在定常流中是正確的；（C）在不定常流中是正確的。B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第31頁/共69頁

流線：線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的速度方向一致的假想曲線。（下圖中曲線S）流線方程（只有歐拉表示式）：在直角坐標(biāo)系中或式中,t為參數(shù),x,y,z為自變量

B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第32頁/共69頁流線的特點(diǎn)：（1）流線是假想的線。（動(dòng)畫中粉紅色虛線為流線）（2）流線具有瞬時(shí)性（t為參數(shù)）。（3）在定常流場(chǎng)中流線與跡線重合。

（4）在某一瞬時(shí)，過流場(chǎng)中的一點(diǎn)有且僅有一條流線。（奇點(diǎn)、駐點(diǎn)除外）

思考題:請(qǐng)判斷下列說法是否正確：過流場(chǎng)中的一點(diǎn)可以有多條流線。（A）根本不可能；（B）在定常流中是正確的；（C）在不定常流中是正確的。B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第33頁/共69頁設(shè)速度場(chǎng)為,式中k為常數(shù)，試求:

流線（跡線）方程，并畫出流線圖。例A：定常流場(chǎng)的流線（跡線）解：流場(chǎng)為定常流場(chǎng)，由流線定義：代入速度場(chǎng)表達(dá)式：積分可得：流線方程為：上式為雙曲線方程，取常數(shù)c=1,2,-1,-2,畫出右圖所示的流線圖。設(shè)k>0，由速度分布式可確定流動(dòng)方向如圖中所示；x、y軸是c=0的流線，稱為零流線。

在原點(diǎn)上u=v=0，說明原點(diǎn)是駐點(diǎn)，通常稱這種流動(dòng)為（90°）角域流。由于此流場(chǎng)是定常流場(chǎng)，流線也就是跡線。第34頁/共69頁設(shè)速度場(chǎng)為，t=0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)，試求：（1）質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程。（2）t=0時(shí)刻，過原點(diǎn)的流線方程；（3）t=1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向。解：此流場(chǎng)屬無周期性的不定常流場(chǎng)。（1）由跡線公式可得，跡線方程組：積分在t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)，x=y=0

c1=c2=0

例B：非定常流場(chǎng)的跡線與流線質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程為：(a)第35頁/共69頁消去參數(shù)t可得：上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線是一條以（-1/2，-1）為頂點(diǎn)，且通過原點(diǎn)的拋物線（見右圖）。（2）由流線公式可得，流線方程為：積分在t=0時(shí)刻，流線通過原點(diǎn)，x=y=0

c=0

相應(yīng)的流線方程為

x=y這是一條過原點(diǎn)的，一三象限的角平分線，與質(zhì)點(diǎn)A的跡線在原點(diǎn)相切例B：非定常流場(chǎng)的跡線與流線(b)(c)第36頁/共69頁（3）為了確定t=1時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向，需求此時(shí)刻過質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程。例B：非定常流場(chǎng)的跡線與流線由跡線的參數(shù)式方程(a)可確定，t=1

時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A位于x=3/2,y=1位置，代入流線方程(b)c=-1/4t=1時(shí)刻過流體質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方程為

x=2y－1/2(d)上式是一條與流體質(zhì)點(diǎn)A的跡線相切于(3/2,1)點(diǎn)的斜直線，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檠卦撝本€朝x,y值增大方向。討論：以上可見，不定常流動(dòng)中跡線與流線不重合；不同時(shí)刻通過某空間固定點(diǎn)的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點(diǎn)所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。第37頁/共69頁脈線：相繼通過一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)連成的線。(黑線)脈線的特點(diǎn)：（1）容易實(shí)現(xiàn)：在固定點(diǎn)連續(xù)釋放染色劑（在水中）或煙（空氣中），在某一瞬時(shí)觀察到的從該固定點(diǎn)出發(fā)的染料或煙的脈絡(luò)線即為脈線，也稱為條紋線、染色線或煙線。

（2）在定常流中脈線與流線、跡線重合（3）不定常流中脈線與流線、跡線均不重合B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述煙線繞圓柱流動(dòng)(卡門渦街)第38頁/共69頁流體線（時(shí)間線）：在流場(chǎng)中某時(shí)刻標(biāo)記的一串首尾相接的流體質(zhì)點(diǎn)的連線。流體線的特點(diǎn)：（1）在流體線上每一質(zhì)點(diǎn)沿各自的跡線運(yùn)動(dòng)

（動(dòng)畫中黑線為流體線）（2）在定常流中取與流線垂直的流體線構(gòu)成方格，可顯示流體團(tuán)隨時(shí)間變形的特征。

B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第39頁/共69頁思考題:請(qǐng)判別圖中虛線（在平板向右勻速拖動(dòng)的過程中，從垂直線變?yōu)樾敝本€的虛線）是：（A）跡線；（B）流線；（C）脈線；（D）時(shí)間線。B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第40頁/共69頁流管：在流場(chǎng)中通過任意的非流線的封閉曲線上每一點(diǎn)作流線所圍成的管狀面。（見下圖）。流管的特點(diǎn)：（1）具有流線所有的特點(diǎn)；（2）在定常流中流管形狀不變，像固定的管道。

