哈爾濱市重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、學(xué)生代號(hào)填寫清楚。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在稿紙、試題卷上答題無效。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一．單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．命題“，”是真命題的充要條件是（）A． B． C． D．3．已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有一根為，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知隨機(jī)變量X，Y分別滿足，，且期望，又，則（）A． B． C． D．5．密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“”，578密位寫成“5-78”．若，則角α可取的值用密位制表示正確的是（）A． B． C． D．6．定義：兩個(gè)正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余，記作，比如：．已知滿足，則p可以是（）A．23 B．31 C．32 D．197．已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（）A．3 B． C．2 D．8．已知a，，，，則（）A． B． C． D．二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分。9．已知圓C：的圓心坐標(biāo)為，則（）A．， B．圓C的半徑為2C．圓C上的點(diǎn)到直線距離的最小值為 D．圓C上的點(diǎn)到直線距離的最小值為10．下列說法正確的是（）A．若事件M，N互斥，，，則B．若事件M，N相互獨(dú)立，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．已知函數(shù)，且，的最小正周期T，，則（）A． B． C．為奇函數(shù) D．關(guān)于對稱12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長為4，則下列結(jié)論正確的是（）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．若P，Q是勒洛四面體ABCD表面上的任意兩點(diǎn)，則PQ的最大值為4C．勒洛四面體ABCD的體積是D．勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三，填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案寫在答題紙指定位置上。13．已知等比數(shù)列中，，，則________14．設(shè)平面向量，的夾角為，且，則在上的投影向量是________15．一組數(shù)據(jù)為148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是________16．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容．例如，用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如下圖）．步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經(jīng)過點(diǎn)F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和步驟3，就能得到越來越多的折痕．圓面上所有這些折痕圍成一條曲線，記為C．現(xiàn)有半徑為4的圓形紙片，定點(diǎn)F到圓心E的距離為2，按上述方法折紙，在C上任取一點(diǎn)M，O為線段EF的中點(diǎn)，則的最小值為________四．解答題：本題共6小題，滿分70分（17題10分，18題至22題12分）。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角C；（2）若，D為BC中點(diǎn)，，求AD的長．18．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足若對一切正整數(shù)k均成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．19．為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積劃分為200個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取20個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…經(jīng)計(jì)算得：，，，．（1）利用最小二乘法估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系xOy下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一致，（i）求這兩條直線的公共點(diǎn)坐標(biāo).（ii）比較與的斜率大小，并證明；附：y關(guān)于x的線性回歸方程中，，，20．已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．21．在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)P，Q分別在線段，BC上，二面角的大小為θ．（1）若，，，證明：平面；（2）若，點(diǎn)P為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，求PQ與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．22．已知橢圓C：，設(shè)過點(diǎn)的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)E為直線上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)．（1）若，求b的取值范圍；（2）若，記直線EM，EN，EP的斜率分別為，，問是否存在，，的某種排列，，（其中），使得，，成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；若不存在，說明理由．參考答案一．單選題DBBCBADA二．多選題9．AC10．ABC11．BD12．BD三．填空題13．814．15．15716．四．解答題17．（1）∴∴2分∵3分由正弦定理得∴，∴∴4分，解得5分（2），，∴7分由正弦定理得8分，在中，由余弦定理得，解得10分18．（1）∵，∴，∴2分又∵，∴，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比均為的等比數(shù)列5分（2）由（1）知，8分∴10分∵單調(diào)遞增，時(shí)，，∴，∴12分19．（1），2分；4分，5分故回歸方程為6分（2）設(shè)，的斜率分別為，，x關(guān)于y的線性回歸方程為，7分，8分（i）注意到兩條直線都過，且（注：此條件在（2）中哪個(gè)位置體現(xiàn)均給分），故公共點(diǎn)只有一個(gè)9分；（ii）∵，，，，∴11分若，則，即恒成立，代入表格一組數(shù)據(jù)得：，矛盾，故12分20．（1）因?yàn)?分，3分所求切線方程為：，即5分（2）因?yàn)?，所以分，，，所以，所?0分，所以在上是減函數(shù)，且11分所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)12分21．（1）解法一：因?yàn)椋?，所以，又，AB，面ABC，所以面ABC，又面ABC，所以，1分如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AQ，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，所以，則，，2分又，所以，則，所以3分又y軸面，故為平面的法向量，又面4分，所以面5分解法二：因?yàn)?，所以，所以，由于，，所以?分，取AC上一點(diǎn)M，使，∵，連接QM，MP，∴，又∵面，面∴面2分過點(diǎn)作的平行線交AC于點(diǎn)N，在中，，∴，∵∴又∵面，面∴面4分又∵，∴面面，∵面∴面5分（2）因?yàn)?，所以，所以如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AQ，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)6分又x軸面，所以面的法向量設(shè)PQ與面的成角為，則7分所以當(dāng)時(shí)，，即8分設(shè)此時(shí)平面APQ的法向量，，∴10分，11分，因?yàn)槎娼菫殇J角，即二面角的余弦值為，所以PQ與面所成最大角的正切值為，此時(shí)二面角的余弦值為12分22．（1）設(shè)點(diǎn)，其中，，則2分由，得4分∵，，∴，，∴即只需，∴