本文格式為Word版，下載可任意編輯——判斷充要條件的四種常用方法判斷充要條件的四種常用方法

徐宜昌

一、定義法

定義法即借助“?〞號，可記為：箭頭所指為必要，箭尾跟著是充分，即：

/p，則p是q的充分但不必要條件；1.若p?q但q?2.若q?p但p?/q，則p是q的必要但不充分條件；3.p?q且q?p，則p是q的既充分又必要條件，即充要條件；

4.p?/q且q?/p，則p是q的既不充分又不必要條件。特別要注意，若p?q，則有以下說法是等價：①p是q的充分條件；②q是p的必要條件；③p的一個必要條件是q；④q的一個充分條件是p。

?????4???2例1.?的什么條件？并說明理由。是????4??2?????2?????4解：由?，但反之不成立。????2???4??不妨取??1，??5，顯然滿足??????4???2?????4，但不滿足?，即?????4???2????4???2。?/????2由定義（即箭頭方向）可知，??????4???2的必要但不充分條件。是?????4???2

二、傳遞性法

根據(jù)充要關(guān)系的傳遞性來判斷的方法叫傳遞法。

充分條件具有傳遞性，若A1?A2?A3???An?1?An，則A1?An，即

A1是An的充分條件。

必要條件也有傳遞性，若A1?A2?A3???An?1?An，則An?A1，即

A1是An的必要條件。

當然充要條件也有傳遞性。因此，對于較繁雜的（連鎖式）充要關(guān)系的判斷可用連鎖式的傳遞圖示法來解答最為適合。

例2.若A、B都是C的充要條件，D是A的必要條件，B是D的必要條件，則D是C的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

1

分析：宜采用傳遞性法來解。解：由已知A?C

B?C，A?D，D?B，

即有如下關(guān)系式：

由傳遞性，知D?C，同時有C?D，于是C?D，應選C。

三、集合法

若將命題p、q看成集合，當p?q時，p是q的充分條件，q是p的必要條件，即p?q。這可以用“小范圍推出大范圍〞幫助記憶。當p＝q時，則p、q互為充要條件。特別地，

1.若p?q，則p是q的充分但不必要條件；

≠2.若q?p，則p是q的必要但不充分條件；

≠3.若p＝q，則p是q的既充分又必要條件，即充要條件；4.若p?/q，且q?/p，則p是q的既不充分又不必要條件。

例3.設集合M?{x|x?2}，P?{x|x?3}，那么“x?M，或x?P〞是“x?M?P〞的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解：由x?M，或x?P?x?M?P，以及x?M?P?x?M且x?P，顯然(M?P)?(M?P)，應選B。

≠

四、等價命題法

當某一命題不易直接判斷條件與結(jié)論的充要關(guān)系（特別是對于否定形式或“≠〞形式的命題）時，可利用原命題與其逆否命題等價性來解決，即等價轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題。例4.若p：x≠2，或y≠3，q：x?y≠5，則p是q的___________條件。

解：考慮逆否命題：┑q：x?y?5，┑p：x?2，且y?3，顯然有┑p?┑q，所以q?p，即p是q的必要但不充分條件。

注：此例中若直接分析，則需分多種狀況探討，且還很難說清。

例5.已知A和B是兩個命題，假使A是B的充分條件，那么┑A(chǔ)是┑B的__________條件。

分析：根據(jù)題意知A?B，又由于原命題與其逆否命題等價，即┑B?┑A(chǔ)，即

┑A(chǔ)是┑B的必要條件。

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