B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第41頁/共69頁流束：流管內(nèi)的流體，可看作無數(shù)流線的集束。平行流：流束內(nèi)所有流線均相互平行。緩變流：流束內(nèi)的所有流線雖然不完全平行，但流線之間的夾角很小。有效截面：處處與流線垂直的截面。（平行流的有效截面是平面,緩變流的有效截面近似為平面）微元流束：有效截面為無限小的流束。工程上常將微元流束代表流線?？偭鳎核形⒃魇目偤汀?/p>

工程上常將管道或渠道壁所圍的流體流動(dòng)稱為總流。B2.3流體運(yùn)動(dòng)的幾何描述第42頁/共69頁隨體導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）：質(zhì)點(diǎn)加速度是流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中速度隨時(shí)間的變化率。（這種描述加速度的方式屬于拉格朗日觀點(diǎn)）那么怎樣用歐拉觀點(diǎn)來描述質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)呢？

B2.4流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)第43頁/共69頁在給定的速度場(chǎng)中，任意一質(zhì)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)時(shí)空間位置隨時(shí)間不斷變化（見下圖）B2.4.1

加速度場(chǎng)速度的三個(gè)歐拉坐標(biāo)都是時(shí)間的函數(shù)，用全導(dǎo)數(shù)的方法求質(zhì)點(diǎn)p的加速度。第44頁/共69頁由p的任意性，用歐拉坐標(biāo)表示的空間加速度場(chǎng)為：在直角坐標(biāo)系中加速度場(chǎng)的分量式為：B2.4.1

加速度場(chǎng)第45頁/共69頁在沿流線s

的一維流動(dòng)V=V(s,t)中，加速度分布為：例題B2.4.1:質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：由速度場(chǎng)求加速度求：①加速場(chǎng)；②原點(diǎn)和（1,1,1）點(diǎn)的加速度。已知:

速度場(chǎng)B2.4.1

加速度場(chǎng)第46頁/共69頁解：結(jié)果表明:原點(diǎn)的加速度的y,z分量在任何時(shí)刻均為零。而（1,1,1）點(diǎn)的加速度三個(gè)分量在不同時(shí)刻均不同。在（1,1,1）點(diǎn)，z方向的速度分量與時(shí)間無關(guān)，但加速度分量卻與時(shí)間有關(guān)。

B2.4.1

加速度場(chǎng)①在原點(diǎn)，在（1,1,1）點(diǎn)

②第47頁/共69頁B2.4.2

質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)任意物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為：表示空間點(diǎn)上的物理量B隨時(shí)間的變化率，稱為物理量B的當(dāng)?shù)刈兓剩ň植繉?dǎo)數(shù)），反應(yīng)流場(chǎng)的不定常性。表示沿x方向的位移（遷移）時(shí)，因流場(chǎng)的不均勻性引起的物理量B的變化，稱為物理量B在x方向遷移變化率（或位變導(dǎo)數(shù)）；和分別表示在y，z方向的遷移變化率；第48頁/共69頁式中：流場(chǎng)加速度可表示為：當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度用場(chǎng)論符號(hào)表示B2.4.2

質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)第49頁/共69頁思考題:

右圖為一水箱帶一收縮圓錐噴嘴，水位高h(yuǎn)。請(qǐng)判斷下列說法是否正確：（1）h為為常數(shù)時(shí)，點(diǎn)2的加速度為零，點(diǎn)1有遷移加速度 （a）對(duì)；（b）錯(cuò)。（2）h隨時(shí)間變化時(shí)，點(diǎn)2只有當(dāng)?shù)丶铀俣龋c(diǎn)1既有當(dāng)?shù)丶铀俣扔钟羞w移加速度 （a）對(duì)；（b）錯(cuò)。

（A）a,a；（B）a,b；（C）b,a；（D）b,b。B2.4.2

質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)第50頁/共69頁已知：圖中為一圓錐形收縮噴管，長為36cm，底部A0和頂部A3的直徑分別為d0=9cm,d3=3cm。恒定流量Q=0.02m3/s。A1和A2為兩個(gè)三分點(diǎn)的圓截面。求:按一維流動(dòng)計(jì)算A0,A1,

