基本不等式教案

一、教學目標：

1、知識與技能：

①了解基本不等式的推導過程，理解幾何意義，并掌握基本不等式取

得等號的條件；

②能夠初步運用基本不等式以及等號取得的條件，求出一些簡單函數(shù)

的最值(最大最小值)，并能解決一些較為簡單的實際問題。

2、過程與方法：

本節(jié)內(nèi)容是學生對不等式認識上的一次提升。要引導學生從數(shù)、

形兩方面探究基本不等式的證明，從而進一步突破難點。定理的證明

要嚴密，要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生觀察、試驗、

歸納、判斷、猜想等嚴密嚴謹?shù)乃季S能力。

3、情感與價值：

培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力、嚴謹求實的科學態(tài)度，領略

數(shù)學的應用價值，激發(fā)學生的學習興趣。同時通過基本不等式的幾何

解釋，提高學生數(shù)形結合的能力。

二、教學重點和難點：

重點：用數(shù)形結合思想理解不等式，并從不同角度探索不等式

ab

ab的多種解釋；

2

難點：理解“當且僅當ab時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵，并會應用基本不

等式求解函數(shù)的最大最小值問題，以及解決一些簡單的實際問題.。

三、學法與教學用具：

先讓學生觀察常見的圖形，通過圖形的直觀比較抽象出基本不等

式。從生活中實際問題突出數(shù)學本質，可調動學生的學習興趣。定理

的證明要留一部分給學生，讓他們自主探究。教學用具：直角板、圓

規(guī)、投影儀，如有條件可以使用多媒體(幾何畫板)進行教學。

四、教學設想：

1、幾何操作，引入問題：

給出如右的所示的幾何圖形，AB是O的直

徑，點C是AB上任意一點，過點C作垂直于AB的

弦交O于DD，連結AD、BD，同學們，能通過這個圓以及簡單的

三角形得到一些相等和不等的關系嗎?

提問一：現(xiàn)在我們不妨假設ACa2，BCb2，那么CD的長度是多少？、

由AB為直徑可知ABD是直角三角形，再根據(jù)DCAB，容易證得

ACD∽DCB，即得CDab；

提問二：根據(jù)初中學習的知識，在一個圓中，任意一條弦長與這個圓

的直徑有什么關系？

任意一條弦長不大于直徑的長度，而且當且僅當弦為直徑時，長

度相等。

提問三：結合上面兩個問題，我們可能得到一個不等式，寫出這個不

等式，并說出等式兩遍能否相等，若可以，等號成立的條件是什么？

1

首先由垂徑定理可知，CDDD，因此有DD2ab，即為O的

2

一條弦長，而a2b2表示的是O直徑的長度，根據(jù)上一問的結論可以

得知有不等式a2b22ab，兩邊同時除以2，不等式可以表示為：

a2b2

ab；再據(jù)上一問的結論，易知上述不等式可以成立當且僅當

2

ab時(即當點C與圓心O重合時)，等號才成立。

a2b2

提問四：深入思考，如果將不等式ab中的a,b用a,b替換，

2

能夠得到什么結論；這時，a,b有什么條件限制嗎？

ab

替換之后，不等式即變?yōu)閍b，當且僅當ab時等號成立；

2

此時要求有a0,b0。

2、代數(shù)證明，得到結論：

根據(jù)上面的幾何分析結果，我們初步形成不等式結論：

a2b22ab①

ab

若a,bR，則ab②

2

提問五：能否給出上述兩個不等式嚴格的證明？(學生嘗試證明

后口答,老師板書)