A2,

A3四個(gè)截面上的速度和加速度例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度解：取軸向流動(dòng)方向?yàn)檩S，底部為原點(diǎn)。噴管內(nèi)為定常流動(dòng)，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，只有遷移加速度。按一維流動(dòng)式計(jì)算V為管截面上的平均速度。任意管截面與底部的距離為x，面積A與x的關(guān)系為第51頁/共69頁例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度任意管截面上的平均速度和加速度為計(jì)算結(jié)果如下表所示第52頁/共69頁例B2.4.2：收縮噴管定常流動(dòng)：遷移加速度平均速度和加速度的變化曲線如圖所示討論：結(jié)果表明，圓錐進(jìn)出口截面直徑比為3:1，速度比為1:9，加速度比為1:242。由牛頓第二定律，加速度與作用力成正比，因此流體對(duì)噴管壁的沖擊力將是很大的。力的計(jì)算將在B4.3節(jié)中討論。第53頁/共69頁

B2.5一點(diǎn)鄰域內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與力有關(guān)，但本節(jié)先不考慮力的作用，純粹從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析一空間點(diǎn)鄰域內(nèi)的流動(dòng)特征。用位移場(chǎng)計(jì)算基元體的應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)角固體力學(xué)流體力學(xué)用速度場(chǎng)計(jì)算一鄰域內(nèi)的流體應(yīng)變速率和旋轉(zhuǎn)角度變化速率第54頁/共69頁

B2.5.1亥姆霍茲速度分解定理以xy平面流場(chǎng)為例。設(shè)M0(x,y)點(diǎn)的速度為v(M0)=ui+vj，鄰近點(diǎn)M(x+dx,y+dy)的速度可用v(M0)的泰勒展開式表示（取一階，圖B2.5.1）分量式為第55頁/共69頁在x方向分量式上加減

，在y方向分量式上加減

，整理后可得赫姆霍茲定理表明：一點(diǎn)鄰域內(nèi)的速度=平移速度①+旋轉(zhuǎn)速度②+線變形率③+角變形率④B2.5.1亥姆霍茲速度分解定理①②③④①質(zhì)點(diǎn)M0的平移速度②M點(diǎn)繞M0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)引起的相對(duì)速度③兩點(diǎn)間線元線應(yīng)變率引起的相對(duì)速度④兩點(diǎn)間體元角變形率引起的相對(duì)速度第56頁/共69頁B2.5.2

流體的變形線應(yīng)變率：稱為x方向的線應(yīng)變率。正方形面元的線應(yīng)變率仍以xy平面流場(chǎng)為例，設(shè)速度分量u沿y方向不變，v

沿x

方向不變。現(xiàn)考察正方形面元δxδy，經(jīng)過δt

時(shí)間后，x方向增加的長度為（圖B2.5.2）。單位長度單位時(shí)間的伸長為同理，y方向和z方向的線應(yīng)變率。第57頁/共69頁當(dāng)兩個(gè)方向同時(shí)伸長時(shí)正方形面元將擴(kuò)張，面積的相對(duì)擴(kuò)張率為：當(dāng)δt→0時(shí)，面積的瞬時(shí)相對(duì)擴(kuò)張率為B2.5.2

流體的變形在場(chǎng)論中稱為速度散度。第58頁/共69頁將上述分析推廣到空間流動(dòng)，流體元體積的瞬時(shí)膨脹率為B2.5.2

流體的變形思考題：根據(jù)質(zhì)量守恒定律。流體元的體積變化將引起密度變化。由于表示流體元的瞬時(shí)體積相對(duì)膨脹率，當(dāng)時(shí)意味著流體是：（A）均質(zhì)的；（B）不可壓縮的；（C）可壓縮的。第59頁/共69頁試求:（1）流線、線應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；

（2）設(shè)k=1,t=0時(shí)刻邊長為1的正方形流體面abcd位于右圖所示位置，求t=t'時(shí)刻點(diǎn)a(1,3)到達(dá)點(diǎn)a'(3,3)時(shí)流體面a'b'c'd'的位置和形狀。例B2.5.2：膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率（1）解：（1）因v=0,流線微分方程為dy=0，

積分可得流線方程為說明流線是平行于x軸的直線族。線應(yīng)變率為設(shè)平面流場(chǎng)為y=

c(c為常數(shù))第60頁/共69頁例B2.5.2：膨脹流動(dòng)：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率（1）對(duì)流體面abcd和a'b'c'd'內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)均滿足(a)，(b)式?，F(xiàn)t'相同，x'/x也相同。設(shè)k=1,由點(diǎn)a(1,3)和a'(3,3)，x'/x=3,即x'=3x，y'=y，因此M'(x',y')=M'(3x,y)。說明x方向的線元以恒速率k伸長，y方向的線元長度保持不變。面積擴(kuò)張率為v=說明：流場(chǎng)中每一點(diǎn)的瞬時(shí)面積相對(duì)擴(kuò)張率為常數(shù)，任何單位面積的流體面均以恒速率k擴(kuò)張，通常將這種流動(dòng)稱為膨脹流（當(dāng)k<0時(shí)為收縮流）。（2）設(shè)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于M（x,y），t=t'

時(shí)位于M'(x'y')。求質(zhì)點(diǎn)軌跡方程（a）（b）第