證明①(作差法)：a2b22ab(ab)2；

又當ab時，(ab)20；當ab時，(ab)20；

a2b22ab，當ab時取等號。

（注意強調：當且僅當ab時,有等式a2b22ab成立）

證明②(分析法)：由于a,bR，于是

ab

要證ab，

2

③

只要證ab2ab，

④

要證④，只要證ab2ab0，⑤

要證⑤，只要證(ab)20，⑥

ab

顯然，⑥是成立的，所以ab，當且僅當

2

ab時取到等號。

于是我們得到這節(jié)課要學習的內(nèi)容：

ab

基本不等式：若a,bR，則ab（當且僅當ab時，等號

2

成立）

3、深化認識：

ab

1.稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱為a,b的算術平均數(shù)。因此基本

2

ab

不等式ab的代數(shù)意義是：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的

2

算術平均數(shù)。

ab

2.其實ab成立的條件僅需a0,b0就可以，但a0或b0時定

2

理顯然成立，因此一般僅考慮a0,b0的情況。

4、例題講解：

ba4

例1、①已知ab0，求證：2②求證：a7（a3）

aba3

設計意圖：通過簡單例題，學生掌握證明格式，理解“前提條件”、

“等號成立條件”；

111

例2、若a,b,c(0,)，且abc1，求證：(1)(1)(1)8

abc

設計意圖：熟練運用基本不等式；不等式證明題中，等量關系條

件的運用。

例3、（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、

寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬

各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？

分析：（1）當長和寬的乘積確定時，問周長最短就是求長和寬和

的最小值；（2）當長和寬的和確定時，求長與寬取何值時兩者乘積最

大

例4、某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為

3m。如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，

怎樣設計水池能使總造價最低？最低造價為多少元？

分析：若底面的長和寬確定了，水池的造價也就確定了，因此可

轉化為考察底面的長和寬各為多少時，水池的總造價最低。

設計意圖：利用基本不等式來解題時，要學會審題及根據(jù)題意列

出函數(shù)表達式,要懂得利用基本不等式來求最大（?。┲?。

例題總結：

1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a,bR，且

M2

abM，M為定值，則ab，等號當且僅當ab時成立.

4

2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a,bR，且

abP，P為定值，則ab2P，等號當且僅當ab時成立.

課堂練習

2

1設a,b均為正數(shù)，證明不等式：ab.

11

ab

2已知a,b,c都是正實數(shù)，求證：abbcca8abc

5、思考討論：

bccaab

（1）設a,b,cR，求證：abc

abc

（2）已知x0,y0，且3x4y12。求lgxlgy的最大值及相應的x,y

值。

6、歸納總結：

提問六：①通過本節(jié)課的學習，你學到了什么知識？

②在解決問題的基礎上，你掌握了哪些探求問題的方法和

數(shù)學思想方法？

綜合學生的回答，教師再在此基礎上總結：

ab

（1）基本不等式：若a,bR，則ab（當且僅當ab時，等號

2

成立）

（2）運用基本不等式解決簡單最大最小值問題，掌握解題的基本方

法；在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”

這兩個結論時，把握“一正、二定、三相等”。當條件不完全具備時，

應創(chuàng)造條件使之具備條件。一般說來，“見和想積，拆低次，湊積為

定值，則和有最小值;見積想和，拆高次，湊和為定值，則積有最大

值.”。

（3）數(shù)學思想與方法技巧：

數(shù)學思想：基本不等式的探究過程（從特殊到一般）；基本不等式的

幾何解釋（數(shù)形結合）；數(shù)形結合思想、“整體與局部”.

方法技巧：（1）換元法、比較法、分析法（2）配、湊等技巧。

教師歸納總結：

整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數(shù)量關系

進行求解這個中心。例題的安排應該從易到難、從簡單到復雜，適應

學生的認知水平。教師要根據(jù)課堂情況及時提出針對性問題，同時通

過學生的解題過程進一步發(fā)現(xiàn)學生的思維漏洞，糾正數(shù)學表達中的錯

誤。

7、測評設計：

（1）基本作業(yè)：課本P100習題A組3、4題，B組1、2題。

（2）提高練習：

4

①求y23x的最小值（其中x1）.

x1

1

②已知0x，求ysinx的最小值．

sinx

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